Vieta formler

Vieta-formler er formler, der relaterer koefficienterne til et polynomium og dets rødder .

Det er praktisk at bruge disse formler til at kontrollere rigtigheden af at finde rødderne til et polynomium, samt at komponere et polynomium ud fra givne rødder.

Disse identiteter er implicitte i François Vietas arbejde . Viet betragtede dog kun positive reelle rødder, så han havde ikke mulighed for at skrive disse formler i generel form. [1] :138-139

Ordlyd

Hvis er rødderne af polynomiet $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n))

(hver rod tages svarende til dens multiplicitet antal gange), så udtrykkes koefficienterne som symmetriske polynomier fra rødderne [2] , nemlig: $a_{1},\ldots ,a_{n}$

{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{ 2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_ {3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{ n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_ {1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(- 1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}

Det er med andre ord lig med summen af alle mulige produkter fra rødderne. $(-1)^{k}a_{k}$ $k$

Konsekvens : det følger af Vietas sidste formel, at hvis rødderne af et polynomium er heltal, så er de divisorer af dets frie led, som også er heltal.

Hvis polynomiets ledende koefficient ikke er lig med én:

a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},

derefter for at anvende Vieta-formlen skal du først dividere alle koefficienterne med (dette påvirker ikke værdierne af polynomiets rødder). I dette tilfælde giver Vieta-formlerne et udtryk for forholdet mellem alle koefficienter til den højeste: $a_{0}$

{\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{ k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.

Bevis

Beviset udføres ved at betragte ligheden opnået ved at udvide polynomiet i form af rødder, idet der tages hensyn til, at $a_{0}=1$

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})( x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).

Ved at sætte lighedstegn mellem koefficienterne ved lige potenser ( entydighedssætning ), får vi Vietas formler. $x$

Eksempler

Kvadratisk ligning

Hvis og er rødderne til andengradsligningen , så $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a)),\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a }}.\end{cases}}

I et bestemt tilfælde, hvis (reduceret form ), så $a=1$ $x^{2}+px+q=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases))

Kubisk ligning

Hvis er rødderne af den kubiske ligning , så $x_{1},x_{2},x_{3}$ $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3 }+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}\end{ sager}}

Variationer og generaliseringer

Det kan ses af ovenstående bevis, at Vieta-formlerne opnås rent algebraisk ud fra egenskaberne addition og multiplikation. Derfor kan de anvendes på polynomier med koefficienter fra et vilkårligt integritetsdomæne, hvis polynomiets ledende koefficient er lig med én, og rødderne er placeret i den algebraiske lukning af kvotientfeltet for $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} ,$ $\mathbb {K} .$

Hvis koefficienterne for et polynomium er taget fra en vilkårlig kommutativ ring , der ikke er et integritetsdomæne (det vil sige, den har nul divisorer ), så holder Vieta-formlerne generelt set ikke. Betragt f.eks. ringen af rester modulo 8 og polynomiet. Den har ikke to, men fire rødder i denne ring: Derfor gør nedbrydningen til lineære faktorer brugt i beviset, hvis antal er lig med antallet af rødder, ikke finde sted, og Vieta-formlen, som den er let at kontrollere, er forkert. $\mathbb {K}$ $P(x)=x^{2}-1.$ $1,3,5,7.$

Se også

Noter

↑ Florian Cajori. En historie om matematik. — 5. udgave. – 1991.
↑ Algebra of polynomials, 1980 , s. 26-28.

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra af polynomier. En lærebog for deltidsstuderende på III-IV kurser af fysiske og matematiske fakulteter på pædagogiske institutter. - M . : Uddannelse, 1980.
Weisstein, Eric W. Vietas formler / Fra MathWorld --En Wolfram-webressource
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), "Viète theorem" (link utilgængeligt) , Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk)
Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357-365, doi:10.2307/2299273 , JSTOR 2299273 _