Gruppeudvidelse

En gruppeudvidelse er en gruppe , der indeholder den givne gruppe som en normal undergruppe af . I udvidelsesproblemet er der som regel angivet en normal undergruppe og en kvotientgruppe , og en udvidelse søges således, at , eller tilsvarende, sådan at der eksisterer en kort nøjagtig rækkefølge : $N$ $Q$ $G\supset N$ $G/N\cong Q$ $G$

1\to N\to G\to Q\to 1

I dette tilfælde siges det at være en forlængelse med [1] (nogle gange bruges en anden formulering: gruppen er en forlængelse med [2] [3] ). $G$ $Q$ $N$ $G$ $N$ $Q$

En udvidelse kaldes en central udvidelse, hvis undergruppen ligger i midten af gruppen . $N$ $G$

Eksempler

Grupper er også udvidelser med . $\mathbb {Z} _{4}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2))$ ${\mathbb {Z}}_{2}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

En oplagt udvidelse er et direkte produkt : hvis , så er både en udvidelse af og . Hvis er et halvdirekte produkt af grupperne og ( ), så er en udvidelse med . $G=K\ gange H$ $G$ $H$ $K$ $G$ $K$ $H$ $G=K\rtimes H$ $G$ $H$ $K$

Kransprodukter fra grupper giver yderligere eksempler på udvidelser.

Egenskaber

Hvis vi kræver det og er Abelske grupper , så er sættet af isomorfiklasser af udvidelsen af en gruppe med en given (Abelsk) gruppe i virkeligheden en gruppe, der er isomorf til : $G$ $Q$ $Q$ $N$

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

( Ekstern funktion ). Nogle andre generelle klasser af udvidelser er kendte, men der er ingen teori, der overvejer alle mulige udvidelser på samme tid, i denne forstand anses problemet med gruppeudvidelse normalt for vanskeligt.

Da hver endelig gruppe har en maksimal normal undergruppe med en simpel faktorgruppe , kan alle endelige grupper konstrueres som kompositionsserier , hvor hver gruppe er en forlængelse af en simpel gruppe . Denne kendsgerning er blevet et af de vigtige incitamenter til at løse problemet med klassificering af simple endelige grupper . $G$ $N$ $G/N$ $\{A_{i}\}$ $A_{{i+1}}$ $A_{i}$

Klassificering af udvidelser

At løse udvidelsesproblemet betyder at klassificere alle udvidelser af en gruppe med , eller mere specifikt at udtrykke alle sådanne udvidelser i form af matematiske enheder, der er enklere i en eller anden forstand (lette at beregne eller godt forståelige). Generelt er denne opgave meget vanskelig, og alle de mest nyttige resultater klassificerer udvidelser, der opfylder nogle yderligere betingelser. $H$ $K$

For klassifikationsproblemet er et vigtigt begreb ækvivalensen af udvidelser; udvidelser siges at være:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi}{{}\to {}}}H\to 1

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

er ækvivalente (eller kongruente), hvis der eksisterer en gruppeisomorfi, der gørdiagrammet kommutativt : $T:G\to G'$

Faktisk er det tilstrækkeligt at have en homomorfi-gruppe. På grund af den formodede kommutativitet af diagrammet er kortlægningen tvunget til at være en isomorfi af det korte lemma på fem homomorfier .

Det kan ske, at udvidelserne og ikke er ækvivalente, men er isomorfe som grupper. For eksempel er der ikke-ækvivalente udvidelser af Klein-firedoblet gruppe ved hjælp af [4] , men der er, op til isomorfi, kun fire grupper af orden 8, der indeholder en normalordensundergruppe med en kvotientgruppe, der er isomorf til Klein-firedoblet gruppe . $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $G$ $G'$ $otte$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ $2$

Trivielle udvidelser

En triviel udvidelse er en udvidelse:

1\to K\to G\to H\to 1

hvilket svarer til udvidelsen:

1\til K\til K\ gange H\til H\til 1

hvor venstre og højre pil er henholdsvis inklusion og projektion af hver faktor . $K\ gange H$

Klassifikationer af opdelte udvidelser

En delt udvidelse er en udvidelse:

1\to K\to G\to H\to 1

med en sådan homomorfi , at det at gå fra til med og derefter tilbage til ved faktorkortlægningen af en kort nøjagtig sekvens genererer identitetskortlægningen på , dvs. I denne situation siger man normalt, at opdeler ovenstående nøjagtige rækkefølge . $s\colon H\to G$ $H$ $G$ $s$ $H$ $H$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $s$

Split-udvidelser er meget nemme at klassificere, da en udvidelse er opdelt, hvis og kun hvis gruppen er et semidirekte produkt af og . Semidirekte produkter er i sig selv nemme at klassificere, da de svarer en-til-en til homomorfismer , hvor er automorfigruppen . $G$ $K$ $H$ $H\to \operatørnavn {Aut} (K)$ $\operatørnavn {Aut} (K)$ $K$

Central udvidelse

Den centrale udvidelse af en gruppeer den korte nøjagtige rækkefølge af grupper $G$

1\to A\to E\to G\to 1

sådan, der ligger i ( midten af gruppen ). Sættet af isomorfiklasser af centrale gruppeudvidelser med (hvor virker trivielt på ) er en en-til-en korrespondance med kohomologigruppen . $EN$ $Z(E)$ $E$ $G$ $EN$ $G$ $EN$ $H^{2}(G,A)$

Eksempler på centrale udvidelser kan konstrueres ved at tage en hvilken som helst gruppe og enhver abelsk gruppe , indstille lig med . Denne form for opdelt eksempel (en opdelt udvidelse i betydningen af udvidelsesproblemet, da det er en undergruppe af ) er af ringe interesse, da det svarer til et element i ifølge ovenstående korrespondance. Mere alvorlige eksempler findes i teorien om projektive repræsentationer i tilfælde, hvor projektive repræsentationer ikke kan løftes til almindelige lineære repræsentationer . $G$ $EN$ $E$ $A\time G$ $G$ $E$ $0$ $H^{2}(G,A)$

I tilfælde af endelige perfekte grupper er der en universel perfekt central udvidelse .

På samme måde er den centrale forlængelse af Lie-algebraen den nøjagtige sekvens $\mathfrak{g}$

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

en der er i midten . $\mathfrak{a}$ ${\mathfrak {e))$

Der er en generel teori om centrale udvidelser i Maltsev-varianter [5] .

Løgngrupper

I Lie gruppeteori opstår centrale udvidelser i forbindelse med algebraisk topologi . Groft sagt er centrale udvidelser af Lie-grupper med diskrete grupper det samme som at dække grupper . Mere præcist er et forbundet dækkende rum af en forbundet Lie-gruppe en naturlig central forlængelse af gruppen , med projektionen ${\displaystyle G^{\ast ))$ $G$ $G$

\pi \colon G^{*}\to G

er en homomorfi-gruppe og er surjektiv. (Strukturen af en gruppe afhænger af valget af at kortlægge identitetselementet til identitetselementet .) For eksempel, hvornår er gruppens universelle dækning , er kernen den grundlæggende gruppe i gruppen , som er kendt for at være abelsk ( H-mellemrum ). Omvendt, hvis en Lie-gruppe og en diskret central undergruppe er givet , er kvotientgruppen en Lie-gruppe og er dens dækkende rum. ${\displaystyle G^{\star ))$ $G$ ${\displaystyle G^{\star ))$ $G$ $\pi$ $G$ $G$ $Z$ $G/Z$ $G$

Mere generelt, hvis grupperne , og i den centrale udvidelse er Lie-grupper, og afbildningerne mellem dem er Lie-gruppehomomorfismer, så er gruppens Lie-algebra , algebraen er , og algebraen er , så er den centrale udvidelse af the Lie algebra af . I den teoretiske fysiks terminologi kaldes algebrageneratorer for centrale ladninger . Disse generatorer ligger i centrum af algebraen . Ved Noethers sætning svarer generatorer af symmetrigrupper til bevarede mængder og kaldes ladninger . $EN$ $E$ $G$ $G$ $\mathfrak g$ $EN$ ${\mathfrak a}$ $E$ ${\mathfrak {e))$ ${\mathfrak {e))$ $\mathfrak g$ $\mathbf {a}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak {e))$

Grundlæggende eksempler på centrale udvidelser som dækningsgrupper:

spinorgrupper , som dobbelt dækker de specielle ortogonale grupper , som (i lige dimension) dobbelt dækker den projektive ortogonale gruppe ;
metaplektiske grupper der dækker symplektiske grupper to gange .

Tilfældet involverer den fundamentale gruppe, som er en uendelig cyklisk gruppe ; her er den centrale udvidelse velkendt fra teorien om modulære former for tilfælde af former med vægt . Den tilsvarende projektive repræsentation er Weyl-repræsentationen konstrueret ud fra Fourier-transformationen , i dette tilfælde på den reelle akse . Metaplektiske grupper optræder også i kvantemekanikken . $SL_{2}(\mathbf {R} )$ ${\tfrac {1}{2))$

Se også

Lie Algebra Extension
Ring forlængelse
Algebra Virasoro
HNN-udvidelse
Topologisk gruppeudvidelse

Noter

↑ I algebra generelt antages en strukturudvidelse normalt at være en struktur , hvori er en understruktur, således defineres især en feltudvidelse ; men i gruppeteorien (muligvis på grund af notationen ) er der etableret en anden terminologi, og fokus er ikke på , men på kvotientgruppen , så man mener at den udvides ved hjælp af . $K$ $L\uheld K$ $K$ $\operatorname {Ext} (Q,N)$ $N\subset G$ $Q$ $Q$ $N$
↑ Bemærkning 2.2. . Hentet 15. marts 2019. Arkiveret fra originalen 26. maj 2019. (ubestemt)
↑ Brown, Porter, 1996 , s. 213-227.
↑ Dummit, Foote, 2004 , s. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000 .

Litteratur

David S. Dummit, Richard M. Foote. abstrakt algebra. — tredje udgave. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .
McLane S. Homology. — M .: Mir, 1966.
Taylor RL Dækker grupper af ikke-forbundne topologiske grupper // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1954. - T. 5 . — S. 753–768 .
Brown R., Mucuk O. Dækker grupper af ikke-forbundne topologiske grupper igen // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1994. - T. 115 . — s. 97–110 .
Brown R., Porter T. Om Schreier-teorien om ikke-abelske udvidelser: generaliseringer og beregninger // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1996. - T. 96A . — S. 213–227 .
Janelidze G., Kelly GM Centrale udvidelser i Malt'sev-varianter // Theory and Applications of Categories. - 2000. - T. 7 . — S. 219–226 .
Morandi PJ Group Extensions og $H^{3}$ .
Gruppeudvidelser . Gruppenavne . Dato for adgang: 14. juni 2019. (ubestemt)