Supersammensat tal

Et supersammensat tal er et naturligt tal med flere divisorer end et hvilket som helst mindre naturligt tal.

Historie

Udtrykket blev foreslået af Ramanujan i 1915. Jean-Pierre Cahane overvejede dem dog tidligere, og de kan allerede have været kendt af Platon , som beskrev tallet 5040 som det ideelle antal borgere i byen, da 5040 har flere divisorer end noget mindre antal. [en]

Eksempler

Tabellen viser de første 38 supersammensatte tal (sekvens A002182 i OEIS ).

værelse	superkomposit	nedbrydning til simple	nummer divisorer	udvidelse til primorials
en	en		en
2	2	$2$	2	$2$
3	fire	$2^{2}$	3	$2^{2}$
fire	6	$2\cdot 3$	fire	$6$
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	otte	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9	$6^{2}$
otte	48	$2^{4}\cdot 3$	ti	$2^{3}\cdot 6$
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
ti	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	16	$2^{2}\cdot 30$
elleve	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	atten	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	tyve	$2^{3}\cdot 30$
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
fjorten	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	tredive	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
femten	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^{3}\cdot 210$
atten	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
tyve	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^{2}\cdot 2310$
tredive	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

Dekomponering i primtal

Dekomponeringen af supersammensatte tal involverer de mindste primfaktorer, og samtidig ikke for mange af de samme.

Ifølge aritmetikkens grundlæggende sætning har hvert naturligt tal en unik nedbrydning i primtal: $n$

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1 )

hvor primtal og potenser er positive heltal. Antallet af divisorer af et tal kan udtrykkes som følger: ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k))$ $c_{i}$ $d(n)$ $n$

d(n)=(c_{1}+1)\ gange (c_{2}+1)\ gange \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)

For et supersammensat tal gælder følgende: $n$

Tallene er de første primtal. ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k))$ $k$
Rækkefølgen af beføjelser skal være ikke-stigende, dvs. ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k))$
- Denne egenskab svarer til at sige, at et supersammensat tal er et produkt af oprindelige tal .
Bortset fra to specielle tilfælde, n = 4 OG N = 36, er den sidste potens en. $c_{k}$

Især 1, 4 og 36 er de eneste superkompositte kvadrater.

Selvom de ovenfor beskrevne betingelser er nødvendige, er de ikke tilstrækkelige. For eksempel opfylder 96 = 2 5 × 3 alle ovenstående betingelser og har 12 divisorer, men er ikke supersammensat, fordi der er et mindre tal 60, der har det samme antal divisorer.

Asymptotisk vækst og tæthed

Der er konstanter a og b , der begge er større end 1, således at

\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},

Hvor angiver antallet af supersammensatte tal mindre end eller lig med . $Q(x)$ $x$

Den første del af uligheden blev bevist af Pal Erdős i 1944; den anden blev bevist af Jean-Louis Nicholas i 1988.

Det vides også

1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}44

\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}71.

Egenskaber

Alle supersammensatte tal større end 6 er overflødige .

Ikke alle supersammensatte tal er Harshad-tal i basis 10;
- det første modeksempel er 245044800 , dette tal har en sum på 27 cifre, men er ikke deleligt med 27.

Se også

Noter

↑ Kahane, Jean-Pierre (februar 2015), Bernoulli-viklinger og selv-lignende foranstaltninger efter Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society bind 62 (2): 136–140 .

Litteratur

O. Ore. En invitation til talteori . - M. : Nauka, 1980. - 128 s. — (Udgave 3 af Quantum Library-serien). — 150.000 eksemplarer.

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdivisor Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer