Statistisk mekanik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Statistisk mekanik eller statistisk termodynamik er mekanikken i store ensembler af relativt simple systemer, såsom atomer i en krystal, molekyler i en gas, fotoner i en laserstråle, stjerner i en galakse, biler på en motorvej. Statistisk mekanik bruger statistiske metoder til at bestemme egenskaberne og adfærden af makroskopiske fysiske systemer, der er i termodynamisk ligevægt , baseret på deres mikroskopiske struktur og bevægelseslove, som anses for givne [1] . Statistiske metoder blev introduceret i denne sammenhæng af Maxwell i en serie på tre artikler (1860-1879) og af Boltzmann i en serie på fire artikler (1870-1884), som lagde grundlaget for den kinetiske teori om gasser . Klassisk statistisk mekanik blev grundlagt af Gibbs (1902); og senere blev beskrivelsen af mikroskopiske tilstande baseret på klassisk mekanik korrigeret og suppleret i overensstemmelse med kvantemekanikken . Termodynamik , kinetisk teori og statistisk mekanik er discipliner, der er relateret til studieobjektet, men adskiller sig i de anvendte metoder; ofte præsenteres de sammen under den generelle titel statistisk fysik . En konsekvent konstruktion af statistisk mekanik uden ligevægt blev udført af N. N. Bogolyubov i 1946 [2] . Ved beskrivelse af systemer inden for rammerne af statistisk mekanik anvendes begrebet ensemblegennemsnit. De grundlæggende ligninger for statistisk mekanik er Liouville-ligningerne og Bogolyubov-ligningskæden .

Termodynamikkens principper , som er resultatet af generaliseringen og abstraktionen af nogle empiriske data, udtrykker de omtrentlige egenskaber og probabilistiske opførsel af makroskopiske systemer bestående af et meget stort antal mikroskopiske komponenter: molekyler og atomer . Den klassiske mekaniks love gør det i princippet muligt fuldstændigt at bestemme tilstanden af et system bestående af flere komponenter til enhver tid, hvis vekselvirkningerne (kræfterne) er kendte, såvel som systemets tilstand (koordinater og momenta for komponenterne) i det foregående øjeblik. I praksis er startbetingelserne dog ukendte, og kompleksiteten af beregningerne påvirkes af integrationen af bevægelsesligningerne for et meget stort antal komponenter. Som regel har antallet af molekyler i en makroskopisk masse af en gas under standardbetingelser en størrelsesorden svarende til Avogadro-tallet , det vil sige omkring 10 23 , hvilket gør det umuligt at bestemme dens mekaniske (mikroskopiske) tilstand. På den anden side viser erfaringen, at de termodynamiske (makroskopiske) egenskaber af den samme gasmasse er fuldstændigt bestemt af kun to parametre (f.eks. er det nok at kende den frie energi som funktion af volumen og temperatur ) og en af dem (i dette tilfælde temperatur) har ingen mekanisk karakter. Forbindelsen mellem disse to parametre, tilsyneladende modstridende synspunkter, opnås ved statistiske metoder.

Principper for klassisk statistisk mekanik

Mikroskopiske tilstande

I statistisk mekanik er genstanden for undersøgelsen et (makroskopisk) system bestående af et (stort) antal (mikroskopiske) delsystemer, der interagerer (med hinanden og med omverdenen) i overensstemmelse med kendte love. Det antages, at interne og eksterne kræfter er konservative , det vil sige, at systemets samlede mekaniske energi (summen af kinetisk energi og potentiel energi ) forbliver konstant i tid. Denne hypotese illustrerer forestillingen om, at ikke-konservative kræfter, der forårsager, at energi spredes som varme (såsom friktionskræfter ) kun optræder på en makroskopisk skala og er konsekvensen af en interaktion på en mikroskopisk skala.

Det er praktisk at skrive bevægelsesligningerne i den kanoniske form, der bruges i Hamiltonsk mekanik . Systemets tilstand med grader af mikroskopisk frihed til enhver tid er karakteriseret ved værdierne taget af de generaliserede koordinater og generaliserede konjugerede momenta . Systemets dynamik er beskrevet af Hamiltons kanoniske ligninger [3] [4] $\n$ $q=\left(q_{1},\ldots,q_{n}\right)$ $p=\left(p_{1},\dots,p_{n}\right).$

\left(1\right)\,

{\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac { \partial H}{\partial q_{i}}},\quad \left(i=1,\ldots ,n\right),

hvor prikken over symbolet for generaliserede variabler angiver den afledede tid. Funktionen , kaldet systemets Hamiltonian , er systemets samlede energi. I tilfælde af konservative kræfter afhænger det ikke eksplicit af tid, og det følger af bevægelsesligningerne, at den implicitte tidsafhængighed kun optræder gennem kanoniske variable, så den samlede energi forbliver faktisk konstant: $H\left(p,q\right),$

\left(2\right)\,

H\left(p,q\right)=E.

I Gibbs' terminologi kaldes den mikroskopiske tilstand af et system en fase [5] ; det er repræsenteret geometrisk af et punkt i et rum med dimension , kaldet faserummet . Tidsudviklingen af et system, repræsenteret analytisk ved de kanoniske variables afhængighed af tid, har som en geometrisk repræsentation en kontinuerlig kurve i faserummet kaldet den repræsentative punktbane . Da systemets tilstand til enhver tid er fuldstændig bestemt, hvis dets tilstand er kendt i det foregående øjeblik, så viser det sig, at banen i faserummet er fuldstændig bestemt af et af dets punkter, og en bane passerer gennem hvert punkt i faserummet. $\left(p,q\right)$ $\ 2n$

Loven om energibevarelse har også en simpel geometrisk repræsentation: et repræsentativt punkts bane ligger udelukkende på en overflade af konstant energi, som er et -dimensionelt mangfoldigt i -dimensionelt faserum givet ved ligning (2). For et system i termodynamisk ligevægt kan et repræsentativt punkt i faserummet ikke fjernes uendeligt, så konstante energioverflader er begrænset. Hver af dem er en lukket overflade, fordi ligning (2) repræsenterer grænsen for det område, hvor alle tilstande er placeret med en energi mindre end eller lig med volumenet af dette område $\left(2n-1\right)$ $\ 2n$ $\ E.$

\left(3\right)\,

\Omega \left(E\right)=\int _{H\left(p,q\right)\leq E}dp\,dq,

hvor for volumenelementet i faserummet blev den forkortede notation brugt - dette er en monotont stigende funktion ; og for systemer med mange frihedsgrader er dette en meget hurtigt voksende funktion. [6] $dp\,dq=dp_{1}\cdots dp_{n}\,dq_{1}\cdots dq_{n}.$ $\Omega \left(E\right)$ $\E$

En vigtig konsekvens af de kanoniske ligninger, kaldet Liouville-sætningen , kan formuleres som følger: [7] Lad et vilkårligt domæne i faserummet være givet; alle punkter som repræsenterer systemets mekaniske tilstande i det indledende øjeblik ; følg udviklingen af disse tilstande i overensstemmelse med de kanoniske ligninger; positionerne af de punkter, der tages i betragtning på et andet tidspunkt ; så er domænets volumen lig med domænets volumen . $\mathcal{D}$ $\left(p,q\right)\in {\mathcal {D))$ $\t$ $\left(p^{\prime },q^{\prime}\right)\in {\mathcal {D}}^{\prime }$ $\ t^{\prime }$ ${\mathcal {D}}^{\prime }$ $\mathcal{D}$

Statistisk Ensemble

Et makroskopisk systems tilstand i termodynamisk ligevægt er karakteriseret ved et lille antal parametre, mens der på mikroskopisk skala er et stort antal forskellige mekaniske tilstande, der er kompatible med den samme termodynamiske tilstand. Gibbs foreslog, at de termodynamiske egenskaber af et system kunne beregnes statistisk ud fra dette sæt af mikroskopiske tilstande. [8] Alle mekaniske tilstande, der er kompatible med en given termodynamisk tilstand, udgør et statistisk ensemble . Som en specifik makroskopisk tilstand realiseres kun én af dem, og andre mulige tilstande, som til gengæld også kan opnås, hvis systemet vender tilbage til den termodynamiske ligevægtstilstand fra en vilkårlig tilstand.

Det statistiske ensemble er repræsenteret i faserummet af et sæt punkter, hvis fordeling er beskrevet af sandsynlighedstætheden , fordelingsfunktionen eller den statistiske fordelingsfunktion [9] , , som bestemmer sandsynligheden for, at det repræsentative punkt i systemtilstanden er placeret i det elementære volumen placeret i kanoniske koordinater [10] : ${\mathcal {P}}\left(p,q\right)$ $dp\,dq$ $\left(p,q\right)$

\left(4\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)dp\,dq.

Sandsynlighedstætheden er en funktion i faserummet, der ikke kan tage negative værdier og har en tendens til nul ved uendelig. Dens integral over hele faserummet opfylder normaliseringsbetingelsen [9]

\left(5\right)\,

\int {\mathcal {P}}\left(p,q\right)dp\,dq=1,

som følger af reglen om summering af sandsynligheder og udtrykker tilliden til, at det repræsentative punkt er i faserummet.

Det følger af Liouvilles sætning , at sandsynlighedstætheden er konstant langs en bane i faserummet; det kaldes det første integral af de kanoniske ligninger [11] . Det Hamiltonske system tillader første integraler, der ikke eksplicit afhænger af tid, hvoraf den ene er energi, det vil sige Hamiltonsk (2). Derfor vil sandsynlighedstætheden være en Hamiltonsk funktion , og de andre tidsuafhængige primtal. For i mikroskopisk skala at repræsentere de termodynamiske ligevægtstilstande, hvor systemets egenskaber ikke afhænger af tid og (ved konstante ydre parametre) kun afhænger af energi, postuleres det i statistisk mekanik, at fordelingsfunktionen afhænger af kanoniske variabler kun gennem Hamilton-funktionen [12] : $\ 2n-1$ $H\left(p,q\right)$ $\ 2n-2$

\left(6\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\mathfrak {P}}\left(H\left(p,q\right)\right).

Boltzmann viste, at dette postulat kan verificeres i tilfælde af systemer, der har egenskaben ergodicitet : enhver bane i faserummet er så tæt som ethvert punkt på overfladen af konstant energi, hvorpå hele banen ligger.

Gennemsnit og udsving

Statistisk mekanik er et andet synspunkt, sammenlignet med termodynamik, på værdierne af makroskopiske mekaniske størrelser af et fysisk system i ligevægt. I termodynamik er værdien af enhver mekanisk størrelse entydigt bestemt, hvis værdierne af et lille antal tidsuafhængige tilstandsparametre er kendt: termodynamisk ligevægt er statisk . I statistisk mekanik beskrives et systems tilstand ved en statistisk fordeling, og de mekaniske parametre er funktioner af kanoniske variable. Ved at gentage systemet mange gange i samme termodynamiske tilstand efter vilkårlige transformationer, vil de mikroskopiske tilstande være forskellige, og den pågældende parameter vil normalt have forskellige værdier. På mikroskopisk skala manifesterer termodynamisk ligevægt sig som en stationær forskydning af den statistiske fordeling i faserummet, ifølge Liouvilles sætning: den er ikke statisk, men statistisk . $\f\left(p,q\right)\,$

I statistik kaldes en fysisk størrelse , hvis numeriske værdi ikke er givet per definition for visse forhold, en tilfældig variabel . Den stokastiske variabel bestemmes af det statistiske ensemble beskrevet af fordelingsfunktionen, og dens gennemsnitsværdi er givet af integralet [13] [14] $\f,$ ${\mathcal {P}}\left(p,q\right),\,$

\left(7\right)\,

\left\langle f\right\rangle =\int f\left(p,q\right)\,{\mathcal {P))\left(p,q\right)dp\,dq\;,

hvilket afhænger af systemets opbygning og ydre forhold. Graden af afvigelse af værdierne af en stokastisk variabel fra middelværdien er defineret som kvadratroden af middelværdien af kvadratet af afvigelsen fra middelværdien, kaldet standardafvigelsen eller rodmiddelkvadratudsving [15] :

\left(8\right)\,

\Delta f={\sqrt {\left\langle (f-\left\langle f\right\rangle )^{2}\right\rangle }}\,.

Præcise eksperimentelle målinger har vist, at makroskopiske mekaniske størrelser i termodynamik kan identificeres med gennemsnitsværdier beregnet af statistisk mekanik. De viste også tilstedeværelsen af fluktuationer af disse mængder i rækkefølge svarende til standardafvigelserne forudsagt af statistisk mekanik.

