Korrekt kort (grafteori)

Et almindeligt kort er en symmetrisk flisebelægning af en lukket flade . Mere præcist er et korrekt kort en nedbrydning en todimensionel manifold (såsom en kugle , en torus eller et rigtigt projektivt plan ) til topologiske diske, sådan at hvert flag (top-kant-flade indfaldende tredobbelt) kan oversættes til et hvilket som helst andet flag ved en symmetritransformationsnedbrydning . Regelmæssige kort er på en måde en topologisk generalisering af regulære polyedre . Teorien om kort og deres klassificering er relateret til teorierne om Riemann overflader , Lobachevsky geometri og Galois teori . Regelmæssige diagrammer er klassificeret efter deres slægt af orienteringsevne af den tilsvarende overflade, efter den underliggende graf eller efter gruppeautomorfi .

Oversigt

Korrekte kort er normalt defineret og studeret på tre måder: topologisk, i form af gruppeteori og grafteori.

Topologisk tilgang

Fra et topologisk synspunkt er et kort en 2-cellet nedbrydning af en lukket kompakt 2-manifold.

Slægten g af kortet M er givet af Euler-relationen , som er lig med , hvis kortet er orienterbart, og , hvis kortet er ikke-orienterbart. Den kritiske omstændighed er, at der er et begrænset antal (ikke-nul) korrekte kort for enhver orienterbar slægt, undtagen torus. $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ $2-2g$ $2-g$

Gruppeteori-tilgang

Fra synspunktet af teorien om permutationsgrupper er repræsentationer af et regulært kort M en transitiv permutationsgruppe C på sættet af flag genereret af frie involutioner med tre faste punkter, der opfylder betingelsen . I denne definition er fladerne banerne , kanterne er banerne , og toppunkterne er banerne . Mere abstrakt er gruppeautomorfien for ethvert regulært diagram et ikke-degenereret homomorfisk billede af trekantgruppen <2,m,n>. $\Omega$ ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2))$ $(r_{0}r_{2})^{2}=I$ $F=\langle r_{0},r_{1}\rangle$ $E=\langle r_{0},r_{2}\rangle$ $V=\langle r_{1},r_{2}\rangle$

Grafteoretisk tilgang

Fra grafteoriens synspunkt er et kort en kubisk graf med kanter farvet blå, gul og rød, så den er forbundet, hvert hjørne er indfaldende med kanter af hver farve, og cyklusser af kanter, der ikke er farvet gule, har længde 4. Bemærk, at det er en plan graf eller et grafkodet kort ( engelsk graph-encoded map , GEM) af et kort, defineret på sættet af flag som hjørner og ikke er et skelet G=(V,E) af kort. I det generelle tilfælde . $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Omega$ $|\Omega |=4|E|$

Kortet M er korrekt, hvis og kun hvis Aut(M) agerer regelmæssigt på flagene. Aut( M ) af et regulært kort er transitivt på toppunkterne , kanterne og flader af M. Et kort M siges at være spejlsymmetrisk, hvis og kun hvis Aut( M ) er regulært og indeholder en automorfi , der fikserer både toppunkterne på v og flader, men vender retningen af kanterne. Et almindeligt diagram, der ikke er spejlsymmetrisk, siges at være chiralt . $\phi$

Eksempler

Det store dodekaeder er et regulært kort med femkantede flader på en orienterbar overflade af slægt 4.
Semikuben er et regulært kort af typen {4,3} på det projektive plan .
Semidodekaederet er et regulært kort genereret af den femkantede indlejring af Petersen-grafen i det projektive plan.
p- Osohedron er et almindeligt kort af typen {2,p}. Bemærk, at osoedre i denne forstand ikke er abstrakte polyedre . Især opfylder de ikke diamantegenskaben .
Dyck-kortet er et regulært kort over 12 oktaedre på en overflade af slægt 3. Den underliggende Dyck-graf kan også danne et regulært kort over 16 sekskanter på en torus.

Tabellen nedenfor viser en komplet liste over korrekte diagrammer på overflader med positiv Euler-karakteristik , χ-kugle og projektivt plan [1] .

χ	g	Schläfli	Toppe	ribben	ansigter	Gruppe	Bestille	Kurve	Noter
2	0	{s,2}	s	s	2	C 2 × Dihp _	4p _	Cp _	Dihedron
2	0	{2,p}	2	s	s	C 2 × Dihp	4p _	p - fold K 2	Osohedron
2	0	{3,3}	fire	6	fire	S4 _	24	K4 _	Tetraeder
2	0	{4,3}	otte	12	6	C2 × S4 _	48	K4 × K2 _ _	terning
2	0	{3,4}	6	12	otte	C2 × S4 _	48	K 2,2,2	Oktaeder
2	0	{5,3}	tyve	tredive	12	C2 × A5 _ _	120		Dodekaeder
2	0	{3,5}	12	tredive	tyve	C2 × A5 _	120	K6 × K2 _ _	icosahedron
en	n1	{2p,2}/2	s	s	en	Dih 2p _	4p _	Cp _	Semidihedron [2]
en	n1	{2,2p}/2	2	s	s	Dih 2p _	4p _	p - fold K 2	Semihosehedron [2]
en	n1	{4,3}/2	fire	6	3	S4 _	24	K4 _	Halv terning
en	n1	{3,4}/2	3	6	fire	S4 _	24	2x K 3	Semioktaeder
en	n1	{5,3}/2	ti	femten	6	A5 _	60	Greve af Petersen	Semidodekaeder
en	n1	{3,5}/2	6	femten	ti	A5 _	60	K6 _	Semiicosahedron

Billederne nedenfor viser tre af de 20 almindelige kort i den tredobbelte torus med deres Schläfli-symboler .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Toroidale polyedre

Mosaik eksempler

{4.4} 1.0 (v:1, e:2, f:1)	{4.4} 1.1 (v:2, e:4, f:2)	{4.4} 2.0 (v:4, e:8, f:4)	{4.4} 2.1 (v:5, e:10, f:5)	{4.4} 2.2 (v:8, e:16, f:8)
{3.6} 1.0 (v:1, e:3, f:2)	{3.6} 1.1 (v:3, e:9, f:6)	{3.6} 2.0 (v:4, e:8, f:8)	{3.6} 2.1 (v:7, e:21, f:14)	{3.6} 2.2 (v:12, e:36, f:24)
{6.3} 1.0 (v:2, e:3, f:1)	{6.3} 1.1 (v:6, e:9, f:3)	{6.3} 2.0 (v:8, e:8, f:4)	{6.3} 2.1 (v:14, e:21, f:7)	{6.3} 2.2 (v:24, e:36, f:12)

Regelmæssige kort eksisterer som toroidale polyedre i form af endelige dele af euklidiske fliser pakket ind i overfladen af en duocylinder som en flad torus . De er mærket som {4,4} b , c , når de er knyttet til den kvadratiske flisebelægning {4,4} [3] , som når de er knyttet til den trekantede flisebelægning {3,6}, og som {6,3 } b . c , når den er knyttet til den sekskantede flisebelægning {6,3}. Indeksene b og c er heltal [4] . Der er 2 specialtilfælde ( b ,0) og ( b , b ) med spejlsymmetri, selvom generelle tilfælde findes i chirale par ( b , c ) og ( c , b ). $\{3,6\}_{b,c}$

Regulære kort med formen {4,4} m ,0 kan repræsenteres som endelige regulære skæve polyedre {4,4| m }, forstået som de firkantede flader af en m × m duoprisme i dimension 4.

Nedenfor er et eksempel på {4,4} 8,0 kortlagt fra et fladt skakternet ark til en cylinder og derefter til en torus. Projektionen fra en cylinder til en torus forvrænger geometrien i 3D, men kan udføres uden forvrængning i 4D.

Korrekt kort med nul Euler-karakteristik [5]

g	Schläfli	Toppe	ribben	ansigter	Gruppe	Bestille	Noter
en	{4,4} b ,0 n = b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b ,0)	8n _	Flad toroidformet polyeder Samme som {4,4 \| b }
en	{4,4} b , b n = 2 b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b , b )	8n _	Flad toroidformet polyeder Samme som fuld afkortet {4,4 \| b }
en	{4,4} b , c n = b 2 + c 2	n	2n _	n	[4,4]+ ( b , c )	4n _	Plane chiral toroidale polyeder
en	{3,6} b , 0 t = b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Flad toroidformet polyeder
en	{3,6} b , b t = 2 b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b , b )	12 t	Flad toroidformet polyeder
en	{3,6} b , c t = b 2 + bc + c 2	t	3 t	2 t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Plane chiral toroidale polyeder
en	{6,3} b , 0 t = b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Flad toroidformet polyeder
en	{6,3} b , b t = 2 b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b , b )	12 t	Flad toroidformet polyeder
en	{6,3} b , c t = b 2 + bc + c 2	2 t	3 t	t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Plane chiral toroidale polyeder

Generelt kan en regulær toroidformet polytop { p , q } b , c defineres, hvis p eller q er lige, selvom kun én euklidisk ovenfor kan eksistere som en toroidformet polytop i dimension 4. I tilfælde af {2 p , q } stierne ( b , c ) kan defineres som en face-edge-face på en linje, mens stier ( b , c ) i dobbelte { p ,2 q } former kan opfattes som et toppunkt-kant-vertex.

Se også

Noter

↑ Coxeter, Moser, 1980 .
↑ 1 2 Carlo Sequin. Symmetriske fordybelser af ikke-orienterbare almindelige kort med lav slægt . Berkeley University . Hentet 5. marts 2020. Arkiveret fra originalen 23. september 2015. (ubestemt)
↑ Coxeter og Moser 1980 , s. 8.3 Kort af typen {4,4} på en torus.
↑ Coxeter og Moser 1980 , s. 8.4 Kort af typen {3,6} på en torus.
↑ Coxeter og Moser 1980 , s. Kapitel 8, Almindelige kort , 8.3 Kort af typen {4,4} på en torus, 8.4 Kort af typen {3,6} eller {6,3} på en torus.

Litteratur

Coxeter HSM, Moser WOJ . — 4. - Springer Verlag, 1980. - Vol. 14. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-0-387-09212-6 . Oversættelse:
- G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generering af elementer og definition af relationer mellem diskrete grupper / Oversættelse af V.A. Churkin, redigeret af Yu.I. Merzlyakova .. - Moskva: "Nauka" Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1980.
Jack van Wijk. Symmetrisk flisebelægning af lukkede flader: visualisering af almindelige kort // Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics). - 2009. - T. 28 , no. 3 . - S. 12 . - doi : 10.1145/1531326.1531355 . Arkiveret fra originalen den 9. juni 2011.
Marston Conder, Peter Dobcsany. Bestemmelse af alle regulære kort over lille slægt // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 2001. - V. 81 , no. 2 . - S. 224-242 . - doi : 10.1006/jctb.2000.2008 .
Roman Nedela. Kort, Hypermaps og relaterede emner . – 2007.
Andrew Vince. Kort // Håndbog i grafteori. – 2004.
Ulrich Brehm, Egon Schulte. Polyhedriske kort // Håndbog i diskret og beregningsmæssig geometri. – 2004.