Dominans (spilteori)

Dominans i spilteori er en situation, hvor en af en bestemt spillers strategier giver et større udbytte end en anden, for alle hans modstanderes handlinger. Det omvendte koncept, intransitivitet , opstår, hvis en eller anden strategi kan give mindre udbytte end en anden, afhængigt af de andre deltageres adfærd.

Begrebet dominans bruges til at løse eller forenkle visse typer ikke-samarbejdsspil .

Terminologi

Når han vælger sin strategi fra sættet af tilladte, sammenligner spilleren resultaterne af deres ansøgning efter præference. Tre typer resultater kan forekomme:

Strategi B dominerer strategi A, hvis brugen af strategi B for andre spilleres adfærd ikke fører til noget værre resultat end at bruge A. Der er streng dominans , når B giver en større udbytte end A, under alle omstændigheder, og svag dominans , hvis andre spillere under nogle handlinger, giver B en større gevinst end A, og for andre - det samme med hende.
Strategi B er domineret af strategi A, hvis strategi B for enhver adfærd fra de andre spillere ikke fører til noget bedre resultat end strategi A. På samme måde som i det foregående tilfælde kan en strategi være stærkt eller svagt domineret.
Strategi A og B kaldes ikke -transitive, hvis B ikke dominerer A, og A ikke dominerer B. Det betyder, at afhængigt af andre spilleres valg af strategier, kan både valget af strategi A og B give store gevinster til spiller.

Dette koncept er generaliseret til at sammenligne mere end to strategier:

En strategi B siges at være strengt dominerende , hvis den strengt taget dominerer enhver anden tilladt strategi for spilleren.
Strategi B siges at være svagt dominerende , hvis den dominerer enhver anden mulig strategi for spilleren, hvoraf nogle er svagt domineret.
Strategi B kaldes strengt domineret , hvis der er en anden strategi, der strengt taget dominerer den.
Strategi B kaldes svagt domineret , hvis der er en anden strategi, der svagt dominerer den.

Formelle definitioner

En spillers strategi siges at dominere svagt strategi if ${\displaystyle s^{*}\in S_{i))$ $jeg$ ${\displaystyle s^{\prime }\in S_{i))$

\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}(s^{*},s_{-i})\geq u_{i}(s^{\prime },s_ {-jeg})

, og mindst én ulighed er strengt taget opfyldt.

Her er det direkte produkt af de strategiske sæt af alle spillere undtagen -th. ${\displaystyle S_{-i))$ $jeg$

Strategien er strengt dominerende hvis $s^{*}$ ${\displaystyle s^{\prime ))$

\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}(s^{*},s_{-i})>u_{i}(s^{\prime },s_{ -jeg})

Dominans og Nash-ligevægte

	C	D
C	elleve	0, 0
D	0, 0	0, 0
Svag dominans

Hvis der er en strengt dominerende strategi for en af spillerne, vil han bruge den i enhver af Nash-ligevægtene i spillet. Hvis alle spillere har strengt dominerende strategier, har spillet en unik Nash-ligevægt. Denne ligevægt vil dog ikke nødvendigvis være Pareto-effektiv , dvs. uligevægtsresultater kan give alle spillere et større udbytte. Et klassisk eksempel på denne situation er Prisoner's Dilemma -spillet .

Brugen af strengt dominerede strategier er under ingen omstændigheder rationel for spillerne, og derfor vil de ikke indgå i Nash-ligevægten. Samtidig kan svagt dominerede strategier komme i ligevægt. Et eksempel på et sådant spil er vist til højre.

Her er strategierne D for begge spillere svagt domineret af deres strategier C . Situationen ( D , D ) er imidlertid Nash-ligevægten i dette spil. Faktisk kan ingen af spillerne, ved at afvige fra at bruge D , få mere udbytte, hvis den anden spiller holder sig til D.

Successiv udelukkelse af dominerede strategier

Successiv udelukkelse af dominerede strategier er en almindeligt anvendt teknik til at løse eller forenkle ikke-samarbejdsvillige spil. Det er baseret på den antagelse, at parterne under spillet ikke vil bruge dominerede strategier, og derfor kan de ignoreres i yderligere beslutninger. Udelukkelse af disse strategier fra overvejelse fører dog til en indsnævring af sættet af mulige situationer, som følge af, at der kan opstå nye dominerede strategier, som ikke var domineret i det oprindelige spil. Successiv udelukkelse af dominerede strategier består i at finde og fjerne dem i en sekvens af reducerede spil med krympende sæt af spilsituationer.

Denne proces kan stoppe, hvilket fører til et reduceret spil, hvor alle spillernes strategier er ikke-transitive eller til en enkelt situation. Hvis stærkt dominerede strategier blev fjernet, er denne situation den eneste Nash-ligevægt i spillet. Fjernelse af svagt dominerede strategier fører også til en Nash-ligevægt, men denne ligevægt er muligvis ikke unik. I nogle spil, afhængigt af rækkefølgen af fjernelse af svagt dominerede strategier, kan den iterative elimineringsproces konvergere til forskellige Nash-ligevægte.

Eksempel

Et eksempel på at løse et spil ved successiv eliminering af strengt dominerede strategier. [en]

Lad spiller A og B deltage i spillet. For spiller A er strategierne a 1 og a 2 tilgængelige , for spiller B - strategierne b 1 , b 2 , b 3 . Spillere vælger strategier samtidigt og uafhængigt af hinanden. Tabellen viser de betalinger, som spillere modtager ved at spille deres strategi, afhængigt af en anden spillers valgte strategi. Det første ciffer i cellen er betalingen af den første spiller, tallet efter semikolon er betalingen modtaget af den anden spiller.

kildetabel. Tabellen viser for eksempel, at hvis spiller A spiller strategi a 2 og spiller B spiller strategi b 3 , så får spiller A 4 point og spiller B 1 point.

	b 1	b 2	b 3
en 1	6; 5	3; 6	3; 9
en 2	7; 7	3; 0	fire; en

Det kan ses, at uanset valget af spiller A, for den anden spiller er strategi b 2 ringere i sine karakteristika end strategi b 3 (6 < 9 og 0 < 1).

	b 1	b 2	b 3
en 1	6; 5	3; 6	3; 9
en 2	7; 7	3; 0	fire; en

Derfor kan kolonnen med strategien b 2 ignoreres i videre overvejelse, vi sletter den. Fra spiller A's synspunkt er en 1'er klart ringere end en 2'er blandt de resterende strategier ( 6 < 7 og 3 < 4)

	b 1	b 3
en 1	6; 5	3; 9
en 2	7; 7	fire; en

Overstrege stregen med strategi a 1 . Der er kun to celler tilbage i betalingstabellen, og for den anden spiller er strategi b 1 klart at foretrække frem for strategi b 3 (1 < 7).

	b 1	b 3
en 2	7; 7	fire; en

Ved at udelukke stærkt dominerede strategier har vi således løst spillet: rationelle spillere vil spille strategi b 1 og a 2 , hver spiller vil modtage en udbetaling på 7.

Noter

↑ Tabel fra spilteorikurset Arkiveret 17. februar 2015 på Wayback Machine af Dmitry Dagaev (Higher School of Economics) på Coursera

Litteratur

Vasin A. A. , Morozov V. V. Spilteori og modeller for matematisk økonomi. - M. : Max-press, 2005. - 272 s. — ISBN 5-317-01388-7 .
Vasin A.A. Ikke-samarbejdsvillige spil i natur og samfund. Moskva: Max Press, 2005, 412 s. ISBN 5-317-01306-2 .
Danilov V. I. Forelæsninger om spilteori . - M.: NES, 2002. - 140 s. : syg. ISBN 5-8211-0193-X
Petrosyan L.A. , Zenkevich N.A., Semina E.A. Spilteori: Proc. godtgørelse for ukammerat. - M . : Højere. Skole, Boghuset "Universitetet", 1998. - S. 304. - ISBN 5-06-001005-8 , 5-8013-0007-4.
Pechersky, S.L., Belyaeva, A.A. Spilteori for økonomer. Introduktionskursus. (Lærebog) - Skt. Petersborg: Det Europæiske Universitets Publishing House, 2001.

Spilteori
Basale koncepter	Gensidig og fælles viden Spiller Hierarki af trosretninger Irrationel forstærkning Strategi ( dominans ) Omvendt induktion
Typer af spil	Samtidig , sekventiel og gentagne Ikke -samarbejdsvillig og samarbejdsvillig Med fuldstændig , ufuldstændig , perfekt og ufuldkommen information I normal og udvidet form Antagonistisk Differential Stokastisk Kønnenes kamp Hjortejagt
Løsningskoncepter	Risiko dominans Korreleret ligevægt Balancen af en skælvende hånd Nash ligevægt Subgame perfekt ligevægt Rationaliseringsevne Sekventiel ligevægt stærk balance Egen balance Evolutionært stabil strategi Epsilon-ligevægt Pareto effektivitet Nucleus
Eksempler på spil	Fangens dilemma Barens opgave "El Farol" Bertrand model Cournot model Stackelberg model Orlyanka Tragedien med delte ressourcer høge og duer
Epistemisk spilteori Mekanisme design Fair opdeling