Teori om funktioner af en reel variabel

Funktionsteorien for en reel variabel ( TFVP , eller teorien om en reel variabels funktioner , TFDP ) er en gren af ​​matematisk analyse , der studerer repræsentationen og tilnærmelsen af ​​funktioner , deres lokale og globale egenskaber. Samtidig, i modsætning til den klassiske differential- og integralregning, er TFVP afhængig af mængdeteori og målteori , anvender i vid udstrækning deres begreber og metoder, hvilket gjorde det muligt i væsentlig grad at generalisere de klassiske resultater, give dem en streng begrundelse og opnå nye resultater [1] .

Klassisk analyse af det 17.-19. århundrede var hovedsageligt begrænset til studiet af glatte eller stykkevis-glatte funktioner . I anden halvdel af 1800-tallet blev det klart, at mere generelle funktionsklasser også var af praktisk interesse; det viste sig også, at begreber som kontinuitet , kurvelængde eller overfladeareal, der syntes intuitivt indlysende , kræver en mere stringent definition [2] . Problemet blev løst med fremkomsten af ​​Lebesgue -målet og den mængdeteoretiske tilgang til begrebet en funktion som en binær relation [1] . Det nye analysegrundlag gjorde det muligt at bevare al den tidligere akkumulerede viden (selvom nogle af formuleringerne skulle afklares) og at bevise en række nye dybe sætninger, såsom Heine-Borel-lemmaet , Ascoli-Arzela- sætningen , Weierstrass-Stone-sætningen , Fatou-lemmaet , Lebesgue-sætningen om domineret konvergens og mange andre.

TPFT er tæt beslægtet med sådanne grene af matematikken som geometri , lineær algebra , funktionel analyse , topologi osv. [3]

Sammensætning af TFVP

Strukturen af ​​TFVP omfatter forskellige underafsnit, blandt hvilke tre kan skelnes som de vigtigste [4] [5] :

  1. Beskrivende teori om funktioner. Den studerer de generelle egenskaber af funktionsklasser opnået som et resultat af at passere til grænsen . I dette underafsnit blev der især opdaget klasser af Baer-funktioner , der er tæt forbundet med klassificeringen af ​​Borel-sæt .
  2. Metrisk teori om funktioner. Hun studerer funktioners egenskaber baseret på konceptet om Lebesgue-målet for et sæt (introduceret af Henri Lebesgue i 1902) og teorien om Lebesgue-integralet . Ud over funktioner studeres her egenskaberne for derivater , integraler, funktionelle serier , en generel teori om summering af serier og sekvenser er ved at blive bygget . Stedet for glatte funktioner blev taget af meget bredere klasser af målbare , summerbare og generaliserede funktioner .
  3. Teorien om tilnærmelse af funktioner (for eksempel ved polynomier ) [6] .

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1985 , s. 688-690.
  2. ↑ Matematik, dens indhold, metoder og betydning, 1956 , s. fire.
  3. ↑ Natanson, 1974 , s. 7.
  4. ↑ Mathematical Encyclopedia, 1985 , s. 689.
  5. ↑ BRE .
  6. ↑ Tilnærmelse af funktioner  // Great Russian Encyclopedia  : [i 35 bind]  / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M .  : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier