Kvadratroden af 2

Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π
Notation	Anslået antal √ 2
Decimal	1.4142135623730950488…
Binær	1,0110101000001001111…
Hexadecimal	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Sexagesimal	en; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Rationelle Approksimationer	3/2 ; _ _ 7/5 ; _ _ 17/12 ; _ _ 41/29 ; _ _ 99/70 ; _ _ 239/169 ; _ _ 577/408 ; _ _ 1393/985 ; _ _ 3363 / 2378 ; 8119/5741 ; _ _ 19601 / 13860 (opført i rækkefølge efter stigende nøjagtighed)
Fortsat brøkdel	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddotter ))))))))))$

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 02494413 41 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212828 94724

Værdi med de første tusinde decimaler [1] .

{\sqrt {2}}

Kvadratroden af 2 er et positivt reelt tal , der, når det ganges med sig selv, giver 2 . Betegnelse: ${\sqrt {2}).$

Geometrisk kan roden af 2 repræsenteres som længden af diagonalen af et kvadrat med side 1 (dette følger af Pythagoras sætning ). Det var sandsynligvis det første kendte irrationelle tal i matematikkens historie (det vil sige et tal, der ikke kan repræsenteres nøjagtigt som en brøk ).

En god og almindeligt brugt tilnærmelse til er brøken . På trods af at brøkens tæller og nævner kun er tocifrede heltal, adskiller den sig fra den reelle værdi med mindre end 1/10000. ${\sqrt {2}}$ ${\tfrac {99}{70}}$

Historie

Den babylonske lertavle (ca. 1800-1600 f.Kr.) giver den mest nøjagtige tilnærmelse , når den skrives i fire seksagesimale cifre, som efter afrunding er 6 eksakte decimaler: ${\sqrt {2}}$

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1,41421(296) \,.

En anden tidlig tilnærmelse af dette tal i en gammel indisk matematisk tekst kaldet Shulba Sutras (ca. 800-200 f.Kr.) er givet som følger:

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\ca. 1,414215686\,.

Pythagoræerne fandt ud af, at diagonalen af en firkant ikke kan sammenlignes med dens side, eller i moderne sprogbrug, at kvadratroden af to er et irrationelt tal . Lidt vides med sikkerhed om tidspunktet og omstændighederne for denne enestående opdagelse, men traditionelt tilskrives dens forfatterskab Hippasus af Metapontus , som ifølge forskellige versioner af legenden enten blev dræbt eller fordrevet af pythagoræerne for denne opdagelse, hvilket gav ham skylden. for ødelæggelsen af den vigtigste pythagoræiske doktrin om, at "alt er et [naturligt] tal." Derfor kaldes kvadratroden af 2 nogle gange den pythagoræiske konstant, da det var pythagoræerne, der beviste dens irrationalitet, og derved opdagede eksistensen af irrationelle tal .

Beregningsalgoritmer

Der er mange algoritmer til at tilnærme værdien af kvadratroden af to med fælles- eller decimalbrøker . Den mest populære algoritme til dette, som bruges i mange computere og regnemaskiner, er den babylonske metode til beregning af kvadratrødder (et specialtilfælde af Newtons metode ). Den består af følgende:

a_{{n+1}}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n)))){2}}={\frac {a_{n}}{2}} +{\frac {1}{a_{n}}}.

Jo flere gentagelser i algoritmen (det vil sige jo flere ), jo bedre tilnærmelse af kvadratroden af to. Hver gentagelse fordobler cirka antallet af korrekte cifre. Flere første tilnærmelser, startende med : $n$ $a_{0}=1$

${\frac {3}{2}}={\color {Grøn}1}{,}5$
${\frac {17}{12}}={\color {Grøn}1{,}41}6\ldots$
${\frac {577}{408}}={\color {Grøn}1{,}41421}5\ldots$
${\frac {665857}{470832}}={\color {Grøn}1{,}41421356237}46\ldots$

I 1997 beregnede Yasumasa Canada værdien til 137.438.953.444 decimaler. I februar 2007 blev rekorden slået, da Shigeru Kondo beregnede 200 milliarder decimaler på 13 dage og 14 timer ved hjælp af en 3,6 GHz-processor og 16 GB RAM . ${\sqrt {2}}$

Mnemonisk regel

For at huske værdien af roden af to med otte decimaler (1,41421356), kan du bruge følgende tekst (antallet af bogstaver i hvert ord svarer til decimaltallet): “Og jeg har en frugt, men de har mange rødder ."

Egenskaber af kvadratroden af to

Halvdelen er omtrent lig med 0,70710 67811 86548; denne værdi giver i geometri og trigonometri koordinaterne for en enhedsvektor, der danner en vinkel på 45° med koordinatakserne: ${\sqrt {2}}$

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\cirkel }=\sin 45^{\cirkel }.

En af de interessante egenskaber er følgende: ${\sqrt {2}}$

\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

. fordi

({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.

Dette er et resultat af sølvsektionsejendommen .

En anden interessant ejendom : ${\sqrt {2}}$

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots )))))))=2.

Kvadratroden af to kan udtrykkes i imaginære enheder i ved kun at bruge kvadratrødder og aritmetiske operationer:

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}

{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

Kvadratroden af 2 er det eneste tal bortset fra 1, hvis uendelige tetration er lig med kvadratet.

{\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^({\ \cdot ^({\cdot ^{\cdot ))))))))) ) }=2

Kvadratroden af to kan også bruges til at tilnærme : $\pi$

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2))))))))))\to \pi \quad

på

m\to \infty .

Set fra højere algebras synspunkt er roden af polynomiet og er derfor et algebraisk heltal [2] . Formens talsæt , hvor er rationelle tal , danner et algebraisk felt . Det er betegnet og er et underfelt af feltet med reelle tal . ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2$ $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b$ ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$

Bevis for irrationalitet

Bevis via faktorisering

Lad os anvende beviset ved modsigelse : lad os sige, at det er rationelt , det vil sige, at det er repræsenteret som en brøk , hvor er et heltal , og er et naturligt tal . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Lad os kvadrere den formodede lighed:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

Da primfaktoriseringen indeholder en lige potens og en ulige potens, er lighed umulig. Derfor var den oprindelige antagelse forkert og er et irrationelt tal. $m^{2}$ $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

Fortsat brøk

Kvadratroden af to kan repræsenteres som en fortsat brøk :

\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+ \ddots }}}}}}}}.

Konvergenterne af en given fortsat fraktion giver omtrentlige værdier, der hurtigt konvergerer til den nøjagtige kvadratrod af to. Måden at beregne dem på er enkel: Hvis vi betegner den forrige passende brøk , så har den næste formen . Konvergensraten her er mindre end den babylonske metode, men beregningerne er meget enklere. Lad os skrive nogle første tilnærmelser ned: ${\frac {m}{n}}$ ${\frac {m+2n}{m+n}}$

{\frac {3}{2));\ {\frac {7}{5));\ {\frac {17}{12));\ {\frac {41}{29));\ {\ frac {99}{70));\ {\frac {239}{169));\ {\frac {577}{408));\ {\frac {1393}{985));\ {\frac { 3363}{2378}}\prikker

Kvadratet af den sidste reducerede brøk er (afrundet) 2,000000177.

Papirstørrelse

Kvadratroden af to bruges i billedformatet for papir i ISO 216 serie A og B og ISO 217 serie C. Formatforholdet er . Når du skærer et ark i halvt parallelt med dets korte side, opnås to ark med samme forhold. Dette giver dig mulighed for at nummerere papirstørrelser med ét nummer i faldende rækkefølge af arkområdet (antal klip): A0, A1, A2, A3, A4 , ... og B0, B1, B2, B3 ... $1:{\sqrt {2}}$

På lignende måde (ved at dele arket i to) bruges den rationelle tilnærmelse til roden af to (7/5) i fotopapirformater: 2R (2,5 × 3,5 tommer), 3R (3,5 × 5 tommer), 5R (5 × 7").

Se også

Noter

↑ Kvadratroden af to, til 5 millioner cifre
↑ Må ikke forveksles med heltal .

Litteratur

Claudy Alsina. Sekten af tal. Pythagoras sætning. - M. : De Agostini, 2014. - 152 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .

Links

Pythagoras's konstante arkiveret 20. december 2018 på Wayback Machine .

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk

Kvadratroden af ​​2