Nabla operatør

Nabla-operatoren er en vektordifferentialoperator , hvis komponenter er partielle afledte med hensyn til koordinater. Betegnes med symbolet ∇ ( nabla ).

For et tredimensionelt euklidisk rum i et rektangulært kartesisk koordinatsystem [1] er nabla-operatoren defineret som følger:

\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec { k))

hvor er enhedsvektorerne langs henholdsvis akserne . ${\vec i},{\vec j},{\vec k}$ $x,y,z$

Følgende notation af nabla-operatøren via komponenter bruges også:

\nabla =\venstre\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}

Vektoranalysens hovedoperationer udtrykkes gennem nabla-operatoren på en naturlig måde : grad ( gradient ), div ( divergens ), rot ( rotor ) samt Laplace-operatoren (se nedenfor). Det er meget udbredt i den beskrevne forstand i fysik og matematik (selvom nogle gange det grafiske symbol også bruges til at betegne et andet, men i nogle henseender ikke ret langt fra de betragtede, matematiske objekter, for eksempel den kovariante afledte ). $\nabla$

En n -dimensional nabla-operator betyder en vektor i et n -dimensionelt rum [2] med følgende form:

\nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2} +...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}

hvor er enhedsvektorerne langs henholdsvis akserne . ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$

Nogle gange, især når man tegner i hånden, tegnes en pil over operatøren: - for at understrege operatørens vektorkarakter. Betydningen af en sådan inskription er ikke forskellig fra den sædvanlige . ${\vec \nabla }$ $\nabla$

Nogle gange (især når den kun anvendes på skalarfunktioner), kaldes nabla-operatoren gradientoperatoren , hvilket den er, når den anvendes på skalarfunktioner (felter).

Bemærk: i moderne fysik forsøger man ikke at bruge navnet på den Hamiltonske operator i forhold til nabla-operatoren, især i kvantefysikken, for at undgå forveksling med kvante Hamiltonian , som i modsætning til den klassiske har en operatorkarakter. .

Egenskaber for nabla-operatøren

Denne operator giver mening, når den kombineres med den skalar- eller vektorfunktion, den anvendes på.

Hvis vi skalarisk gange en vektor med en funktion , får vi en vektor $\nabla$ $\phi$

\nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}={\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,\phi

som er gradienten af funktionen . $\phi$

Hvis en vektor multipliceres skalarisk med en vektor , er resultatet en skalar $\nabla$ ${\vec {a}}$

\nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{ x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}={\mathbf {\operatørnavn {div}}}\, {\vec a}

det vil sige vektorens divergens . ${\vec {a}}$

Hvis vi ganges med en vektor , får vi vektorens rotor : $\nabla$ ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$

\nabla \times {\vec a}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x} &{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{ z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \ partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}={\mathbf {\operatørnavn {rot}}}\,{\vec a}

Bemærk: med hensyn til betegnelsen af skalar- og vektorproduktet generelt, i tilfælde af deres brug med nabla-operatoren, sammen med dem, der er brugt ovenfor, bruges der ofte alternative betegnelser svarende til dem, for eksempel skriver de ofte i stedet for , og i stedet skrive ; dette gælder også for nedenstående formler. $\nabla \cdot {\vec a}$ $(\nabla ,{\vec a})$ $\nabla \times {\vec a}$ $[\nabla ,{\vec a}]$

Følgelig er det skalære produkt en skalaroperator kaldet Laplace-operatoren . Sidstnævnte er også betegnet . I kartesiske koordinater er Laplace-operatoren defineret som følger: $\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ $\\Delta$

\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

Da nabla-operatoren er en differentialoperator, er det ved transformation af udtryk nødvendigt at tage hensyn til både reglerne for vektoralgebra og reglerne for differentiering. For eksempel:

{\mathbf {\operatørnavn {grad}}}(\phi \psi )={\mathbf {\nabla }}(\phi \psi )=\psi {\mathbf {\nabla }}\phi +\phi {\ mathbf {\nabla }}\psi =\psi \,{\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,\phi +\phi \,{\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,\psi

\operatørnavn {div}({\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2 }\phi =\Delta \phi

Det vil sige, at den afledte af et udtryk, der afhænger af to felter, er summen af udtryk, hvor kun ét felt er udsat for differentiering.