Repræsentative ensembler

Beskrivelsen af den termodynamiske opførsel af et system baseret på statistiske ensembler af mikroskopiske mekaniske tilstande er et postulat af statistisk mekanik. [16] Det suppleres med et a priori valg af en bestemt fordeling, som er "repræsentativ" i den forstand, at den svarer til graden af ufuldstændig viden om systemets tilstand, set fra et mekanisk synspunkt. [17]

Microcanonical Ensemble

I det idealiserede tilfælde af et system med konstant volumen, isoleret fra omverdenen, er systemets energi konstant. Fordelingsfunktionen vil kun afvige fra nul på den konstante energioverflade (2), hvor den skal være singulær for at opfylde normaliseringsbetingelsen (5). Matematiske vanskeligheder forbundet med denne fordelings særlige karakter, kaldet mikrokanonisk af Gibbs [18] , kan omgås ved at betragte det som en grænse for et mere realistisk tilfælde, hvor små energiudsving er tilladt. Sandsynlighedstætheden er valgt til at være konstant i volumen mellem energifladerne, og hvor værdien er lig for værdien af energiudsving, og i andre tilfælde - nul: $\E\,$ $\ E+\Delta E\,$ $\ \Delta E\,$

\left(9\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\begin{cases}\ 0&{\mbox{at}}\ H\left(p,q\right)<E,\ \\ C&{\mbox{at}}\ E\leq H\left(p,q\right)\leq E+\Delta E,\\\ 0&{\mbox{at}}\ E+\Delta E<H\ venstre(p,q\right).\end{cases}}

Konstanten C bestemmes ud fra normaliseringsbetingelsen (5); når den har en værdi lig med $\Delta E\ll E$

\left(10\right)\,

\ C={\frac {1}{\Omega ^{\prime }\left(E\right)\Delta E))\,

(apostrofen betegner den afledede), som bliver ental ved grænsen kl. Ved beregninger, der anvender den mikrokanoniske fordeling, undgås singulariteter ved først at foretage overgangen til grænsen, når det endelige resultat er opnået. $\Delta E\to 0\,.$

Canonical Ensemble

For et system, der frit udveksler energi med sit miljø, fører en analyse af, hvordan denne proces foregår i mikroskopisk skala, til den konklusion, at sandsynlighedstætheden afhænger eksponentielt af systemets energi, det vil sige Hamiltonianeren. [19] Denne fordeling kaldes Gibbs-fordelingen [20]

\left(11\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{Z}}\,e^{-\beta H\left(p,q\right)}\ ,,\quad \left(\beta >0\right)\,.

For at opfylde normaliseringsbetingelsen (5) skal parameteren være positiv, og værdien kaldes partitionsfunktionen , har værdien $\ \beta \,$ $\ Z,$

\left(12\right)\,

Z=\int e^{-\beta H\left(p,q\right)}\,dp\,dq\,.

Stort kanonisk ensemble

Hvis et system består af flere komponenter, mellem hvilke der sker både energi- og stofoverførsel, er det praktisk at beskrive det ved et grand canonical ensemble, [21] som er et vægtet sæt af kanoniske ensembler, en for hver komponent. [22] er antallet af komponenter og antallet af partikler af komponenterne. [23] En analyse af, hvordan mikroskopisk stofudveksling opstår, svarende til den for energiudveksling, viser, at sandsynlighedstætheden afhænger eksponentielt af hver af disse størrelser separat. Den store kanoniske fordeling [24] har formen $\c\,$ $\ N_{1},...,N_{c}\,$

\left(13\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,e^{-\beta \left(H\left(p ,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}\,N_{i}\right)},\quad \left(\beta >0\right)\,,

hvor

\left(14\right)\,

\ {\mathcal {Z}}=\int e^{-\beta \left(H\left(p,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{ i}\,N_{i}\right)}\,dp\,dq

er partitionsfunktionen for det store kanoniske ensemble . Værdierne af parametrene og skal hentes fra den termodynamiske fortolkning af de kanoniske og store kanoniske fordelinger. $\beta \,$ $\mu _{1},...,\mu _{c}\,$

Statistisk termodynamik

Systemets mikroskopiske dynamik er foruden indre kræfter bestemt af eksterne makroskopiske kræfter, som endnu ikke er specificeret eksplicit. Lad være antallet af mekaniske frihedsgrader og de tilsvarende positionsvariable. Hamiltonian og volumen i faserummet, defineret på overfladen af konstant energi, afhænger af disse variable: $\m\,$ $\ x=\left(x_{1},...,x_{m}\right)\,$

\left(15\right)\,

H=H\left(p,q\mid x\right)\,;\quad \Omega =\Omega \left(E\mid x\right)\,.

Termodynamikkens første lov definerer en tilstandsfunktion kaldet intern energi ; statistisk mekanik fortolker termodynamisk ligevægt som havende en statistisk karakter, og intern energi som gennemsnitsværdien af mikroskopisk energi: $\U\,$

\left(16\right)\,

U=\left\langle H\right\rangle \,.

Lad være de kraftvariabler, der er forbundet med de makroskopiske positionsvariable; i statistisk mekanik beregnes de ved at tage et gennemsnit af tilfældige værdier: $X=\left(X_{1},...,X_{m}\right)\,$

\left(17\right)\,

X_{j}=\venstre\langle {\frac {\partial H}{\partial x_{j))}\right\rangle ;\quad \left(j=1,...,m\right )\,.

Det mekaniske arbejde, der frembringes af disse kræfter under elementære forskydninger , har formen $dx=\left(dx_{1},...,dx_{m}\right)$

\left(18\right)\,

\delta L=\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j}\,.

Også ifølge termodynamikkens første lov, i en elementær termodynamisk proces, er den totale ændring i indre energi summen af det udførte mekaniske arbejde og ændringen i mængden af varme i systemet: $\delta Q\,$

\left(19\right)\,

dU=\delta L+\delta Q\,.

Termodynamikkens anden lov definerer en tilstandsfunktion kaldet entropi ; i en reversibel elementær termodynamisk proces er den totale entropi-differential relateret til mængden af varme, der udveksles af systemet gennem relationen $\S\,$

\left(20\right)\,

\ dS={\frac {\delta Q}{T))\,.

Her er den termodynamiske temperatur bestemt af termodynamikkens anden lov. Denne multiplikator specificerer en absolut temperaturskala, unik blandt de mange mulige empiriske temperaturskalaer defineret af termisk kontakt. $\ T\,$

I statistisk mekanik betragtes termodynamiske størrelser af mekanisk karakter således som tilfældige variable; deres værdier, målt makroskopisk, er forbundet med middelværdierne af de tilsvarende mikroskopiske størrelser, som tillader udsving. De termodynamiske mængder af temperatur og entropi skal bestemmes inden for hver repræsentativ fordeling af parametrene for det statistiske ensemble, der er knyttet til systemet. Efter at have bestemt det termodynamiske potentiale svarende til situationen beskrevet af det statistiske ensemble, opnås systemets tilstandsligninger ved standard termodynamiske metoder.

Isoleret system: entropi

Analyse af måden at etablere en termodynamisk balance mellem to systemer med mikrokanoniske ensembler med energier og , når de bringes i termisk kontakt, [25] $\ E_{1}\,$ $\ E_{2}\,$

viser, at produktet har et meget skarpt maksimum for en bestemt værdi af argumentet (et uafhængigt argument, siden ). Maksimum nås, når udtrykket for to systemer $\Omega ^{\prime }\left(E_{1}\right)\;\Omega ^{\prime}\left(E_{2}\right)\,$ $\ E_{1}+E_{2}={\rm {konstant))$

\left(21\right)\,

{\frac {d\,\ln \Omega ^{\prime }\left(E\right)}{\ dE))

har samme betydning; den angiver den mest sandsynlige mikroskopiske tilstand svarende til tilstanden af termisk ligevægt , og den samlede værdi er en funktion af den temperatur, ved hvilken ligevægten blev etableret. Den interne energi og svingninger omkring denne tilstand opstår kun på grund af varmeoverførsel: Ved at indsamle resultaterne kan man skrive $\phi \left(T\right)$ $\ U=E\,$ $\ dU=\delta Q\,.$

\left(22\right)\,

\ d\,\ln \Omega ^{\prime }\left(U\right)=\phi \left(T\right)\delta Q\,.

Ved at multiplicere mængden af varme med funktionen , blev den nøjagtige totale differens opnået . Ifølge termodynamikkens anden lov er funktionen - entropi , op til en konstant faktor lig med den reciproke af den absolutte temperatur: $\delta Q\,$ $\phi \left(T\right),$ $\dS.$ $\ S$ $\phi \left(T\right)\,$

\left(23\right)\,

\ d\,\ln \Omega ^{\prime }\left(U\right)=dS\,.

Efter integration får vi

\left(24\right)\,

\ S=k\,\ln \Omega ^{\prime }\left(U\right)\,;

hvor konstanten fik sit eget navn, Boltzmann-konstanten . Denne grundlæggende formel for statistisk mekanik, etableret af Boltzmann, udtrykker forholdet mellem entropi og karakteristikaene for et statistisk ensemble repræsenteret af en mikrokanonisk fordeling. $\k$

Energiudveksling: fri energi

Af relationer (16) - (19) og (12) følger det, at - mængden af varme, der udveksles af det kanoniske ensemble i en reversibel elementær proces, opfylder ligheden [26] $\ \delta Q\,$

\left(25\right)\,

\ \beta \,\delta Q=d\left(ln\,Z+\beta U\right)\,.

Det tidligere argument vedrørende eksistensen af en integreret faktor for fører til den konklusion, at $\ \delta Q\,$

\left(26\right)\,

\ \beta ={\frac {1}{kT}}\,,\quad dS={\frac {\delta Q}{T}}=d\venstre(k\,ln\,Z+{\ frac {U}{T}}\right)\,.

Ved at integrere opnår man entropien og derefter den frie energi (også kaldet Helmholtz fri energi ) $\S\,$

\left(27\right)\,

\ F=-kT\,lnZ\,.

Entropi som funktion af sandsynlighedstæthed

Fra relationer (11), (12) og (27), tager vi logaritmen og derefter gennemsnitsværdien, får vi eller $\ S=-k\left\langle ln\,{\mathcal {P}}\right\rangle$

\left(28\right)\,

\ S\left[{\mathcal {P}}\right]=-k\int {\mathcal {P}}\,ln{\mathcal {P}}\,dp\,dq\,.

Selvom dette udtryk blev afledt af en kanonisk fordeling, afhænger det ikke af valget af et bestemt statistisk ensemble. På grund af den generelle karakter af denne relation, som udtrykker entropi som en funktion af sandsynlighedstæthed, accepteres den som definitionen af entropi for enhver fordeling, selv i tilfælde af ikke-stationære fordelinger. [27]

Sætningen om udligningsfordelingen af energi over frihedsgrader

I kanoniske ensembler gælder følgende relation for enhver af de kanoniske momentum eller koordinatvariabler , der er eksplicit inkluderet i udtrykket for Hamilton, [28] $\p_{i}$ ${\displaystyle \q_{i))$

\left(29\right)\,

\left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}\right\rangle =\left\langle q_{i}{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}\right\rangle =kT\,.

Nytten af denne sætning ligger i det faktum, at variablen i det generelle tilfælde bidrager til den kinetiske energi, så for Hamiltonianeren er udtrykket gennemsnittet efter formlen $\p_{i}\,$ ${\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\,$

\left(30\right)\,

\left\langle {\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle ={\frac {kT}{2}}\,.

I tilfælde af et system med koordinatafhængige elastiske svingninger er den potentielle energi angivet i formen, og gennemsnittet er givet ved formlen $\q_{i}\,,$ ${\displaystyle \ c\,q_{i}^{2))$

\left(31\right)\,

\left\langle c\,q_{i}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle q_{i}{\frac {\partial H}{ \partial q_{i))}\right\rangle ={\frac {kT}{2}}\,.

Hver frihedsgrad bidrager i gennemsnit til den makroskopiske energi med den samme mængde kT for hver kanonisk variabel (momentum eller koordinat), der er eksplicit til stede i Hamiltonian, deraf navnet på ekvipartitionssætningen . ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$

Udveksling af energi og stof: det termodynamiske potentiale i det store kanoniske ensemble

Ved at bruge integralfaktoren følger det fra relationer (16) - (19) og (14)

\left(32\right)\,

\ \beta ={\frac {1}{kT}}\,,\quad dS={\frac {\delta Q}{T}}=d\venstre(k\,ln\,{\mathcal {Z}}+{\frac {U-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}N_{i}}{T}}\right)\,,

og parametrene for det store kanoniske ensemble er identificeret med termodynamiske kemiske potentialer. [29] Integrering får vi $\ \left(\mu _{1},...,\mu _{c}\right)$

\left(33\right)\,

\ TS=kT\,ln\,{\mathcal {Z))+U-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}N_{i}\,.

Introduktion af det store kanoniske potentiale

\left(34\right)\,

{\mathcal {F}}=U-TS-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}N_{i}=FG=\sum _{j=1}^{ m}X_{j}x_{j}\,,

giver os mulighed for at skrive resultatet i en form svarende til (27):

\left(35\right)\,

{\mathcal {F}}=-kT\,ln{\mathcal {Z}}\,.

Statistisk termodynamik

	Mikrokanonisk distribution	Kanonisk distribution	Stor kanonisk fordeling
Sandsynlighedstæthed	${\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\begin{cases}\ 0&H\left(p,q\right)<U\\\ C&U\leq H\left(p ,q\right)\leq U+\Delta U\\\ 0&U+\Delta U<H\left(p,q\right)\end{cases}}$ $\ C={\frac {1}{\Omega ^{\prime }\left(U\right)\Delta U))\,$	${\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{Z}}\,e^{-H\left(p,q\right)/kT}$ $Z=\int e^{-H\left(p,q\right)/kT}\,dp\,dq$	${\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,e^{-\left(H\left(p,q \right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}\,N_{i}\right)/kT}$ $\ {\mathcal {Z}}=\int e^{-\left(H\left(p,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i} \,N_{i}\right)/kT}\,dp\,dq$
Termodynamisk potentiale	$\ S=k\,ln\Omega ^{\prime }\left(U\right)$	$\ F=-kT\,lnZ$	${\mathcal {F}}=-kT\,ln{\mathcal {Z}}$
Tilstandsligninger	$\ dS={\frac {dU}{T}}-{\frac {\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j}}{T}}$ $\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{x}={\frac {1}{T}}\,,\;\left({\frac { \partial S}{\partial x_{j}}}\right)_{U}=-{\frac {X_{j}}{T}}$	${\displaystyle \ dF=-S\,dT+\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j))$ $\left({\frac {\partial F}{\partial T))\right)_{x}=-S\,,\;\left({\frac {\partial F}{\partial x_ {j}}}\right)_{T}=X_{j}$	$\ d{\mathcal {F}}=-S\,dT+\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j}-\sum _{i=1}^ {c}N_{i}\,d\mu _{i}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {F))}{\partial T))\right)_{x,\mu}=-S,\;\left({\frac {\ delvis {\mathcal {F}}}{\partial x_{j}}}\right)_{\mu ,T}=X_{j},\;\left({\frac {\partial {\mathcal {F ))}{\partial \mu _{i))}\right)_{T,x}=-N_{i))$

Grænser for klassisk statistisk mekanik

Det følger af ekvipartitionssætningen, at hver frihedsgrad af systemet bidrager til varmekapaciteten ved et konstant volumen (pr. mol ) lig med R og ikke afhænger af temperaturen (R er den universelle gaskonstant ). For en monoatomisk gas, som svarer til tre (translationelle) frihedsgrader, opnås C V = R. Ved diatomiske gasser tages der hensyn til rotationen (yderligere to frihedsgrader) af de indgående atomer omkring midten af masse, C V = R; og tilføjelse af bidraget af vibrationer langs en fælles akse, C V = R. For et fast legeme bestående af atomer, der vibrerer med små amplituder omkring stabile ligevægtspositioner (steder for krystalgitteret), C V = 3R. Disse værdier bekræftes eksperimentelt, ved almindelig temperatur, for monoatomiske gasser og faste stoffer ( Dulong-Petit lov ), men ikke for vibrationer af diatomiske molekyler. Ved lave temperaturer observeres i alle tilfælde en temperaturafhængighed: stoffernes varmekapacitet har en tendens til nul ved absolut temperatur. [30] Resultaterne af klassisk statistisk mekanik er godt verificeret ved tilstrækkeligt høje temperaturer; men efterhånden som temperaturen falder, "fryser" frihedsgraderne efter hinanden. ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}{\frac {7}{2}}\end{matrix}}$

I overensstemmelse med ekvipartitionssætningen er den gennemsnitlige energi af en lineær harmonisk oscillator med frekvens , i termisk ligevægt med en termostat ved temperatur T, kT og afhænger ikke af frekvensen. [31] For den spektrale energitæthed af termisk stråling ved temperatur T: $\scriptstyle \nu$

\left(36\right)\,

\rho (\nu ,T)\propto \nu ^{2}\,kT

( Rayleigh-Jeans lov ). Dette resultat bekræftes kun af eksperimentelle data ved lave frekvenser; stigningen med kvadratet af frekvens dæmpes til mellemfrekvenser, hvor funktionen når et maksimum, og for den tenderer asymptotisk til nul. Ekstrapoleret til høje frekvenser ville Rayleigh-Jeans-loven føre til en ultraviolet katastrofe : den frekvensintegrerede spektrale energitæthed af termisk stråling ville divergere. [32] $\rho (\nu ,T)$ $\scriptstyle \nu \to \infty \,$

Tzizeika viste, at klassisk statistisk mekanik, baseret på en kontinuerlig fordeling af energi, var uforenelig med termodynamikkens tredje princip . [33]

Kvantestatistisk mekanik

Kvantestatistisk mekanik er baseret på det samme postulat - et systems termodynamiske egenskaber kan udledes af et statistisk ensemble, der repræsenterer forskellige mikroskopiske tilstande, men beskrivelsen af disse tilstande og sammensætningen af dette ensemble adskiller sig fra klassisk mekanik. I kvantemekanik kan koordinat og konjugeret momentum ikke have veldefinerede værdier på samme tid; de bestemmes kun statistisk, og standardafvigelser er beskrevet af usikkerhedsprincippet. $q\,$ $p\,$

\left(37\right)\,

\Delta q\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2))\,,

hvor er den reducerede Planck konstant . Den klassiske forestilling om en bane (i konfigurationsrum eller i faserum) mister sin mening. Faserummet er ikke længere definerbart: det bliver en klynge af upræcist afgrænsede celler med fasevolumenet for hver , hvor er antallet af frihedsgrader. [34] Hvis man også antager postulatet, at sandsynligheden for en bestemt mikroskopisk tilstand kun afhænger af denne tilstands energi (uden ergodisk argumentation), skal beskrivelsen af veldefinerede energitilstande (stationære tilstande) adlyde kvantemekanikken. $\hbar \,$ $\hbar ^{n}$ $n\,$

Stationære tilstande i kvantemekanikken

I kvantemekanikken er observerbare fysiske størrelser forbundet med operatører. Dynamikken udtrykkes af den Hamiltonske operatør , som erstatter den Hamiltonske funktion i klassisk mekanik. Et systems tilstande er statistisk bestemt af bølgefunktionen , som opfylder Schrödinger-ligningen . ${\mathcal {H}}\,$

Energiniveauer

Når Hamiltonian (Hamilton-operatoren) ikke er afhængig af tid, så bestemmes denne operator, der er forbundet med den observerede energiværdi , og tilstandene ved at løse den tidsuafhængige (stationære) Schrödinger-ligning. De værdier , som denne ligning har for løsninger er fysisk mulige energiværdier kaldes energiniveauer . Det er praktisk at kalde et sådant sæt niveauer energispektret og at indeksere værdisættet i en stigende rækkefølge: indekset kaldes kvantetallet . De tilsvarende energier beskriver de tilsvarende stationære tilstande. Derudover kan flere forskellige tilstande svare til energiniveauet , beskrevet af uafhængige funktioner , de siger, at niveauet er r-fold degenereret . Ved tilstedeværelse af degeneration skal der ud over hovedkvantetallet (som angiver værdien af energien) angives sekundære kvantetal (som angiver værdierne af andre observerbare led , dvs. kan måles samtidigt) for at beskrive staten fuldt ud. Yderligere antages det, at dette er blevet gjort, og det unikke indeks er i virkeligheden et komplet sæt af kvantetal: som fuldstændig karakteriserer den stationære tilstand. ${\mathcal {H}}u=Eu\,.$ $E\,$ $u\,$ $E_{0},E_{1},...,E_{j},...\,;$ ${\displaystyle \ E_{j))$ $\ u_{j_{1}},...,u_{j_{r}}\,;$ $j=\left\{j_{1},...,j_{r}\right\}\,$

Spin

Elementære partikler (såsom elektronen og protonen ) har deres eget vinkelmomentum (uafhængig af orbital bevægelse) kaldet spin . Dens størrelse er udtrykt ved spin-kvantetallet, som kan tage heltal eller halv-heltal ikke-negative værdier: . For et system med spin s kan projektionen af spin til en given retning have 2s + 1 værdier, i ækvidistante trin på 1, mellem -s og +s. For elektronen blev spin-hypotesen formuleret af Uhlenbeck og Goudsmit for at forklare resultaterne af Stern-Gerlach-eksperimentet og blev teoretisk forklaret af Pauli . Partikelaggregater ( atomkerner , atomer , molekyler ) kan betragtes som elementære partikler, hvis deres indre struktur forbliver uændret, når de interagerer med andre systemer; deres rotation er resultatet af komponenternes kinetiske drejningsmomenter. [35] $\scriptstyle s\,=\,0,\,{\frac {1}{2)),\,1,\,{\frac {3}{2}}\,,\,... \,$ $\scriptstyle {\frac {1}{2))$

Kanonisk fordeling i kvantestatistisk mekanik

Når man bevæger sig fra en kontinuerlig fordeling af energi til en energi fordelt diskret, erstattes sandsynligheden i faserum af sandsynligheden for hver energitilstand karakteriseret ved et kvantetal Ækvivalent af relationer (11) og (12) i kvantestatistisk mekanik, under hensyntagen til (26): $H(p,q)\,$ $\left\{E_{0},E_{1},...,E_{i},...\right\},$ ${\mathcal {P}}\left(p,q\right)dp\,dq\,$ $P_{i}\,$ $E_{i}\,,$ $i\,.$

\left(38\right)\,

P_{i}={\frac {1}{Z}}\;e^{-E_{i}/kT}\,,

\left(39\right)\,

Z=\sum _{j}e^{-E_{j}/kT}\,.

Når partitionsfunktionen er kendt, udledes systemets makroskopiske egenskaber fra den frie energi (27) ved standardmetoder. At bestemme energiniveauerne for et system med et meget stort antal frihedsgrader er en vanskelig opgave selv med moderne computerressourcer. Derfor er statistisk termodynamik baseret på relationer (38) og (39) vanskelig eller umulig at bygge i det mest generelle tilfælde. $Z\,,$

Systemer af identiske partikler

Problemet er meget forenklet, hvis det makroskopiske system, der overvejes, består af et stort antal identiske delsystemer, hvis interne struktur er praktisk talt uafhængig af samspillet mellem dem; i dette tilfælde taler vi om et system af identiske partikler . Gasser og elektroner i metaller er sådanne systemer.

Lad systemet bestå af et antal identiske partikler og være energiniveauerne for en isoleret partikel under givne ydre forhold. For at nå termodynamisk ligevægt skal de indgående partikler interagere (gennem "kollisions"-mekanismen i kinetisk teori), men disse interaktioner antages at have ringe effekt på energiniveauet. I denne forstand er partiklerne uafhængige , og energiniveauerne i et system er resultatet af summeringen af energiniveauerne for dets partikler. For at sammensætte et statistisk ensemble er det nødvendigt at tage højde for det faktum, at i kvantemekanikken er identiske partikler statistisk fordelt over enkeltpartikeltilstande, og deres beskrivelse som en "partikel med et tal" i en tilstand med energi er meningsløs. Antallet af partikler i systemet i en given individuel tilstand kaldes den pågældende tilstands besættelsesnummer ; derfor er der parallelt med kæden af energiniveauer en række af besættelsesnumre Summen af energierne i de indgående partikler er systemets energi: $N\,$ $\left\{\epsilon _{0},\epsilon _{1},...,\epsilon _{i},...\right\}\,$ $j\,$ $\epsilon _{j}\,$ $\left\{n_{0},n_{1},...,n_{i},...\right\}.$

\left(40\right)\,

E=\sum _{j}\,n_{j}\,\epsilon _{j}\,.

Interaktioner mellem de partikler, der udgør systemet, uden at ændre energiniveauer forårsager en omfordeling af partikler på eksisterende niveauer. Det statistiske ensemble for denne situation er den store kanoniske fordeling, hvor alle komponenter interagerer med det samme kemiske potentiale, da partiklerne er identiske:

\left(41\right)\,

P=const\cdot e^{-\left(\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}\,-\sum _{j}\mu \,n_{j}\right )/kT}=const\cdot \prod _{j}\left(e^{-\left(\epsilon _{j}-\mu \right)/kT}\right)^{n_{j}}\ ,.

Denne formel viser sandsynligheden for, at disse partikler er fordelt som følger: partikler kan findes i en tilstand , partikler kan findes i en tilstand osv. Sandsynligheden for at partikler kan findes i en tilstand med energi er uafhængig af fyldning af andre stater $N\,$ $\epsilon _{0}\,$ $n_{0}\,$ $\epsilon _{1}\,$ $n_{1}\,$ $\epsilon _{i}\,$ $n_{i}\,$

\left(42\right)\,

P_{i}\left(\epsilon _{i},n_{i}\right)=const\cdot \left(e^{-\left(\epsilon _{i}-\mu \right) /kT}\right)^{n_{i}}\,;

\left(43\right)\,

\sum _{n_{j}}\,P_{j}\left(\epsilon _{i},n_{j}\right)=1\,.

Gennemsnitsværdien af besættelsestallet for niveauet , som angiver fordelingen af partikler i systemet over enkeltpartikelenerginiveauer, er $\epsilon _{i}$

\left(44\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle =\sum _{n_{j}}\,n_{j}\,P_{j}\left(\epsilon _{i},n_{j }\ret)\,.

Hvis antallet af fyldninger for alle niveauer er 1 , så reduceres relation (41) til den kanoniske fordeling, og relation (42) bliver Maxwell-Boltzmann-fordelingen fra klassisk statistisk mekanik. [36]

Forholdet mellem spin og statistik

Der er en generel sammenhæng mellem typen af statistik udtrykt ved relationer (42)-(44), som udgør et system af identiske partikler, og størrelsen af disse partiklers spin:

For partikler med halvt heltals spin kan antallet af besættelser kun tage to værdier: 0 og 1 . Partikler i denne kategori, kaldet fermioner , adlyder Fermi – Dirac-statistikker . $\scriptstyle \left(s={\frac {1}{2)),\,{\frac {3}{2)),\,{\frac {5}{2)),\,. ..\,\ret)\,$
For partikler med heltalsspin kan antallet af besættelser antage alle heltalsværdier: 0 , 1 , 2 ,. . Partikler i denne kategori, kaldet bosoner , adlyder Bose - Einstein-statistikker . $\scriptstyle \left(s=0,\,1,\,2,\,...\,\right)\,$

I ikke-relativistisk kvantemekanik er denne relation postuleret som et resultat af analysen af eksperimentelle data om identiske partikelsystemer. Den første formulering, begrænset til elektroner (som er fermioner), er kendt som Pauli- udelukkelsesprincippet . Forholdet mellem halvt heltals/heltals spin og fermion/boson partikeltypen er demonstreret i en meget generel hypotese i relativistisk kvantefeltteori kaldet den spin-statistiske sætning .

Det gennemsnitlige beskæftigelsestal for de to typer statistik er dog hentet fra formel (44) ved direkte beregning:

Fermi-Dirac statistik (fermioner)

\left(45\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}\,.

Bose-Einstein statistik (bosoner)

\left(46\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}\,.

Afhængighed af makroskopiske parametre

Det gennemsnitlige antal fyldte tilstande afhænger af to makroskopiske parametre i systemet: temperatur og kemisk potentiale . De er dog ikke uafhængige, men er relateret til det faktum, at $T\,$ $\mu \,.$

\left(47\right)\,

\sum _{j}\left\langle n_{j}\right\rangle =N\,.

Klassisk grænse

For begge typer statistik, hvis eksponenten fra nævneren bliver meget stor med hensyn til enhed, kan sidstnævnte negligeres, hvilket resulterer i

\left(48\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle =e^{-\left(\epsilon _{i}-\mu \right)/kT}=const\cdot e^{-\epsilon _{ i}/kT}\,,

det vil sige Maxwell-Boltzmann-fordelingen fra klassisk statistisk mekanik. Til dette skal temperaturen også være høj nok. I dette tilfælde er partikeltætheden derfor meget lav. Ud fra relation (47) kan det påvises, at denne situation er lettere for partikler med stor masse. Under disse forhold svarer systemets kvantekarakteristika og egenskaber til de klassiske statistiske data. $\epsilon _{i}>\mu$ $\left\langle n_{i}\right\rangle \ll 1\,,$

Kvantedegeneration

I det modsatte tilfælde, hvor eksponenten er af størrelsesordenen enhed, fører de to fordelinger til radikalt forskellige resultater fra og mellem klassisk statistik: såkaldte kvantedegenerationsfænomener forekommer . Dette sker naturligvis, når forholdene i det foregående afsnit er omvendt: ved lave nok temperaturer, høje nok tætheder og lave nok masser. Mere præcist: Jo højere tærskeltemperaturen er, desto højere er tætheden af systemet og jo mindre er partikelmassen, ved hvilken degenerationsfænomener opstår.

I tilfælde af Fermi-Dirac-statistikker udelukker det faktum, at en partikel indtager en bestemt tilstand, andre partikler fra denne tilstand, hvilket svarer til en frastødende kraft, der modarbejder kondenseringen af systemet. Ved metalliske elektroner er tætheden dog ret høj, og massen er meget lille, hvilket fører til degenerering af systemet op til smeltepunktet. På grund af dette kan mange egenskaber ved metaller ved almindelige temperaturer ikke forklares med klassisk statistik.

Bose-Einstein-statistikken, som gør det muligt at fylde en tilstand med et meget stort antal partikler, svarer til en tiltrækkende kraft, der fremmer kondens. I tilfælde af en gas sammensat af heliumatomer, selvom massen er lille, er tærskeltemperaturen meget lav; De usædvanlige egenskaber ved heliumkondensat ved temperaturer under 3 K forklares af degenerationsfænomener.

Noter

↑ Balescu, 1978 , s. femten.
↑ Bogolyubov N. N. "Problems of dynamic theory in statistical physics", M.-L.: OGIZ. Gostekhizdat, 1946.
↑ Balescu, 1978 , s. atten.
↑ Gibbs, 1946 , s. 17.
↑ Gibbs, 1946 , s. 18-19.
↑ Țițeica (1956), s. 19.
↑ Țițeica (1956), s. 21; Țițeica (2000), s. 54.
↑ Gibbs, s. vii.
↑ 1 2 Landau & Lifshitz, 1976 , s. 16.
↑ Gibbs, 1946 , s. 29.
↑ Olkhovsky I. I. Kursus i teoretisk mekanik for fysikere .. - 2. udgave, revideret. og yderligere .. - M . : Moscow Universitys forlag, 1974. - S. 393. - 569 s.
↑ Țițeica (1956), s. 27-30; Țițeica (2000), s. 60-64.
↑ Sunt în uz curent două notații standard pentru valoarea medie a unei variabile aleatorii cu paranteze unghiulare sau cu bară deasupra . $\scriptstyle f:$ $\scriptstyle \langle f\rangle \,$ $\scriptstyle {\overline {f}}\,$
↑ Landau & Lifshitz, 1976 , s. 17.
↑ Landau & Lifshitz, 1976 , s. 21.
↑ Schrödinger, s. 3-4, argumentează calitativ plauzibilitatea acestui postulat.
↑ Tolman, s. 59-63.
↑ Gibbs, s. 115.
↑ Țițeica (2000), s. 65-69.
↑ Gibbs, s. 32.
↑ În engleză se numește grand canonical ensemble , termen introdus de Gibbs, s. 189.
↑ Tolman, s. 621.
↑ Cantitățile pot fi exprimate în unități de masă, mol sau număr de molekyle.
↑ Gibbs, s. 191.
↑ Țițeica (1956), s. 33-37.
↑ Țițeica (2000), s. 69-72.
↑ Țițeica (2000), s. 72.
↑ Țițeica (1956), s. 46-49; Țițeica (2000), s. 72-73.
↑ Wannier, s. 158; Kittel, s. 64.
↑ Țițeica (2000), s. 94-111.
↑ Țițeica (2000), s. 100.
↑ Țițeica (2000), s. 111-113.
↑ Țițeica, Șerban: Principiul al treilea al termodinamicii și mecanica statistică , Studii și cercetări de fizică, Tomul IV, pp. 7-14 (1953); reprodus în Țițeica (2000), pp. 317-324.
↑ Țițeica (1956), s. 52.
↑ Țițeica (1984), s. 354-355.
↑ Țițeica (1956), s. 55-56.

Bibliografi

Gibbs JV Grundlæggende principper for statistisk mekanik (forklaret med en særlig anvendelse på den rationelle underbygning af termodynamik). . - M. - L .: OGIZ, 1946.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Statistisk fysik. - 3. udgave, tillæg .. - M . : Nauka, 1976. - T. 1. - 568 s. - ("Teoretisk fysik", bind V). - 45.000 eksemplarer.
Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics. - M .: Mir, 1978. - T. I. - 405 s.
Boltzmann, Ludwig : Vorlesungen über Gastheorie , I. Theil, Verlag Johann Ambrosius Barth, Leipzig, 1896. E-bog .
Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie , II. Theil, Verlag Johann Ambrosius Barth, Leipzig, 1898. E-bog .
Ehrenfest, Paul și Tatiana : The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics , Dover Publications, 2002. ISBN 0-486-49504-3 .
Fowler, RH: Statistical Mechanics , University Press, Cambridge, 1980,.
Huang, Kerson: Statistical Mechanics , red. a 2-a, John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-81518-7 .
Kittel, Charles : Elementary Statistical Physics , Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43514-8 .
Landau, L.D. și Lifshitz, E.M.: Statistical Physics , Pergamon Press, 1980. ISBN 0-08-023038-5 .
Murgulescu, IG og Segal, E.: Introducere în chimia fizică, vol. II, 1-Teoria molecular-cinetică a materiei , București, Editura Academiei RSR, 1979.
Onicescu, O. , Mihoc, G. și Ionescu-Tulcea, CT: Calculul probabilităților și aplicații , Editura Academiei Republicii Populare Romîne, București, 1956.
Schrödinger, Erwin : Statistical Thermodynamics , Dover Publications, 1989, ISBN 0-486-66101-6 .
Tolman, Richard C .: The Principles of Statistical Mechanics , Dover Publications, 1979. ISBN 0-486-63896-0 .
Țițeica, Șerban : Elemente de mecanică statistică , Editura Tehnică, București, 1956.
Țițeica, Șerban: Mecanica cuantică , Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984.
Țițeica, Șerban: Curs de fizică statistică și teoria cuantelor , All Educational, Timișoara, 2000. ISBN 973-684-319-X
Wannier, Gregory H.: Statistical Physics , Dover Publications, 1987. ISBN 0-486-65401-X .
Berezin F. A. Forelæsninger om statistisk fysik. Moskva-Izhevsk: Institut. computerforskning, 2002. - 192s. (2. udg., Rev. Forlag: MTSNMO, 2008. - 200 s. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN Problemer med dynamisk teori i statistisk fysik. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat, 1946.
Bogolyubov N. N. Udvalgte værker om statistisk fysik. M.: Forlag ved Moscow State University, 1979.
Bogolyubov N. N. Samling af videnskabelige værker. I 12 bind.
Zubarev D. N., Morozov V. G., Repke G. Statistisk mekanik af ikke-ligevægtsprocesser. Bind 1. M .: FIZMATLIT, 2002. - 432 s. (utilgængeligt link) ISBN 5-9221-0211-7 , 5-9221-0210-9
Prigogine I. Nonebalance Statistical Mechanics. Forlag: Redaktionel URSS, 2005. - 312 s. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya. Matematiske grundlag for statistisk mekanik. Publishing House: Regular and Chaotic Dynamics, 2003. - 128 s. (utilgængeligt link) ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Statistisk mekanik. Strenge resultater. M.: Mir, 1971. - 368 s.
Krylov NS Arbejder med at underbygge statistisk fysik. M.-L.: Fra USSR's Videnskabsakademi, 1950.
Terletsky Ya. P. Statistisk fysik. (2. udg.) M.: Højere skole, 1973.
Uhlenbeck J., Ford J. Forelæsninger om statistisk mekanik. M.: Mir, 1965.

Links

Judith A. McGovern: Termisk og statistisk fysik , University of Manchester.
Daniel F. Styer: Statistisk mekanik , Oberlin College.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX524922 BNF : 11958255n GND : 4056999-8 J9U : 987007531887605171 LCCN : sh85127571 NDL : 00573177 NKC : ph170616 SUDOC : 027570711

Afsnit af statistisk fysik
Statistisk mekanik kvantestatistikker Molekylær fysik Fysisk kinetik Statistisk feltteori
Fysik af kondenseret stof	Faststoffysik Fysik af væsker Fysik af atomer og molekyler Nanostrukturers fysik