Laplace transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Laplace-transformationen (ℒ) er en integreret transformation, der forbinder en funktion af en kompleks variabel ( billede ) med en funktion af en reel variabel ( original ). Med dens hjælp undersøges dynamiske systemers egenskaber og differential- og integralligninger løses . $\F(s)$ $\f(x)$

Et af kendetegnene ved Laplace-transformationen, som forudbestemte dens udbredte anvendelse i videnskabelige og tekniske beregninger, er, at mange forhold og operationer på originaler svarer til enklere forhold på deres billeder. Således reduceres foldningen af to funktioner i billedernes rum til driften af multiplikation, og lineære differentialligninger bliver algebraiske.

Definition

Direkte Laplace transformation

Laplace-transformationen af en funktion af en reel variabel er en funktion af en kompleks variabel [1] , sådan at: $\f(t)$ $\F(s)$ $s=\sigma +i\omega$

F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t) \,dt.

Den højre side af dette udtryk kaldes Laplace-integralet .

Funktionen kaldes originalen i Laplace-transformationen, og funktionen kaldes billedet af funktionen . $f(t)$ $F(s)$ $f(t)$

I litteraturen er forholdet mellem originalen og billedet ofte betegnet som følger: og , og billedet er normalt skrevet med stort bogstav. $f(t)\risingdotseq F(s)$ $F(s)\fallingdotseq f(t)$

Invers Laplace transformation

Den inverse Laplace-transformation af en funktion af en kompleks variabel er en funktion af en reel variabel, således at: $F(s)\$ $f(t)\$

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\omega \rightarrow \infty }\int \limits _{\sigma _{1}-i\omega }^{\sigma _{1}+i\omega }e^{st}F(s)\,ds,

hvor er et reelt tal (se eksistensbetingelser ). Den højre side af dette udtryk kaldes Bromwich-integralet [2] . $\sigma _{1}\$

To-vejs Laplace transformation

Den tosidede Laplace-transformation er en generalisering for tilfælde af problemer, hvor værdierne for funktionen er involveret . $f(x)\$ $x<0$

Den tosidede Laplace-transformation er defineret som følger:

F(s)={\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-sx}}f (x)\,dx.

Diskret Laplace transformation

Det bruges inden for computerkontrolsystemer. Den diskrete Laplace-transformation kan anvendes på gitterfunktioner.

Skelne mellem -transformation og -transformation. $D\$ $Z\$

$D\$ -konvertering

Lad være en gitterfunktion, det vil sige, at værdierne af denne funktion kun bestemmes på diskrete tidspunkter , hvor er et heltal og er prøvetagningsperioden. $x_{d}(t)=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ $nT\$ $n\$ $T\$

Ved at anvende Laplace-transformationen får vi:

{\mathcal {D}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot e^{{-snT}} .

$Z\$ -konvertering

Hvis vi anvender følgende ændring af variable:

z=e^{{sT}},

vi får -transformation: $Z$

{\mathcal {Z}}\{x_{d}(t)\}=\sum \limits _{{n=0}}^{\infty }x(nT)\cdot z^{{-n}} .

Egenskaber og teoremer

Absolut konvergens

Hvis Laplace- integralet absolut konvergerer ved , det vil sige, er der en grænse $\sigma=\sigma_{0}$

\lim _{{b\to \infty }}\int \limits _{0}^{b}|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|e^{{-\sigma _{0}x}}\,dx,

så konvergerer den absolut og ensartet for og er en analytisk funktion for ( er den reelle del af den komplekse variabel ). Det nøjagtige infimum af det sæt af tal , under hvilket denne betingelse er opfyldt, kaldes abscissen af den absolutte konvergens af Laplace-transformationen for funktionen . $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $F(s)$ $\sigma \geqslant \sigma _{0}$ $\sigma ={\mathrm {Re}}\,s$ $s$ $\sigma _{a}$ $\sigma$ $f(x)$

Betingelser for eksistensen af den direkte Laplace-transformation

Laplace-transformationen eksisterer i betydningen absolut konvergens i følgende tilfælde: ${\mathcal {L}}\{f(x)\}$

$\sigma \geqslant 0$ : Laplace-transformationen eksisterer, hvis integralet eksisterer ; $\int \limits _{0}^{\infty }|f(x)|\,dx$
$\sigma >\sigma _{a}$ : Laplace-transformationen eksisterer, hvis integralet eksisterer for hver finit og for ; $\int \limits _{0}^{{x_{1}}}|f(x)|\,dx$ $x_{1}>0$ $|f(x)|\leqslant Ke^{{\sigma _{a}x}}$ $x>x_{2}\geqslant 0$
$\sigma >0$ eller (den grænse der er størst): en Laplace-transformation eksisterer, hvis der eksisterer en Laplace-transformation for funktionen ( afledt af ) for . $\sigma >\sigma _{a}$ $f'(x)$ $f(x)$ $\sigma >\sigma _{a}$

Bemærk : disse er tilstrækkelige betingelser for at eksistere.

Betingelser for eksistensen af den omvendte Laplace-transformation

For eksistensen af den omvendte Laplace-transformation er det tilstrækkeligt, at følgende betingelser er opfyldt:

Hvis billedet er en analytisk funktion for og har en orden mindre end -1, så eksisterer den inverse transformation for det og er kontinuerlig for alle værdier af argumentet og for . $F(s)$ $\sigma \geqslant \sigma _{a}$ ${\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(s)\}=0$ $t\leqslant 0$
Lad , Så det er analytisk med hensyn til hver og er lig med nul for , og , Så den inverse transformation eksisterer, og den tilsvarende direkte transformation har en abscisse af absolut konvergens. $F(s)=\varphi [F_{1}(s),\;F_{2}(s),\;\ldots ,\;F_{n}(s)]$ $\varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $z_{k}$ $z_{1}=z_{2}=\ldots=z_{n}=0$ $F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{{ak}}\colon k=1,\; 2,\;\ldots ,\;n)$

Bemærk : disse er tilstrækkelige betingelser for at eksistere.

Konvolutionssætning

Laplace-transformationen af en foldning af to originaler er produktet af billederne af disse originaler:

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x )\}.

Bevis

Til foldning

(f*g)(x)=\int _{0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

Laplace transformation:

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-sx}\int _ {0}^{\infty }dy\,f(xy)g(y)

For en ny variabel $t=xy,\;x=t+y$

{\mathcal {L}}\left\{(f*g)(x)\right\}=\int _{0}^{\infty}dt\,e^{-s(t+y )}\int _{0}^{\infty }dy\,f(t)g(y)=\int _{0}^{\infty }dt\,e^{-st}f(t)\ int _{0}^{\infty }dy\,e^{-sy}g(y)={\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}\cdot {\mathcal {L }}\venstre\{g(x)\højre\}

■

Billedmultiplikation

f(x)g(0)+\int \limits _{0}^{x}f(x-\tau )g'(\tau )\,d\tau =sF(s)G(s).

Venstre side af dette udtryk kaldes Duhamel-integralet , som spiller en vigtig rolle i teorien om dynamiske systemer .

Differentiering og integration af originalen

Billedet ifølge Laplace af den første afledte af originalen med hensyn til argumentet er produktet af billedet og argumentet for sidstnævnte minus originalen ved nul til højre:

{\mathcal {L}}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).

I et mere generelt tilfælde ( afledte orden) : $n$

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}(x)\}=s^{n}\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+ })-s^{n-2}f^{(1)}(0^{+})-\ldots -sf^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n -1)}(0^{+}).

Laplace-billedet af originalens integral med hensyn til argumentet er billedet af originalen divideret med dets argument:

{\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{x}f(t)\,dt\right\}={\frac {F(s)}{s}}.

Billeddifferentiering og integration

Den omvendte Laplace-transformation af billedets afledte i forhold til argumentet er produktet af originalen og dets argument taget med det modsatte fortegn:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F'(s)\}=-xf(x).

Den omvendte Laplace-transformation af billedets integral over argumentet er originalen af dette billede divideret med dets argument:

{\mathcal {L}}^{{-1}}\left\{\int \limits _{s}^{{+\infty }}F(s)\,ds\right\}={\frac { f(x)}{x}}.

Forsinkelse af originaler og billeder. Grænsesætninger

Billedforsinkelse:

{\mathcal {L}}\{e^{{ax}}f(x)\}=F(sa);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{F(sa)\}=e^{{ax}}f(x).

Lag original:

{\mathcal {L}}\{f(ta)H(ta)\}=e^{{-as}}F(s);

{\mathcal {L}}^{{-1}}\{e^{{-as}}F(s)\}=f(xa)H(xa).

hvor er Heaviside-funktionen . $H(x)$

Indledende og endelige værdisætninger (grænsesætninger):

f(\infty )=\lim _{{s\to 0}}sF(s)

hvis alle poler af funktionen er i venstre halvplan.

sF(s)

Den endelige værdisætning er meget nyttig, fordi den beskriver originalens opførsel ved uendelig med en simpel relation. Dette bruges for eksempel til at analysere stabiliteten af et dynamisk systems bane.

Andre ejendomme

Linearitet :

{\mathcal {L}}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).

Multiplicer med tal:

{\mathcal {L}}\{f(ax)\}={\frac {1}{a}}F\venstre({\frac {s}{a}}\højre).

Direkte og omvendt Laplace-transformation af nogle funktioner

Nedenfor er Laplace transformationstabellen for nogle funktioner.

Ingen.	Fungere	Tidsdomæne $x(t)={\mathcal {L}}^{{-1}}\{X(s)\}$	frekvensdomæne $X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}$	Konvergensdomæne for kausale systemer
en	delta funktion	$\delta (t)\$	$en\$	$\foralt s\$
1a	haltende delta funktion	$\delta (t-\tau )\$	$e^{{-\tau s}}\$
2	-te ordens forsinkelse med frekvensskift $n$	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{{-\alpha (t-\tau )))\cdot H(t-\tau )$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>0$
2a	magt -te orden $n$	${\frac {t^{n}}{n!}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{n+1))))$	$s>0$
2a.1	magt -te orden $q$	${\frac {t^{q}}{\Gamma (q+1)}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{s^{{q+1))))$	$s>0$
2a.2	Heaviside funktion	$H(t)\$	${\frac {1}{s))$	$s>0$
2b	forsinket Heaviside-funktion	$H(t-\tau )\$	${\frac {e^{{-\tau s}}}{s}}$	$s>0$
2c	"hastighedstrin"	$t\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$s>0$
2d	$n$ -te orden med frekvensskift	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{{n+1))))$	$s>-\alpha$
2d.1	eksponentielt henfald	$e^{{-\alpha t}}\cdot H(t)\$	${\frac {1}{s+\alpha }}$	$s>-\alpha\$
3	eksponentiel tilnærmelse	$(1-e^{{-\alpha t}})\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )))$	$s>0\$
fire	bihule	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2))}$	$s>0\$
5	cosinus	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$s>0\$
6	hyperbolsk sinus	${\mathrm {sh}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
7	hyperbolsk cosinus	${\mathrm {ch}}\,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2))}$	$s>\|\alpha \|\$
otte	eksponentielt henfaldende sinus	$e^{{-\alpha t}}\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
9	eksponentielt henfaldende cosinus	$e^{{-\alpha t}}\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2))}$	$s>-\alpha\$
ti	rod _ $n$	${\sqrt[ {n}]{t}}\cdot H(t)$	$s^{{-(n+1)/n}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$s>0$
elleve	naturlig logaritme	$\ln \venstre({\frac {t}{t_{0))}\højre)\cdot H(t)$	$-{\frac {t_{0}}{s}}[\ln(t_{0}s)+\gamma ]$	$s>0$
12	Bessel funktion af første slags orden $n$	$J_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}+\omega ^{2}}}}}$	$s>0\$ $(n>-1)\$
13	modificeret Bessel funktion af første slags orden $n$	$I_{n}(\omega t)\cdot H(t)$	${\frac {\omega ^{n}\venstre(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2))}\right)^{{-n))}{{\sqrt {s^ {2}-\omega ^{2}}}}}}$	$s>\|\omega \|\$
fjorten	nul-ordens Bessel-funktion af anden slags	$Y_{0}(\alpha t)\cdot H(t)\$	$-{\frac {2{\mathrm {arsh}}(s/\alpha )}{\pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2))))}$	$s>0\$
femten	modificeret Bessel-funktion af anden slags orden nul	$K_{0}(\alpha t)\cdot H(t)$
16	fejlfunktion	${\mathrm {erf}}(t)\cdot H(t)$	${\frac {e^{{s^{2}/4}}{\mathrm {erfc}}(s/2)}{s}}$	$s>0$
Tabelnoter: $H(t)\$ er Heaviside-funktionen ; $\delta (t)\$ - delta funktion ; $\Gamma (z)\$ - gammafunktion ; $\gamma \$ er Euler-Mascheroni konstanten ; $t\$ er en reel variabel; $s\$ er en kompleks variabel; $\alfa \$ , , og er reelle tal ; $\beta\$ $\tau\$ $\omega\$ $n\$ er et heltal . Et kausal system er et system, hvor impulsoverførselsfunktionen er nul for ethvert tidspunkt . $h(t)\$ $t<0\$

Anvendelser af Laplace-transformationen

Laplace-transformationen har bred anvendelse inden for mange områder inden for matematik ( operationsregning ), fysik og teknik :

Løsning af systemer af differential- og integralligninger - ved hjælp af Laplace-transformationen er det let at flytte fra komplekse begreber inden for matematisk analyse til simple algebraiske relationer. [3]
Beregning af overførselsfunktioner af dynamiske systemer, såsom for eksempel analoge filtre .
Beregning af udgangssignaler fra dynamiske systemer i kontrolteori og signalbehandling - da udgangssignalet fra et lineært stationært system er lig med foldningen af dets impulsrespons med inputsignalet, giver Laplace-transformationen dig mulighed for at erstatte denne operation med en simpel multiplikation .
Beregning af elektriske kredsløb. Det fremstilles ved at løse differentialligninger, der beskriver kredsløbet ved hjælp af operatørmetoden.
Løsning af ikke-stationære problemer i matematisk fysik .

Fremgangsmåden til at løse en differentialligning ved hjælp af Laplace-transformationen er som følger:

Ifølge den givne inputeffekt findes et billede ved hjælp af korrespondancetabellerne.
Ifølge d.s. oprette en overførselsfunktion.
Find størrelsesbilledet af punkt 1 og 2.
Definer original. [fire]

Forholdet til andre transformationer

Grundlæggende forbindelser

Næsten alle integrale transformationer er af lignende karakter og kan opnås fra hinanden gennem korrespondanceudtryk. Mange af dem er særlige tilfælde af andre transformationer. Yderligere er der givet formler, der relaterer Laplace-transformationerne til nogle andre funktionelle transformationer.

Laplace-Carson transformation

Laplace-Carson-transformationen (nogle gange kun kaldet Carson-transformationen, nogle gange, ikke helt korrekt, bruger de Carson-transformationen, kalder den Laplace-transformationen) opnås fra Laplace-transformationen ved at gange billedet med en kompleks variabel:

{\mathcal {L}}_{K}\{f(x)\}=sF(s).

Carson-transformationen er meget brugt i teorien om elektriske kredsløb, da med en sådan transformation er dimensionerne af billedet og originalen sammenfaldende, så koefficienterne for overførselsfunktionerne har en fysisk betydning.

To-vejs Laplace transformation

Den tosidede Laplace-transformation er relateret til den ensidede Laplace-transformation ved hjælp af følgende formel: ${\mathcal {L}}_{B}$

{\mathcal {L}}_{B}\{f(x);\;s\}={\mathcal {L}}\{f(x);\;s\}+{\mathcal {L} }\{f(-x);\;-s\}.

Fourier transformation

Den kontinuerlige Fourier-transformation svarer til den tosidede Laplace-transformation med et komplekst argument : $s=i\omega$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}{\Big |}_{{s=i\omega }}=F(s){\Big |}_{{s=i\omega }}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-i\ omega x}}f(x)\,dx.

Bemærk: Disse udtryk udelader skaleringsfaktoren , som ofte er inkluderet i definitioner af Fourier-transformationen. ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Forholdet mellem Fourier- og Laplace-transformationer bruges ofte til at bestemme frekvensspektret for et signal eller et dynamisk system .

Mellin transformation

Mellin-transformationen og den inverse Mellin-transformation er relateret til den tosidede Laplace-transformation ved en simpel ændring af variable. Hvis i Mellin-transformationen

G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }\theta ^{s}{\frac {g (\theta )}{\theta }}\,d\theta

vi sætter , så får vi den tosidede Laplace-transformation. $\theta =e^{{-x}}$

Z-transform

$Z$ -transformation er Laplace-transformationen af en gitterfunktion, udført ved hjælp af en ændring af variable:

z\equiv e^{{sT}},

hvor er samplingsperioden , og er samplingsfrekvensen for signalet. $T=1/f_{s}\$ $f_{s}\$

Forbindelsen udtrykkes ved hjælp af følgende relation:

X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{{z=e^{{sT))))

Borel transformation

Den integrerede form af Borel -transformationen er identisk med Laplace-transformationen, der er også en generaliseret Borel-transformation , hvormed brugen af Laplace-transformationen udvides til en bredere klasse af funktioner.

Se også

Noter

↑ I russisk litteratur er det også betegnet med . Se for eksempel Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. Handbook of Operational Calculus: Fundamentals of Theory and Tables of Formulas. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1951. - 256 s. $\scriptstyle {p}$
↑ Zheverzheev V.F., Kalnitsky L.A., Sapogov N.A. Særligt kursus i højere matematik for højere læreanstalter. - M., Higher School , 1970. - s. 231
↑ Vashchenko-Zakharchenko M.E. Symbolsk regning og dens anvendelse til integration af lineære differentialligninger. - Kiev, 1862.
↑ Arkitektur af det automatiske kontrolsystem for en gruppe små ubemandede luftfartøjer // Informationsteknologier og computersystemer. — 2018-03-20. — ISSN 2071-8632 . - doi : 10.14357/20718632180109 .

Litteratur

Van der Pol B., Bremer H. . Operationel beregning baseret på den tosidede Laplace-transformation. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1952. - 507 s.
Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. . Integrale transformationer og operationel beregning. - M. : Hovedudgaven af Nauka-forlagets fysiske og matematiske litteratur, 1974. - 544 s.
Ditkin V. A., Kuznetsov P. I. . Handbook of Operational Calculus: Fundamentals of Theory and Tables of Formulas. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1951. - 256 s.
Carslow H., Jaeger D. . Operationelle metoder i anvendt matematik. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1948. - 294 s.
Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. . Fourierrækker og integraler. Felt teori. Analytiske og specielle funktioner. Laplace transformationer. — M .: Nauka, 1964. — 184 s.
Krasnov M. L., Makarenko G. I. . operationel beregning. Bevægelsesstabilitet. — M .: Nauka, 1964. — 103 s.
Mikusinsky Ja . Operatørberegning. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1956. - 367 s.
Romanovsky P.I. Fourier-serien. Felt teori. Analytiske og specielle funktioner. Laplace transformationer. - M. : Nauka, 1980. - 336 s.

Links

Laplace transform og nogle af dens egenskaber (dsplib.org) Arkiveret 12. august 2018 på Wayback Machine
Laplace transformation på exponenta.ru

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk stor kinesisk Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 119531733 J9U : 987007555498105171 LCCN : sh85074666 NDL : 00567362 NKC : ph117703