Multinomiel koefficient

Multinomiale ( polynomielle ) koefficienter - koefficienter i ekspansion i form af monomer : $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}$ $x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}}}\dots x_{m}^{{k_{m}}}$

(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}} {n \vælg k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}} }\dots x_{m}^{{k_{m}}}.

Eksplicit formel

Værdien af den multinomiale koefficient er defineret for alle ikke-negative heltal n og sådan, at : $\tekststil {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$ $k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n$

{\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.

Binomialkoefficienten for ikke-negative heltal n , k er et specialtilfælde af multinomialkoefficienten (for m = 2), nemlig $\tekststil {\binom {n}{k))$

{n \vælg k}={n \vælg k,\nk}.

Egenskaber

I en kombinatorisk forstand er den multinomiale koefficient lig med antallet af ordnede partitioner af et n - element sat i m kardinalitetsundersæt . $\tekststil {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$

$\sum _{{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}}{n \vælg k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m} }=m^{n}.$

Stirlings formel for fast indebærer den asymptotiske formel $(\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\dots +\alpha _{k} =1$ ${\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{ 1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}$

Se også

Multinomial fordeling