Gitter (geometri)

Et gitter er et sæt euklidiske rumvektorer , der danner en diskret gruppe ved addition. $\mathbb {R} ^{n}$

Relaterede begreber

Et lineært uafhængigt system af vektorer, der genererer et gitter, kaldes dets basis . To sæt vektorer genererer det samme dimensionelle gitter, hvis og kun hvis matricerne og , sammensat af kolonnevektorerne for koordinaterne for vektorerne i disse sæt, er forbundet ved højre multiplikation med den unimodulære matrix : , . Derfor er det muligt at associere gitter af maksimal rang i -dimensionelt rum med cosets [1] . $n$ $B_1$ $B_{2}$ $B_{1}=B_{2}U$ $U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $n$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Determinanten af et gitter er determinanten af en matrix sammensat af koordinaterne for de vektorer, der genererer det. Det er lig med volumenet af dets fundamentale område , som er et parallelepipedum , og kaldes også gitterets kovolumen.

Normen for en vektor i teorien om gitter i det euklidiske rum kaldes normalt ikke længden af vektoren, men dens kvadrat . $v$ $\|v\|^{2}$

Gitteret hedder: $\Gamma \subset \mathbb{R} ^{n}$

Heltal , hvis skalarproduktet af to af dens vektorer er et heltal:

\forall u,v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb{Z } .

Selvom normen for nogen af dens vektorer er lige:

\forall v\in \Gamma \quad \langle v,v\rangle \in 2\mathbb {Z} .

Unimodulær, hvis dens fundamentale parallelepipedum har volumen 1.

En ikke-nul vektor af et gitter kaldes primitiv , hvis den ikke er collineær med en kortere ikke-nul vektor af dette gitter.

Den primitive vektor af gitteret, med hensyn til refleksion, langs hvilken gitteret er invariant, kaldes gitterets rod . Sættet af gitterrødder danner et rodsystem . Hvert gitter, der genereres af dets rødder, ligner det gitter, der genereres af vektorer med normerne 1 eller 2. Et sådant gitter kaldes et rodgitter [2] .

Dualen af et gitter til et gitter er et gitter, der er betegnet med eller og er defineret som $\Gamma$ $\Gamma ^{*}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\vee ))$

\Gamma ^{*}=\{u\mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb {Z} \}.

Et gitter kaldes selv-dual , hvis det falder sammen med dets dual til sig selv.

Et undergitter er en undergruppe af et gitter.

Man kan definere et objekt analogt med et gitter i et affint rum - et affint gitter; er kredsløbet for et punkt i det affine rum under påvirkning af skift på gittervektorerne.

I fysik kaldes gitter i tredimensionelt rum, klassificeret efter deres symmetri, Bravais-gitter , det dobbelte gitter er det reciproke gitter , det grundlæggende parallelepipedum er den (primitive) enhedscelle .

Cayley-grafen for et gitter kaldes også et (uendeligt) gitter .

Egenskaber

Hvis gitteret er heltal, så . $\Gamma$ $\Gamma \subset \Gamma ^{*}$
Kovolumen af gitteret og dets dual i produktet giver 1.
Et helt unimodulært gitter er automatisk selv-dual.
Selv selvdobbelte gitter eksisterer kun i rum med dimensioner delelige med otte.
Isometrigruppen i et gitter er altid endelig.

Eksempler

Klasser af isometri og lighed

Gitter betragtes som andre geometriske objekter ofte op til bevægelser (isometrier ind i sig selv) af det omsluttende euklidiske rum - rotationer omkring oprindelsen og refleksioner i forhold til planer, der passerer gennem det. En sådan transformation virker på en matrix sammensat af koordinaterne for basis af gitteret, som en multiplikation til venstre med en ortogonal matrix . Derfor kan isometriklasserne af gitter - ækvivalensklasserne af gitter med hensyn til isometrier - associeres med tosidede tilstødende klasser af gruppen af inverterbare matricer : [3] . $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Også i nogle problemer anses gitter for op til lighed ; sådanne transformationer virker på en matrix som multiplikation med elementer (sæt af reelle tal, der ikke er nul). Lighedsklasser af gitter svarer til tilgrænsende klasser [3] . $\mathbb {R} ^{*}$ $\mathbb {R} ^{*}\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm { GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Bilineære og kvadratiske former

En nært beslægtet, " talteoretisk " definition af et gitter er en abstrakt fri abelsk gruppe af endelig rang (det vil sige isomorf ) med en positiv-bestemt symmetrisk bilineær form på den; i stedet for en bilineær form kan man angive en kvadratisk . For at denne definition skal være ækvivalent med den "geometriske" definition af gitter (mere præcist deres isometriklasser) givet ovenfor, skal man overveje kvadratiske former op til en vis ækvivalensrelation. $\mathbb{Z } ^{n}$

Hvis et gitter og dets basis er givet, så er matrixen af den tilsvarende kvadratiske form grammatricen for denne basis. En positiv bestemt andengradsform som en funktionel på kan gives som , (så er den kvadratiske forms matrix ), og den ændres ikke, hvis vektoren udsættes for en ortogonal transformation, så positive bestemte kvadratiske former er i en-til -en korrespondance med cosets . Hvis vi betragter ækvivalente former, hvis matricer og er forbundet gennem en unimodulær matrix som , så viser ækvivalensklasserne af kvadratiske former sig at være i en-til-en overensstemmelse med cosets - og dermed med isometriklasserne af gitter [3] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle v\mapsto \|Av\|^{2))$ $A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q=A^{\mathrm {T} }A$ $Av$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q_1$ $Q_{2}$ $U$ $U^{\mathrm {T} }Q_{1}U=Q_{2}$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

På det komplekse plan

I det todimensionelle tilfælde kan man identificere det omgivende euklidiske rum med det komplekse plan og gittervektorerne med komplekse tal. Hvis gitterets positivt orienterede grundlag er repræsenteret af et par komplekse tal , så kan man ved en lighedstransformation gå over til et gitter med basis , hvorefter ændringen af basis i gitteret med bevarelse af orientering vil svare til en lineær-fraktionel transformation af det øvre halvplan - et element i den modulære gruppe . $(\omega _{1},\omega _{2})$ $(1,\omega _{2}/\omega _{1})$

Ansøgninger

Forskellige geometriske problemer er forbundet med gitter, såsom tæt pakning af lige store kugler . Også koder til fejlkorrigerende kodning er baseret på riste . Mange problemer i gitterteori ligger til grund for gitterkryptografi .

Generaliseringer

Hvis vi associerer med en fri Abelsk gruppe en bilineær form, der ikke er positiv bestemt, så vil resultatet være et gitter i et pseudo-euklidisk rum .
Et gitter med maksimal rang i har et grundlæggende domæne med begrænset volumen. I teorien om Lie-grupper og nogle andre områder er et gitter i en gruppe en diskret undergruppe, hvor volumen af gruppens kvotientrum er begrænset, hvilket generaliserer denne egenskab. $\mathbb {R} ^{n}$ $G$ $G$
Fra et mere generelt algebraisk synspunkt er et gitter et frit modul indlejret i et vektorrum over et talfelt indeholdt i . Man kan generalisere dette koncept ved at betragte et vilkårligt endeligt genereret torsionsfrit modul over en integral ring , indlejret i et vektorrum over et felt af kvotienter for [4] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R$ $R$

Noter

↑ Martinet, 2003 , s. 3.
↑ Martinet, 2003 , s. 131-135.
↑ 1 2 3 Martinet, 2003 , s. 20-22.
↑ Reiner, I. Maksimale ordener . - Oxford University Press , 2003. - Vol. 28. - S. 44. - (London Mathematical Society Monographs. New Series). — ISBN 0-19-852673-3 .

Litteratur

J. Conway, N. Sloan. Pakninger af kugler, gitter og grupper. — M.: Mir, 1990.
Jacques Martinet. Perfekt gitter i euklidiske rum. - Springer, 2003. - Erratum . - ISBN 978-3-642-07921-4 . - doi : 10.1007/978-3-662-05167-2 .