Notation

Talsystemer i kultur
indo-arabisk
arabisk tamil burmesisk	Khmer Lao Mongolsk Thai
østasiatisk
kinesisk japansk Suzhou koreansk	Vietnamesiske tællestokke
Alfabetisk
Abjadia Armensk Aryabhata kyrillisk græsk	Georgisk etiopisk jødisk Akshara Sankhya
Andet
Babylonsk egyptisk etruskisk romersk Donau	Attic Kipu Mayan Aegean KPPU-symboler
positionelle
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-positionel
symmetrisk
blandede systemer
Fibonacci
ikke-positionelle
Ental (unær)

Talsystemet ( engelsk numeral system eller system of numeration ) er en symbolsk metode til at skrive tal , der repræsenterer tal ved hjælp af skrevne tegn .

Notation:

giver repræsentationer af et sæt tal ( heltal og/eller reelle tal );
giver hvert tal en unik repræsentation (eller i det mindste en standardrepræsentation);
afspejler tals algebraiske og aritmetiske struktur.

Talsystemer er opdelt i:

positional ( eng. positionssystem , sted-værdi-notation );
ikke-positionel;
blandet.

Positionsnummersystemer

I positionstalsystemer har det samme taltegn ( ciffer ) i en talindtastning forskellige betydninger afhængigt af det sted ( ciffer ), hvor det er placeret. Opfindelsen af positionsnummerering baseret på den lokale betydning af cifrene tilskrives sumererne og babylonerne ; en sådan nummerering blev udviklet af hinduerne og havde uvurderlige konsekvenser i den menneskelige civilisations historie. Disse systemer inkluderer det moderne decimaltalssystem , hvis fremkomst er forbundet med at tælle på fingrene. I middelalderens Europa dukkede den op gennem italienske købmænd, som igen lånte den af araberne.

Det positionelle talsystem forstås normalt som det -ary talsystem, som er defineret af et heltal , kaldet grunden af talsystemet. Et heltal uden fortegn i det -ary talsystem er repræsenteret som en endelig lineær kombination af potenser af tallet : $b$ $b>1$ $x$ $b$ $b$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, hvor er heltal, kaldet cifre , der opfylder uligheden .

a_{k}

0\leq a_{k}\leq (b-1)

Hver grad i en sådan post kaldes kategoriens vægtningsfaktor . Cifrenes anciennitet og deres tilsvarende cifre bestemmes af værdien af indikatoren (ciffernummer). Normalt udelades indledende nuller i tal, der ikke er nul. $b^{k}$ $k$

Hvis der ikke er nogen uoverensstemmelser (for eksempel når alle cifre præsenteres i form af unikke skrevne tegn), skrives nummeret som en sekvens af dets -ary-cifre, anført i faldende rækkefølge af cifre fra venstre mod højre: $x$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.

For eksempel er tallet hundrede tre repræsenteret i decimaltalsystemet som:

103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.

De mest almindeligt anvendte positionssystemer er:

2- binær (i diskret matematik , datalogi , programmering );
3 - ternær ;
8 - oktal ;
10 - decimal (bruges overalt);
12 - duodecimal (tæller i snesevis);
16 - hexadecimal (bruges i programmering , datalogi );
20 - vigesimal ;
60 - sexagesimal ( tidsenheder , måling af vinkler og især koordinater, længde- og breddegrad ).

I positionelle systemer gælder det, at jo større talsystemets basis er , jo færre cifre (dvs. cifre at skrive ) kræves, når du skriver et tal.

Blandede talsystemer

Det blandede talsystem er en generalisering af det -ary talsystem og refererer også ofte til positionstalsystemer. Grundlaget for det blandede talsystem er en stigende talrække , og hvert tal i det er repræsenteret som en lineær kombination : $b$ $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $x$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}

, hvor der er pålagt nogle restriktioner på koefficienterne , der som før kaldes cifre .

a_{{k}}

Registrering af et tal i et blandet talsystem er opregningen af dets cifre i rækkefølge efter faldende indeks , startende fra det første ikke-nul. $x$ $k$

Afhængigt af typen som funktion af blandede talsystemer kan være potens , eksponentiel osv. Når for nogle , falder det blandede talsystem sammen med det eksponentielle -ary talsystem. $b_{k}$ $k$ $b_{k}=b^{k}$ $b$ $b$

Det mest berømte eksempel på et blandet talsystem er repræsentationen af tid som et antal dage, timer, minutter og sekunder. I dette tilfælde svarer værdien af " dage, timer, minutter, sekunder" til værdien af sekunder. $d$ $h$ $m$ $s$ $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$

Faktorielt talsystem

I faktortalssystemet er baserne rækkefølgen af faktorialer , og hvert naturligt tal er repræsenteret som: $b_{k}=k!$ $x$

x=\sum _{k=1}^{n}d_{k}k!

, hvor .

0\leq d_{k}\leq k

Faktorial-talsystemet bruges ved afkodning af permutationer med lister over inversioner : med et permutationsnummer kan du selv gengive det på følgende måde: permutationsnummeret (nummereringen starter fra nul) skrives i faktortalssystemet, mens koefficienten på tallet vil angive antallet af inversioner for et element i det sæt, hvor der foretages permutationer (antallet af elementer mindre end , men til højre for det i den ønskede permutation). $i!$ $i+1$ $i+1$

Eksempel: overvej et sæt af permutationer af 5 elementer, der er 5 i alt! = 120 (fra permutation med nummer 0 - (1,2,3,4,5) til permutation med nummer 119 - (5,4,3,2,1)), finder vi permutation med nummer 100:

100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;

lad — koefficienten for tallet , så , , , så: antallet af elementer mindre end 5, men stående til højre er 4; antallet af elementer mindre end 4, men til højre er 0; antallet af elementer mindre end 3, men til højre er 2; antallet af elementer mindre end 2, men til højre er 0 (det sidste element i permutationen "sættes" på det eneste tilbageværende sted) - således vil permutationen med nummer 100 se ud: (5,3,1, 2,4) Kontrol af denne metode kan gøres ved direkte at tælle inversionerne for hvert permutationselement. $t_{i}$ $i!$ $t_{4}=4$ $t_{3}=0$ $t_{2}=2$ $t_{1}=0$

Fibonacci talsystem

Fibonacci-talsystemet er baseret på Fibonacci-tallene . Hvert naturligt tal i det er repræsenteret som: $n$

n=\sum _{k}f_{k}F_{k}

, hvor er Fibonacci-tallene, , mens koefficienterne har et endeligt antal enheder, og der er ikke to enheder i træk.

F_{k}

f_{k}\in \{0,1\}

f_{k}

Ikke-positionelle talsystemer

I ikke-positionelle talsystemer er værdien, som et ciffer står for, ikke afhængig af positionen i tallet. I dette tilfælde kan systemet pålægge begrænsninger på placeringen af numrene, for eksempel, så de er arrangeret i faldende rækkefølge.

De mest almindelige ikke-positionelle talsystemer i dag er romertal .

Binomialtalssystem

I det binomiale talsystem er tallet x repræsenteret som en sum af binomiale koefficienter :

x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \vælg k}

, hvor

0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}.

For enhver fast værdi er hvert naturligt tal repræsenteret på en unik måde. [en] $n$

Residual Class System (SOC)

Repræsentationen af et tal i det resterende klassesystem er baseret på begrebet rest og den kinesiske restsætning . RNS er defineret af et sæt parvise coprime- moduler med et produkt , således at hvert heltal fra intervallet er forbundet med et sæt rester , hvor $(m_{1},m_{2},\dots,m_{n})$ $M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}$ $x$ $[0,M-1]$ $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$

x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};

x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};

…

x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.

Samtidig garanterer den kinesiske restsætning entydigheden af repræsentationen for tal fra intervallet . $[0,M-1]$

I RNS udføres aritmetiske operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division) komponent for komponent, hvis resultatet vides at være et heltal og også ligger i . $[0,M-1]$

Ulemperne ved RNS er evnen til kun at repræsentere et begrænset antal tal, samt manglen på effektive algoritmer til sammenligning af tal repræsenteret i RNS. Sammenligning udføres normalt gennem konvertering af argumenter fra RNS til et blandet talsystem i baser . $(m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})$

Stern-Brocot nummersystem

Stern-Brocot-talsystemet er en måde at skrive positive rationelle tal på baseret på Stern-Brocot-træet .

Se også

Noter

↑ Lando S.K. Kapitel 1. Opgave 1.13 // Forelæsninger om generering af funktioner . - 3. udg., Rev. - M . : MTsNMO , 2007. - 144 s. - ISBN 978-5-94057-042-4 . (utilgængeligt link)

Links

Gashkov SB Nummersystemer og deres anvendelse . - M .: MTSNMO , 2004. - ( Bibliotek "Mathematical Education" ). Arkiveret 12. januar 2014 på Wayback Machine
Fomin SV Nummersystemer . — M .: Nauka, 1987. — 48 s. - ( Populære foredrag om matematik ).
Yaglom I. Talsystemer // Kvant . - 1970. - Nr. 6 . - S. 2-10 .
Tal og talsystemer . Online Encyclopedia Around the World.
Stakhov A. Talsystemernes rolle i computernes historie . Arkiveret fra originalen den 1. maj 2009.
Mikushin A.V. Nummersystemer. Forelæsningsforløb "Digitale enheder og mikroprocessorer"
Butler JT, Sasao T. Redundante talsystemer med flere værdier Artiklen omhandler talsystemer, der bruger cifre større end et og tillader redundans i repræsentationen af tal

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Brockhaus og Efron jorden rundt Lille Brockhaus og Efron kroatisk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4117700-9 J9U : 987007538744805171 LCCN : sh85093233 NDL : 00762396 NKC : ph128225