For at gøre det nemmere at indikere, hvilke felter nablaen virker på, er det sædvanligt at antage, at i produktet af felter og operatorer, handler hver operator på udtrykket til højre for det og ikke handler på alt til venstre. Hvis det er påkrævet, at operatøren handler i feltet til venstre, markeres dette felt på en eller anden måde, for eksempel ved at placere en pil over bogstavet:

\nabla \cdot {\vec v}={\stackrel {\downarrow }({\vec v))}\cdot \nabla

Denne notation bruges normalt i mellemliggende transformationer. På grund af dets besvær forsøger de at slippe af med pilene i det endelige svar.

Anden ordens operatører

Da der er forskellige måder at multiplicere vektorer og skalarer på, kan forskellige former for differentiering skrives ved hjælp af nabla-operatoren. Kombination af skalar- og vektorprodukter giver 7 forskellige muligheder for andenordens derivater:

{\mathbf {\operatørnavn {div}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)

{\mathbf {\operatørnavn {rot}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)

\Delta f=\nabla ^{2}f

{\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {div}}}\,{\vec v})=\nabla (\nabla \cdot {\vec v})

{\mathbf {\operatørnavn {div}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec v})

{\mathbf {\operatørnavn {rot}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \times (\nabla \times {\vec v})

\Delta {\vec v}=\nabla ^{2}{\vec v}

For tilstrækkeligt glatte felter (to gange kontinuerligt differentierbare) er disse operatører ikke uafhængige. To af dem er altid nul:

{\mathbf {\operatørnavn {rot}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f= 0

{\mathbf {\operatørnavn {div}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}} )=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0

De to matcher altid:

{\mathbf {\operatørnavn {div}}}\,({\mathbf {\operatørnavn {grad}}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f= \nabla ^{2}f=\Delta f

De resterende tre er relateret af:

\nabla \times (\nabla \times {\vec {v)))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v)))-\nabla ^{2}{\vec {v))

En anden kan udtrykkes i termer af tensorproduktet af vektorer:

\nabla (\nabla \cdot {\vec {v)))=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v)))

Forskelle mellem nabla-operatoren og den sædvanlige vektor

Selvom de fleste af egenskaberne for nabla-operatoren følger af de algebraiske egenskaber for operatorer og tal og bliver ret tydelige, når de ses som en vektor, skal man være forsigtig. Nabla-operatoren hører ikke til det samme rum som regulære vektorer, og mere præcist er skalar- og vektorproduktet for den defineret med nogle forskelle (hovedsageligt på grund af det faktum, at - som det normalt forstås - operatoren handler på de felter, der står fra til højre og virker ikke på dem til venstre, hvorfor skalar- og vektorproduktet med deltagelse ikke er kommutative og ikke antikommutative, som det er typisk for sådanne produkter af almindelige vektorer), så nabla-operatoren ikke har nogle af almindelige vektorers egenskaber og opfører sig derfor måske ikke i alt i overensstemmelse med en almindelig vektors geometriske egenskaber. I særdeleshed, $\nabla$

den pendler ikke med vektorer :

\nabla \cdot {\vec v}\neq {\vec v}\cdot \nabla

fordi - dette er en divergens, det vil sige i sidste ende kun en skalar funktion af koordinater, men er en ikke-triviel operator af differentiering i retning af vektorfeltet . $\nabla \cdot {\vec v}$ ${\vec v}\cdot \nabla$ ${\vec {v}}$

Du kan desuden kontrollere, at de ikke stemmer overens ved at anvende begge udtryk på skalarfunktionen f :

(\nabla \cdot {\vec v})f\neq ({\vec v}\cdot \nabla )f

fordi

(\nabla \cdot {\vec v})f=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y} }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{ y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f

({\vec v}\cdot \nabla )f=\venstre(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x))+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y} }+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y))+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z))

Hvis nablaen var en vektor, ville det blandede produkt altid være nul, men det er let at se, at dette ikke er sandt $({\vec v},\ \nabla ,\ {\vec v})\equiv {\vec v}\cdot (\nabla \times {\vec v})$ .

Derudover er det nødvendigt at huske, hvilke vektorer og funktioner hver nabla-operator i den skrevne formel virker på , for eksempel:

(\nabla x)\ gange (\nabla y)=\venstre({\vec i}\,{\frac {\partial x}{\partial x))+{\vec j}\,{\frac {\ partial x}{\partial y))+{\vec k}\,{\frac {\partial x}{\partial z))\right)\times \left({\vec i}\,{\frac { \partial y}{\partial x))+{\vec j}\,{\frac {\partial y}{\partial y))+{\vec k}\,{\frac {\partial y}{\ delvis z}}\right)=

=({\vec i}\cdot 1+{\vec j}\cdot 0+{\vec k}\cdot 0)\ gange ({\vec i}\cdot 0+{\vec j}\cdot 1+ {\vec k}\cdot 0)={\vec i}\ gange {\vec j}={\vec {k))

(her handler den første nabla-operatør kun på feltet , og den anden - kun på feltet , som så at sige stift fastlægger rækkefølgen af handlinger). For almindelige vektorer: $x$ $y$

({\vec u}x)\times ({\vec u}y)=xy({\vec u}\times {\vec u})=xy{\vec 0}={\vec {0))

fordi her og nemt tages ud. $x$ $y$

Derfor, for nemheds skyld, når du multiplicerer nabla-operatoren med et komplekst udtryk, er det differentierbare felt normalt angivet med en pil:

(\nabla ,[{\vec {u)),{\vec {v}}])=(\nabla ,[{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}},{\vec {v}}])+(\nabla ,[{\vec {u}},{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])=({\vec {v}}),[\ nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}}])-({\vec {u}},[\nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}]) = {\vec {v}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {v } }

Hvis operatøren ikke handler på et felt, så pendler feltvektoren og operatøren (for et vektorprodukt antipendler de). Vektorerne i de blandede produkter i eksemplet flyttes til venstre for operatoren, og det endelige udtryk skrives uden pile.

Historie

I 1853 introducerede W. R. Hamilton denne operator og opfandt et symbol for den i form af et omvendt græsk bogstav Δ (delta). Ved Hamilton pegede symbolets spids mod venstre; senere, i P. G. Taits værker, fik symbolet et moderne udseende. Hamilton kaldte dette symbol ordet "atled" (ordet "delta" læst baglæns), men senere begyndte engelske videnskabsmænd, herunder O. Heaviside , at kalde dette symbol "nabla" på grund af ligheden med skelettet af det gamle assyriske musikinstrument nabla , og operatøren blev kaldt Hamilton-operatøren , eller nabla-operatøren [3] . $\nabla$

Ifølge nogle kilder [4] er et bogstav i det fønikiske alfabet , hvis oprindelse er forbundet med et musikinstrument såsom en harpe, eftersom "ναβλα" (nabla) på oldgræsk betyder "harpe". Nablius er en slags harpe [5] . $\nabla$

Eksempler

$z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\ vec {i}}+x{\vec {j}}$
$z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i))+{\partial z \over \partial y}{\vec {j)) =90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}$

Se også

Noter

↑ I andre koordinatsystemer - se linket nedenfor.
↑ Denne dimension n , det vil sige dimensionen af det rum, hvori operatøren handler, er angivet eksplicit eller antydet ud fra formuleringen af den tilsvarende teori eller problemstilling.
↑ "Flere og buede integraler. Elementer af feltteori” , V. R. Gavril, E. E. Ivanova, V. D. Morozova. Matematik ved det tekniske universitet VII, Bauman Moscow State Technical University Publishing House .
↑ Manturov O. V. et al. Matematik i begreber, definitioner og termer / Red. L. V. Sabinina. - T. 2. - M .: Uddannelse , 1982.
↑ Stolyarov A. Noter // Senkevich G. Kamo kommer. - L .: Lenizdat, 1990. - S. 692.

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner