Heine-Borel Lemma

Heine-Borel- lemmaet [1] (og også Borel-Lebesgue-lemmaet [2] eller det endelige dækslemma ) er følgende kendsgerning, som spiller en grundlæggende rolle i analyse :

Fra ethvert uendeligt system af intervaller, der dækker et segment af den reelle linje, kan man vælge et endeligt delsystem, der også dækker dette segment.

Generaliseringen af dette forslag til det multidimensionelle tilfælde kaldes også Heine-Borel-lemmaet (eller Borel-Lebesgue-lemmaet) [3] .

Ordlyd

For at formulere Heine-Borel-lemmaet i det generelle tilfælde introducerer vi begrebet omslag [3] . Indstil system

{\mathfrak {S}}=\lbrace S_{{\alpha }}\rbrace

hvor indekset løber gennem nogle sæt kaldes en dækning af sættet if $\alfa$ ${\mathfrak {A}}$ $x$

X\subset \bigcup _{{\alpha \in {\mathfrak {A}}}}S_{{\alpha }}

Hvis en del af coveret , f.eks . hvor er en delmængde af , selv danner et cover af sættet , så kaldes det en subcover af coveret af sættet . ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}'=\lbrace S_{{\alpha }}\midt \alpha \in {\mathfrak {A'}}\rbrace$ ${\mathfrak {A'}}$ ${\mathfrak {A}}$ $x$ ${\mathfrak {S))'$ ${\mathfrak {S}}$ $x$

Lad os nu formulere Heine-Borel-lemmaet i en generel form.

Lad være et lukket afgrænset sæt i rummet . Derefter kan man fra ethvert system af åbne sæt, der dækker sættet , udskille et endeligt undersystem, der også dækker sættet . $x$ $\mathbb{R}^n$ $x$ $x$

Kort sagt siger de dette: hvert åbent dæksel af et lukket afgrænset sæt i rummet indeholder et endeligt underdæksel. $\mathbb{R}^n$ Et låg kaldes åbent , hvis det består af åbne sæt.

Der er også en omvendt påstand: For at ethvert åbent dæksel af et sæt skal indeholde et endeligt underdæksel, er det nødvendigt, at sættet er lukket og afgrænset. $X\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $x$ Heine-Borel-lemmaet er dog kun et direkte udsagn, det vil sige tilstrækkelige betingelser for eksistensen af et endeligt undercover.

Bevis

Beviset for Heine-Borel-lemmaet kan udføres på forskellige måder. Nedenfor er opridset af to beviser.

Første bevis

Dette bevis udføres ved Bolzano-metoden (bisektion) og er baseret på Cauchy-Cantor-lemmaet indlejrede segmenter . På mange måder ligner det beviset for Bolzano-Weierstrass grænsepunktlemma .

Lad segmentet være dækket af et uendeligt system af intervaller. Antag, at intet begrænset antal intervaller fra dækker et givet segment. Del segmentet i to lige store segmenter: og . Mindst én af dem kan ikke dækkes af et begrænset delsystem af intervaller fra . Vi betegner det og gentager proceduren for at dele det i to. $[a,b]$ $\Sigma$ $\Sigma$ $[a,b]$ $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ $\Sigma$ $[a_{1},b_{1}]$

Hvis vi fortsætter med at dele segmenterne i to ved hvert trin, får vi en sekvens af indlejrede segmenter, der har en tendens til nul i længden, således at hvert segment af denne sekvens ikke kan dækkes af et begrænset antal intervaller fra . Men hvis det er et punkt, hvortil segmenterne trækker sig sammen, så, da det ligger på segmentet , skal det inkluderes i et eller andet interval af systemet . Så vil alle segmenter af sekvensen , startende fra et eller andet tal, være dækket af intervallet , hvilket modsiger selve valget af disse segmenter. Den resulterende modsigelse beviser gyldigheden af Heine-Borel-lemmaet. $\Sigma$ $\xi$ $\xi$ $[a,b]$ $\sigma$ $\Sigma$ $[a_{k},b_{k}]$ $\sigma$

Dette bevis, med åbenlyse modifikationer, udføres også for et rum af vilkårlig dimension. Dette bevis kan findes i [3] og i [2] (i den sidste bog umiddelbart for tilfældet med et vilkårligt metrisk rum ). $\mathbb{R}^n$

Andet bevis

Et andet bevis på Heine-Borel-lemmaet skyldes Lebesgue [2] . Den bruger ikke det indlejrede segmentlemma , men er afhængig af egenskaben af fuldstændigheden af sættet af reelle tal i form af princippet om eksistensen af det mindste supremum .

Lad systemet af intervaller dække segmentet . Betegn ved mængden af alle punkter, for hvilke segmentet kan dækkes af et begrænset antal intervaller fra . Det er klart, at hvis et hvilket som helst segment af formen (hvor x - sup M) kan dækkes af et endeligt antal intervaller fra , så gælder det samme for segmentet : for dette tager vi et interval, der dækker punktet og tilføjer det til den endelige dækning af et eller andet segment , hvor vi opnår en endelig dækning af segmentet . Desuden dækker det resulterende endelige delsystem af intervaller ikke kun segmentet , men også et eller andet segment af formen , hvor . $\Sigma$ $[a,b]$ $M$ $x\i[a,b]$ $[økse]$ $\Sigma$ $[a,x'],\;x'<x$ $\Sigma$ $[økse]$ $\sigma \i \Sigma$ $x$ $[økse']$ $x'<x,x'\in \sigma$ $[økse]$ $[økse]$ $[økse'']$ $x''>x$

Det følger af den første, at den mindste øvre grænse af sættet hører til sættet . Fra den anden, at det skal være lig med . Altså kan segmentet dækkes af et begrænset antal intervaller fra . $M$ $M$ $b$ $b\i M$ $[a,b]$ $\Sigma$

Anvendelse i analyse

Sammen med Cauchy-Cantors indlejrede intervallemma og Bolzano-Weierstrass grænsepunktslemmaet er Heine-Borels endelige dækselmma et af de grundlæggende analyseudsagn. Det kan bruges til at bevise en række vigtige resultater.

Heine-Borel-lemmaet kan med succes anvendes i tilfælde, hvor det er nødvendigt at udvide lokal ejendom til hele sættet. Lad os illustrere, hvad der er blevet sagt om eksemplet med beviset for den ensartede kontinuitetssætning .

Funktionens kontinuitet på intervallet betyder, at der for ethvert punkt i intervallet og vilkårlig er et sådant naboskab til punktet , hvor to vilkårlige værdier af funktionen ikke afviger mere end : $f$ $(a,b)$ $x$ $(a,b)$ $\varepsilon > 0$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\varepsilon$

x',x''\in U_{{\delta }}(x)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Vi fikser og for hvert punkt i segmentet vælger vi det angivne kvarter (hver vil have sin egen ). Det resulterende system af intervaller danner et åbent dæksel af segmentet, hvorfra vi ifølge Heine-Borel-lemmaet vælger et endeligt underdæksel . Det er let at se, at det er muligt at vælge sådan , at hvert længdesegment er helt indeholdt i et af dækningsintervallerne . Det følger heraf, at hvis de ikke afviger mere end , så er de indeholdt i det samme dækningsinterval, hvilket betyder, at funktionens værdier på disse punkter ikke afviger mere end . $\varepsilon > 0$ $x$ $[a,b]$ $U_{{\delta }}(x)$ $x$ $\delta=\delta(x)$ $\Sigma$ $\delta>0$ $\delta$ $\Sigma$ $x',x''$ $\delta$ $\varepsilon$

Således, for vilkårligt taget det er fundet , sådan at $\varepsilon > 0$ $\delta>0$

x',x''\in [a,b]\quad |x'-x''|\leqslant \delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Det betyder, at funktionen er ensartet kontinuerlig på segmentet . $f$ $[a,b]$

Generaliseringer

Heine-Borel-lemmaet er generaliseret til et vilkårligt metrisk rum som følger:

For at ethvert åbent dæksel af et metrisk rum skal indeholde et endeligt underdæksel, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rummet er komplet og fuldstændigt afgrænset . ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Som i tilfældet med rummet kaldes kun anden del af dette forslag, om tilstrækkeligheden af betingelser for eksistensen af et endeligt undercover, Heine-Borel-lemmaet. $\mathbb{R}^n$

Det viser sig, at et metrisk rum har Heine-Borel-egenskaben, hvis og kun hvis det er et kompakt rum , det vil sige, at hver uendelig delmængde af det har et grænsepunkt, der tilhører . Et kompakt metrisk rum kunne således defineres som et rum, hvis hvert åbent dæksel indeholder et endeligt underdæksel. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Når man gik fra metriske rum til et mere generelt begreb om topologiske rum , viste det sig, at disse to forhold ikke er ækvivalente: hvis et topologisk rum har Heine-Borel-egenskaben, så har hver uendelig delmængde af det et grænsepunkt, men det omvendte er ikke altid sandt. Den stærkere Heine-Borel-egenskab er blevet taget som definitionen af et kompakt topologisk rum . Desuden viste den gamle kompakthedstilstand, nemlig eksistensen af et grænsepunkt for enhver uendelig delmængde, at være ækvivalent med følgende betingelse: hvert tælleligt åbent låg indeholder et endeligt underdæksel. Sådanne rum kom til at blive kaldt tælleligt kompakte .

Historisk baggrund

Historien om den matematiske proposition, der i dag er kendt som Heine-Borel-lemmaet, begyndte i anden halvdel af det 19. århundrede, hvor matematikere havde travlt med at søge efter pålidelige grundlag for en streng konstruktion af kalkulation . Blandt andre var et af de fundamentale resultater af analyse, der krævede strenge beviser , sætningen , der siger, at enhver funktion, der er kontinuerlig på et segment, er ensartet kontinuerlig på det. Dirichlet var den første til at bevise denne teorem i sine forelæsninger fra 1862, som først blev offentliggjort i 1904. Samtidig brugte han implicit det faktum, at hvis et segment er dækket af et uendeligt antal intervaller, så kan man blandt dem vælge et endeligt tal, der også dækker det givne segment. Senere blev lignende ræsonnement brugt af E. Heine , K. Weierstrass , S. Pinkerle . Den første til at formulere og bevise Heine-Borel-lemmaet i en form tæt på den moderne var E. Borel i 1895. Imidlertid var hans formulering begrænset til belægninger bestående af et tælleligt antal intervaller. Det blev generaliseret til vilkårlige uendelige belægninger af E. Borels elev A. Lebesgue i 1898.

I den matematiske litteratur kan dette forslag findes under forskellige navne. Det mest almindelige navn er Heine-Borel-lemmaet [1] [3] [4] , som blev placeret i titlen på denne artikel. Følgende bruges dog ofte: Borel-Lebesgue lemma [5] , Borel lemma [6] . I nogle bøger kaldes denne sætning ikke et lemma, men en sætning: Heine-Borel-sætningen [7] , Borel-Lebesgue-sætningen [2] . Navnet på det endelige dæklemma [5] forekommer også .

Se også

Noter

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse. - S. 107.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — S. 183-184, 193-195.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev L. D. Matematisk analyseforløb. - T. 2. - S. 195-196.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analyse: Om 2 timer, del I.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I
↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning i 3 bind. - T. 1.
↑ Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. - M . : "Nauka", 1977. - 368 s.

Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I. - 4. udg., Rev. - M . : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis: Om 2 timer Del I. - 7. udgave - M . : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Kolmogorov AN, Fomin SV Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse. - 7. udg. - M . : "Fizmatlit", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis / pr. fra engelsk. Havin. — 2. udg., stereotypisk. - M . : "Mir", 1976.

Fikhtengol'ts G.M. Forløb af differential- og integralregning i 3 bind. - T. 1.