Tegn på Jamet

Tegnet Jamet er et tegn på konvergensen af numeriske serier med positive udtryk, etableret af Victor Jamet [1] .

Ordlyd

Serien konvergerer, hvis følgende ulighed gælder for: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

hvor . $\delta>0$

Hvis , for , så divergerer serien. $J_{n}\leqslant 1$ $n>N$

Bevis [2]

1. Lad følgende betingelse være opfyldt for serien: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1

Lad os omdanne denne ulighed til formen:

0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)^{n}

Da det altid er muligt at finde en tilstrækkelig stor , således at: $n>N$

1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0

så kan vi gå til udtrykket:

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n))\right)\right)

Ved at anvende udvidelsen af funktionen i en Maclaurin-serie med et resterende led i Peano-formen får vi: $\ln(1-x)$

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n))+o\venstre ({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)

Lad os fjerne det første led under eksponenten:

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta ))}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n)) +o\venstre({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\højre)\højre)

Nu anvender vi Maclaurin-seriens udvidelse til funktionen : $e^{x}$

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 ))))+o\venstre({\frac {\ln ^{2}n}{n^({\delta +1))))\højre)$

Forsømmer det uendelige , og under hensyntagen til det opnår vi: $\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^({\delta +1))))\geqslant 0$

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 }}}}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}

Sidstnævnte betyder ifølge sammenligningskriteriet , at den betragtede serie konvergerer og divergerer samtidig med serien ( Dirichlet-serien ), som konvergerer ved og divergerer ved . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n^{\delta }}}$ $\delta>1$ $\delta \leqslant 1$

2. Lad følgende betingelse være opfyldt for serien: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1

Lad os omdanne denne ulighed til formen:

a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)\right)

Ved at anvende Maclaurin-seriens udvidelse to gange med den resterende del i Peano-formen får vi:

a_{n}\geqslant {\frac 1{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\venstre({\frac {\ln ^{2} n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac 1{n}}\right)

Det vil sige, at ifølge sammenligningstesten divergerer den pågældende serie, fordi rækken ( harmoniske serier ) divergerer. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n}}$

Formulering i grænseform

Hvis der er en grænse:

J=\lim _{{n\to \infty }}J_{n}

derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. $J>1$ $J<1$

Generalisering [3]

Lad tre positive-bestemte funktioner gives på: , og og er uendeligt stigende, og følgende betingelser er opfyldt for dem: $\mathbb {N}$ $\varphi(n),g(n),f(n)$ $\varphi (n)$ $f(n)$

$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q$
$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {g(n)}{f(n)}}=0$ .

Så, hvis for serien , for , gælder følgende ulighed: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\geqslant p>{\ frac 1{q}}

, så konvergerer serien.

Hvis for serien , for , gælder følgende ulighed: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\leqslant p<{\ frac 1{q}}

, så divergerer serien.

Noter

↑ V. Jamet. Fejl: parameter ikke angivet |заглавие=i skabelon {{ publication }} // Mathesis. - 1892. - S. 80.
↑ nummer
↑ A. V. Antonova Tilføjelse til Jamets tegn

Litteratur

BP Demidovich Samling af problemer og øvelser i matematisk analyse, s. 254.

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich