Poisson beslag

Poisson-beslag [1] (også muligvis Poisson-beslag [2] og Lie-beslag ) er en operator, der spiller en central rolle i at bestemme tidsudviklingen af et dynamisk system . Denne operation er opkaldt efter S.-D. Poisson . Betragtet af S. Poisson i 1809 [3] , derefter glemt og genopdaget af Carl Jacobi .

Poisson-parenteser af vektorfelter

Lad og være vektorfelter på en jævn manifold , vær operatoren af Lie-afledten i forhold til vektorfeltets retning . Operatørkommutatoren er en førsteordens differentialoperator , så der er et vektorfelt, for hvilket [4] [Noter 1] $v$ $u$ $M$ $L_{v}$ $v$ $L_{v}$ $L_{u}$ $[v,u]$

L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{{[v,u]}}

Komponenterne i vektorfeltet i et vilkårligt koordinatsystem er udtrykt i form af komponenterne og ved formlen $[v,u]$ $v$ $u$

$[v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.$

Feltet er således ikke afhængigt af det koordinatsystem, der bruges i formlen. $[v,u]$ $(x_{1},...,x_{n}),$

Dette vektorfelt kaldes kommutator , Lie-parenteser eller Poisson-parenteser for de to vektorfelter. Eksplicit udtryk for parentes Lie-felter:

[v,u]=L_{v}u-L_{u}v

I det holonomiske grundlag tager det formen

[v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }

Eksempel

Lad være gruppen af diffeomorfismer af mangfoldigheden . Hvor er så Poisson-beslaget og er forskellen på gruppens identitet. Symbolet angiver billedet af elementet . $G=\mathrm {Diff} (M)$ $M$ $\mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},$ ${\displaystyle \{v,w\))$ $\mathrm {annonce}$ $\mathrm {Annonce}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{v))$ $v$

Lad være en kurve, der forlader med initial hastighed og lad være den samme kurve med initial hastighed derefter $t\mapsto g(t)$ $k$ ${\dot {g}}=m,$ $s\mapsto h(s)$ $h'=\omega .$

$g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o( t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$

på $t,s\rightarrow 0.$

Egenskaber

Alle undtagen de to sidste er bevist ved en simpel beregning.

Linearitet : er en funktion uafhængig afog. ${\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c$ $u$ $v$
Antikommutativitet : ${\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}$
${\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}$
${\Big [}u,u{\Big ]}=0$
${\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\ Big ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t)){\Big ]}$
${\Big [}w,c{\Big ]}=0$
${\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}$
${\Big [}w,u(v_{1},\ldots,v_{k}){\Big ]}=\sum _{{l=1}}^{k}{\cfrac {\partial u} {\partial v_{l))}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}$
Jacobi identitet : ${\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ] }+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.$
Kommuteringsoperationen sætter strukturen af Lie-algebraen på sættet af vektorfelter .

Poisson-parenteser af funktioner

Lad være en symplektisk mangfoldighed . Den symplektiske struktur på tillader introduktion på sættet af funktioner om betjeningen af Poisson-parenteser , angivet med eller givet af reglen [1] [Noter 2] $M$ $\omega$ $M$ $M$ $\{\cdot ,\cdot \}$ $[\cdot ,\cdot]$

[F,G]\ {\stackrel {{\text{def}}}{=}}\ L_{{{\mathbf F}}}G\equiv dG({\mathbf F})\equiv \omega ({ \mathbf F},{\mathbf G})

hvor (også ) er vektorfeltet svarende til Hamilton-funktionen . Det er defineret i form af funktionsdifferentialet og isomorfien mellem 1-former og vektorer givet af den (ikke-degenererede) form . Nemlig for ethvert vektorfelt $\mathbf {F}$ $IdF$ $F$ $F$ $\omega$ ${\mathbf v}$

dF({\mathbf v})\ {\stackrel {{\text{def))}{=}}\ \omega ({\mathbf v},{\mathbf F})

Lie-algebraen for Hamilton-funktioner

På grund af skævsymmetrien og bilineariteten vil Poisson-beslaget også være skævsymmetrisk og bilineært: $\omega$

[F,G]=-[G,F]

[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]

Udtryk

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]

er en lineær funktion af den anden afledede af hver af funktionerne . Imidlertid $F, G, H$

{\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{{Id[G,H ]}}F+L_{{{\mathbf G}}}L_{{{\mathbf H}}}F-L_{{{\mathbf H}}}L_{{{\mathbf G}}}F=\ \\left(-L_{{Id[G,H]}}+L_{{[{\mathbf G},{\mathbf H}]}}\right)F\end{array}}

Dette udtryk indeholder ikke anden afledning . På samme måde indeholder den ikke anden derivater og , og derfor $F$ $G$ $H$

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0

det vil sige, at Poisson-parenteserne tilfredsstiller Jacobi-identiteten . Således giver Poisson-parenteser mulighed for at introducere strukturen af en Lie-algebra på sættet af funktioner . Det følger af Jacobi-identiteten, at for enhver funktion $M$ $H$

L_{{Id[F,G]}}H=L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}H

det er

Id[F,G]=[{\mathbf F},{\mathbf G}]

— Operationen med at konstruere et Hamiltonsk vektorfelt ud fra en funktion definerer en homomorfi af Lie-algebraen af funktioner til Lie-algebraen af vektorfelter.

Egenskaber

Poisson-beslag er ikke -degenererede :

\foral F\not \equiv 0\ \eksisterer H:[F,H]\neq 0

Poisson-parenteserne opfylder Leibniz-identiteten :

[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]

En funktion er det første integral for et Hamiltonian-system med en Hamiltonian hvis og kun hvis $F$ $H$ $[F,H]=0$
Poisson-beslaget af de to første integraler af systemet er igen det første integral (en konsekvens af Jacobi-identiteten).
Overvej udviklingen af et Hamilton-system med en Hamilton-funktion givet på en manifold . Den samlede tidsafledede af en vilkårlig funktion kan skrives som $H$ $M$ $f\colon M\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

{\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot q}{\frac {\partial f} {\partial q))+{\dot p}{\frac {\partial f}{\partial p))=\\&{\frac {\partial f}{\partial t))+L_{({\ mathbf H))}f=\\&{\frac {\partial }{\partial t))f+[H,f]\end{array))

I kanoniske koordinater har Poisson-parenteser formen [Note 3] $(q_{i},p_{j})$

[f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i))}{\frac {\partial g}{ \partial q^{i))}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i))}{\frac {\partial g}{\partial p_{i))}\right)

[5]

Filosofisk betydning

Poisson-beslag har spillet en vigtig heuristisk rolle i skabelsen af kvantemekanik ved den klassiske analogi mellem klassiske og kvante-Poisson-beslag. [6] [7] [8] [9]

Noter

↑ Nogle forfattere [Arnold] bruger definitionen med det modsatte fortegn, hvilket også ændrer tegnet i definitionen af Poisson-parenteserne af funktioner (se nedenfor). Denne tilgang er tilsyneladende dikteret af ønsket om at bevare både de naturlige geometriske definitioner af Hamilton-felter og deres egenskaber og den traditionelle form for at skrive Poisson-parenteser i koordinater. Dette ødelægger imidlertid den naturlige symmetri mellem kommutatorerne af Lie-derivater, vektorer og funktioner. Yderligere problemer opstår, når man går over til de generelle begreber om differentialgeometri (former, vektorværdiformer, forskellige afledninger), hvor fraværet af denne symmetri komplicerer formlerne unødigt. Derfor vil der i denne artikel blive brugt andre definitioner med forbehold.
↑ I nogle bøger [Arnold] er en definition med det modsatte fortegn vedtaget, nemlig Samtidig er kommutatoren af vektorfelter også defineret med det modsatte fortegn (se ovenfor), og udtrykket for Poisson-parentesen i koordinater tager traditionel form, men der kommer et ekstra minus i udtrykket og formlen for feltomskifteren. $[F,G]\ {\stackrel {def}{=}}\ dF({\mathbf G})={-L_{{{\mathbf F}}}G.}$ $L_{{Id[F,G]}}=-L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}$
↑ I [Arnold], [Gantmacher] har udtrykket det modsatte fortegn (svarende til ovenstående bemærkninger). Traditionelt er udtrykket skrevet som i [Gantmacher].

Litteratur

↑ 1 2 Gantmakher F. R. Forelæsninger om analytisk mekanik: Lærebog for universiteter / Udg. E. S. Pyatnitsky. - 3. udg. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 264 s. — ISBN 5-9221-0067-X .
↑ Arnold V. I. Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .
↑ Poisson SD Memoire sur lavariation des constantes arbitraire dans les question de Mechanique. - Journ. Politechn. 1809 t. VIII, s. 266-344
↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Naturlige operationer i differentialgeometri Arkiveret 6. juli 2020 på Wayback Machine , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0- 387-56235-4 .
↑ Landau L. D, Lifshitz E. M. Theoretical Physics. Bind 1. / Doktor i fysiske og matematiske videnskaber L.P. Pitaevsky. - 5. - FIZMATLIT, 2004. - S. 176-179. - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Dirac P A M "Basic Equations of Quantum Mechanics" Arkivkopi af 2. maj 2021 på Wayback Machine UFN 122 611–621 (1977)
↑ Dirac P.A.M. Erindringer fra en ekstraordinær æra. - M., Nauka, 1990. - s. 20-21
↑ Dirac P. A. M. Kvantemekaniks principper. - M., Fizmatlit, 1960. - s. 125-130
↑ Razumovsky O. S. Poisson-parenteser som metode // Yanenko N. N. , Preobrazhensky N. G., Razumovsky O. S. Matematisk fysiks metodiske problemer. - Novosibirsk, Nauka, 1986. - s. 246-263