Bilateral Laplace transformation

Den tosidede Laplace-transformation er en integreret transformation , der er tæt forbundet med Fourier-transformationen , Mellin-transformationen og den regulære og ensidede Laplace-transformation .

Definition

Hvis er en reel eller kompleks funktion af en reel variabel , så er den tosidede Laplace-transformation givet af formlen $f(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$

{\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t )\,dt.

Integralet i denne definition antages at være ukorrekt og konvergent, når der er $\left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^ {0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}}\right.$

Nogle gange skrives tosidede transformationer i formen

{\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _ {-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

Generelt kan en variabel enten være en reel eller en kompleks værdi. $t$

Forholdet til andre integrerede transformationer

Hvis er Heaviside-funktionen , så kan den sædvanlige Laplace-transformation udtrykkes i form af den tosidede formel $u(t)$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.

Og omvendt: fra en tosidet transformation kan du få den sædvanlige ved formlen

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{ {\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).

Mellin-transformationen kan udtrykkes i form af den tosidede Laplace-transformation med formlen

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)

Og omvendt: fra den tosidede transformation kan du få Mellin-transformationen ved hjælp af formlen

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).

Fourier-transformationen kan defineres i form af den tosidede Laplace-transformation med formlen

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).

Egenskaber

Egenskaber ved Laplace Transforms

	Tidsdomæne	Ensidigt område	Bilateralt område
Første afledte	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Anden afledt	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

Litteratur

LePage, Wilbur R. , Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers , Dover Publications, 1980
van der Pol, Balthasar og Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral , Chelsea Pub. Co., 3. udgave, 1987

Bilateral Laplace transformation

Definition

Forholdet til andre integrerede transformationer

Egenskaber

Litteratur

Noter