Bernoulli distribution

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Bernoulli distribution
Sandsynlighedsfunktion
distributionsfunktion
Muligheder	$p\in(0,1)$ $q\equiv 1-s$
Transportør	$k=\{0,1\}$
Sandsynlighedsfunktion	${\begin{matrix}q&k=0\\p~~&k=1\end{matrix}}$
distributionsfunktion	${\begin{matrix}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{matrix))$
Forventet værdi	$s$
Mode	${\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}$
Spredning	$pq$
Asymmetrikoefficient	${\frac {qp}{{\sqrt {pq))))$
Kurtosis koefficient	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)))$
Differentiel entropi	$-q\ln qp\ln p$
Genererende funktion af momenter	$q+pe^{t}$
karakteristisk funktion	$q+pe^{it}$

Bernoulli-fordelingen i sandsynlighedsteori og matematisk statistik er en diskret sandsynlighedsfordeling , der modellerer et tilfældigt eksperiment af vilkårlig karakter, med en forudbestemt sandsynlighed for succes eller fiasko.

Definition

En stokastisk variabel har en Bernoulli-fordeling, hvis den kun tager to værdier: og med sandsynligheder og hhv. På denne måde: $x$ $en$ $0$ $s$ $q\equiv 1-s$

{\mathbb {P}}(X=1)=p

{\mathbb {P}}(X=0)=q

Det er sædvanligt at sige, at en begivenhed svarer til "succes", og en begivenhed svarer til "fiasko". Disse navne er betingede, og afhængigt af den specifikke opgave kan de erstattes med modsatte. $\{X=1\}$ $\{X=0\}$

Egenskaber

Begræns egenskab

Grænseegenskaben er beskrevet af Poissons sætning :

Lad der være en sekvens af serier af Bernoulli forsøg, hvor er sandsynligheden for "succes", er antallet af "succeser". $p_n$ $\mu _{n}$

Så hvis

$\lim _{{n\to \infty }}p_{n}=0;$
$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$
$\lambda >0,$

derefter

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

Øjeblikke i Bernoulli-distributionen

{\mathbb {E}}[X]=s

\operatørnavn {D}[X]=p(1-p)=pq

, fordi: .

\operatørnavn {E} X^{2}-\left(\operatørnavn {E} X\right)^{2}=pp^{2}=p\cdot (1-p)=pq

Generelt er det nemt at se det

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}= p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N}

Bemærk

Hvis de uafhængige tilfældige variable , har en Bernoulli-fordeling med sandsynlighed for succes , så $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $s$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}

har en binomialfordeling med frihedsgrader. $n$

Se også

Spiller ødelægger problem#Bernoulli-skema .

Litteratur

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula