Integraler af bevægelse

I mekanik kaldes funktionen, hvor - generaliserede koordinater , - generaliserede hastigheder af systemet, integralet af bevægelse (af det givne system), hvis på hver bane af dette system, men funktionen er ikke identisk konstant. $I=I(q, \dot q),$ $q$ $\dot q$ $I(q, \dot q)=\mathrm{konst}$ $q(t)$ $I(q, \dot q)$

Integraler af bevægelse, der har additivitet eller asymptotisk additivitet , kaldes bevarelseslove .

Integraler af bevægelse i klassisk mekanik

I klassisk mekanik, for et lukket system af partikler i tredimensionelt rum , mellem hvilke der ikke er stive forbindelser, er det muligt at danne uafhængige bevægelsesintegraler - disse er de første integraler af det tilsvarende system af Hamilton-ligninger . Af disse er tre additive: energi , momentum , vinkelmomentum [1] . $N$ $6N-1$

Ansøgning

Integraler af bevægelse er nyttige, fordi nogle egenskaber ved denne bevægelse kan kendes, selv uden at integrere bevægelsesligningerne . I de mest vellykkede tilfælde repræsenterer bevægelsesbanerne skæringspunktet mellem isooverfladerne af de tilsvarende bevægelsesintegraler. For eksempel viser Poinsot-konstruktionen , at uden drejningsmoment er rotationen af et stivt legeme skæringspunktet mellem en kugle (bevarelse af totalt vinkelmoment) og en ellipsoide (bevarelse af energi) - en bane, der er svær at udlede og visualisere. Derfor er det at finde integraler af bevægelse et vigtigt mål i mekanik .

Metoder til at finde integraler af bevægelse

Der er flere metoder til at finde integraler af bevægelse:

Den enkleste, men også den mindst strenge metode er en intuitiv tilgang, ofte baseret på eksperimentelle data og efterfølgende matematiske beviser for bevarelsen af størrelse.

Hamilton-Jacobi-ligningen tilbyder en streng og direkte metode til at finde bevægelsesintegraler, især hvis Hamiltonianeren tager den velkendte funktionelle form i ortogonale koordinater .

En anden tilgang er at sidestille den bevarede mængde og en slags lagrangisk symmetri . Noethers sætning giver en systematisk måde at udlede sådanne størrelser fra symmetrier. For eksempel er loven om bevarelse af energi et resultat af det faktum, at Lagrangian ikke ændrer sig med hensyn til et skift i tid, loven om bevarelse af momentum svarer til invariansen af Lagrangian med hensyn til et skift af oprindelse i rum ( translationssymmetri ), og loven om bevarelse af vinkelmomentum følger af rummets isotropi (lagrangien ændrer sig ikke med rotationer af systemkoordinaterne). Det modsatte er også sandt: enhver symmetri af Lagrangian svarer til et integral af bevægelse.

En mængde bevares, hvis den ikke eksplicit afhænger af tiden, og dens Poisson-parenteser med systemets Hamiltonian er lig med nul: $EN$

{\frac {dA}{dt))={\frac {\partial A}{\partial t))+[A,H]=0

Et andet nyttigt resultat er kendt som Poissons teorem , som siger, at hvis der er to integraler af bevægelse og , så er Poisson-parenteserne af disse to størrelser også et integral af bevægelse, forudsat at der opnås et udtryk uafhængigt af integralerne. $EN$ $B$ $[A, B]$

Et system med frihedsgrader og bevægelsesintegraler, således at Poisson-parenteserne af ethvert integralpar er nul, er kendt som et fuldt integrerbart system . Et sådant sæt af bevægelsesintegraler siges at være i involution med hinanden. $n$ $n$

I hydrodynamik

I den frie (uden ydre kræfter) bevægelse af en ideel (ingen spredning, ingen viskositet) inkompressibel (volumen af enhver del bevares) væske, bevares følgende mængder:

kinetisk energi (se også Bernoulli integral ) $\int\limits_V\vec{v}^2\,dV$
hydrodynamisk helicitet $\int\limits_V\vec{v}\cdot\operatørnavn{rot}\,\vec{v}\,dV$

Hvis bevægelsen er todimensionel, bevares enstrofien også . $\int_{S} \left(\nabla\times\vec{v}\right)^{2}dS$

I ideel magnetohydrodynamik er det første integral (total energi som summen af væskens kinetiske energi og magnetfeltets energi) bevaret, det andet (hydrodynamisk helicitet ) forsvinder, men to andre bevægelsesintegraler vises:

Det magnetiske felts helicitet er , hvor er vektorens magnetiske potentiale . $\int\limits_V\vec{A}\cdot\operatørnavn{rot}\,\vec{A}$ $\vec{A}$
Cross helicity - $\int\limits_V\vec{v}\cdot\vec{B}$

I kvantemekanik

Den observerede mængde Q bevares, hvis den pendler med Hamiltonian H , som ikke eksplicit afhænger af tid. Derfor

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |{\hat {Q}}|\psi \rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\venstre[ {\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}|\psi \rangle

hvor kommuteringsrelationen bruges

[\hat{\mathcal H},\hat{Q}] = \hat{\mathcal H} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{\mathcal H}

Konklusion

Lad der være nogle observerbare , som afhænger af position, momentum og tid $Q$

Q=Q(x,p,t)

og der er også en bølgefunktion , som er en løsning på den tilsvarende Schrödinger-ligning

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {\mathcal {H))}\psi

For at beregne den tidsafledede af gennemsnitsværdien af det observerbare , bruges produktdifferentieringsreglen , og resultatet efter nogle manipulationer er angivet nedenfor $Q$

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle \, = \frac{d}{dt} \langle \psi | \hat{Q} | \psi \rangle \, =

= \langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} | \psi \rangle + \langle \psi | \hat{Q} | \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle\, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \hat{\mathcal H} \psi | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} | \hat{\mathcal H} \psi \rangle \, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \psi | \hat{\mathcal H} \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} \hat{\mathcal H} | \psi \rangle \, =

={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q))}{\partial t))|\psi \rangle

Som et resultat får vi

{\frac {d}{dt}}{\hat {Q}}={\frac {i}{\hbar }}\venstre[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]+{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}

Relation til kvantekaos og kvanteintegrerbarhed

I klassisk mekanik er der Liouvilles sætning , hvorefter et system, hvor antallet af bevægelsesintegraler i involution falder sammen med antallet af frihedsgrader, kan integreres (løses) fuldstændigt ved metoden til adskillelse af variable i Hamilton-Jacobi ligning. Et sådant system er et integrerbart system . Banen for et sådant system i -dimensionelt faserum kan repræsenteres i passende variabler ( variable action-angle ) som en vikling på en -dimensional torus. Et system, hvor antallet af integraler er mindre end antallet af frihedsgrader, udviser kaotisk adfærd , det vil sige, at baner i faserum med tætte begyndelsesbetingelser kan divergere eksponentielt. Med en let deformation af det integrerbare system til et ikke-integrerbart system ødelægges den dimensionelle torus i det dimensionelle faserum ("sløret") og bliver for eksempel til en mærkelig attraktor . $n$ $2n$ $n$ $n$ $2n$

Kvanteanalogen til Liouville-sætningen er ukendt, men selv i kvantetilfældet kan systemer opdeles i integrerbare og ikke-integrerbare. Med integrerbar mener vi i dette tilfælde systemer, der indrømmer en nøjagtig løsning i betydningen muligheden for at finde alle egenværdier og egenfunktioner af Hamiltonianeren i en rimelig form. En kvanteanalog af metoden til adskillelse af variable er kendt, men dens anvendelse er ikke så universel i klassiske tilfælde. Kendte eksempler viser, at der i kvanteintegrerbare systemer, såvel som i klassiske, er integraler af bevægelse, der pendler med hinanden. Tilstedeværelsen af bevægelsesintegraler garanterer dog tilsyneladende endnu ikke kvanteintegrerbarhed. Problemet med kvantisering af integrerbare systemer er søgen efter et sådant kvantesystem, der ville indrømme en nøjagtig løsning og ville give et givet klassisk system i den klassiske grænse. Der er også eksempler på integrerbare kvantesystemer, der ikke har integrerbare klassiske analoger. Dette sker, hvis systemet kan løses for specielle værdier af parametrene for kvante Hamiltonian , eller når systemet ikke tillader en klassisk beskrivelse (såsom et system af spins ). $n$ $n$

Alle andre kvantesystemer viser tegn på kvantekaos i en eller anden grad . Klassiske kaotiske systemer tillader kvantisering i den forstand, at deres tilstandsrum og Hamiltonsk kan defineres korrekt, men både klassiske kaotiske systemer og kvantesystemer synes ikke at tillade en nøjagtig løsning. De kan undersøges ved tilnærmede metoder såsom perturbationsteori og variationsmetoden , samt undersøges numerisk ved metoder til molekylær dynamik i det klassiske tilfælde eller numerisk diagonalisering af Hamiltonian i kvantetilfældet.

Se også

Noter

↑ Savelyev, 1987 , s. 74.

Litteratur

Griffiths, David J.Introduktion til kvantemekanik (2. udgave) (engelsk) . — Prentice Hall , 2004.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mekanik. - 4. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 215 s. - (" Teoretisk fysik ", bind I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5 .
Savelyev I.V. Kursus i generel fysik. T. 1. Mekanik. Molekylær fysik. — M .: Nauka, 1987. — 432 s.