Multinomial fordeling

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. april 2018; checks kræver 6 redigeringer .

Den multinomiale (polynomiale) fordeling i sandsynlighedsteori er en generalisering af binomialfordelingen til tilfældet med n>1 uafhængige forsøg af et tilfældigt eksperiment med k>2 mulige udfald.

Definition

Lade være uafhængige identisk fordelte stokastiske variable , sådan at deres fordeling er givet af sandsynlighedsfunktionen [1] : $X_{1},\ldots ,X_{n}$

\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k

Intuitivt betyder begivenheden , at retssagen med nummeret førte til resultatet . Lad den stokastiske variabel være lig med antallet af forsøg, der førte til resultatet : ${\displaystyle \{X_{i}=j\))$ $jeg$ $j$ ${\displaystyle Y_{j))$ $j$

Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k

Så har vektorfordelingen en sandsynlighedsfunktion ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top ))$

{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}p_{1} ^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \ grænser _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k} )^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k))

hvor

{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))

er den multinomiale koefficient .

Middelvektor og kovariansmatrix

Den matematiske forventning til en stokastisk variabel har formen [1] : . De diagonale elementer i kovariansmatrixen er varianser af binomiale tilfældige variable , og derfor ${\displaystyle Y_{j))$ ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j))$ $\Sigma =(\sigma _{{ij}})$

\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k

For resten af elementerne har vi

\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j

Rangeringen af kovariansmatrixen for multinomialfordelingen er . $k-1$

Noter

↑ 1 2 Groot, 1974 , s. 55-56.

Litteratur

M. de Groot Optimal Statistical Decisions = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 s.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4263656-5

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula