Trekant gruppe

I matematik er gruppen af en trekant en gruppe , der kan repræsenteres geometrisk ved successive refleksioner om siderne af en trekant . En trekant kan være en almindelig euklidisk trekant, en trekant på en kugle eller en hyperbolsk trekant . Enhver trekantgruppe er symmetrigruppen af en parket af kongruente trekanter i todimensionelt rum , på en kugle eller på Lobachevsky-planet (se også artiklen om det hyperbolske plan ).

Definition

Lad l , m , n være heltal større end eller lig med 2. Trekantgruppen Δ( l , m , n ) er gruppen af bevægelser i det euklidiske rum, en todimensional kugle, et reelt projektivt plan eller et hyperbolsk plan genereret af refleksioner omkring siderne af en trekant med vinklerne π/ l , π/ m og π/ n (målt i radianer ). Produktet af refleksioner med hensyn til to tilstødende sider er en drejning med en vinkel lig med det dobbelte af vinklen mellem disse sider, 2π/ l , 2π/ m og 2π/ n . Hvis refleksionerne er angivet med bogstaverne a , b og c , og vinklerne mellem siderne i en cyklisk rækkefølge, som angivet ovenfor, gælder følgende relationer:

$a^{2}=b^{2}=c^{2}=1$
$(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.$

Der er en sætning om, at alle andre relationer mellem a, b, c er konsekvenser af disse relationer, og at Δ( l, m, n ) er den diskrete gruppe af bevægelser i det tilsvarende rum. Denne trekantgruppe er en reflektionsgruppe , der kan specificeres

\Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc )^{n}=(ca)^{m}=1\område .

Den abstrakte gruppe med denne opgave er en Coxeter-gruppe med tre generatorer.

Klassifikation

Givet alle naturlige tal l , m , n > 1, tillader nøjagtig en af de klassiske todimensionelle geometrier (euklidisk, sfærisk eller hyperbolsk) en trekant med vinkler (π/l, π/m, π/n), og rummet er flisebelagt af refleksioner af denne trekant. Summen af vinklerne i en trekant bestemmer typen af geometri ifølge Gauss-Bonnet-formlen : et rum er euklidisk, hvis vinklernes sum er nøjagtigt lig med π, sfærisk, hvis det overstiger π, og hyperbolsk, hvis det er strengt mindre end π . Desuden er to trekanter med givne vinkler kongruente. Hver trekantgruppe definerer en flisebelægning, som normalt er 2-farvet, således at to tilstødende fliser har forskellige farver.

Med hensyn til tallene l , m , n > 1 findes følgende muligheder.

Euklidisk plan

${\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.$

Trekantgruppen er den uendelige symmetrigruppe af en eller anden parket (eller flisebelægning) af det euklidiske plan ved trekanter, hvis vinkler summeres til π (eller 180°). Op til permutationer er triplen ( l , m , n ) en af triplerne (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). De tilsvarende grupper af trekanter er repræsentanter for gruppen af tapetmønstre .

(2,3,6)	(2,4,4)	(3,3,3)

Delt sekskantet parket	Firkantet parket "Tetrakis"	Trekantet parket
Mere detaljerede diagrammer med mærkede hjørner. Viser hvordan refleksioner fungerer.

Kugle

{\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}>1.

Trekantgruppen er den endelige symmetrigruppe af parketten på enhedssfæren af sfæriske trekanter, eller Möbius trekanter , hvis vinkler summen er et tal større end π. Op til en permutation har tripler ( l , m , n ) formen (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) eller (2,2, n ), n > 1. De sfæriske grupper af trekanter kan sammenlignes med symmetrigrupperne af regulære polyedre i tredimensionelt euklidisk rum: Δ(2,3,3) svarer til et tetraeder , Δ(2,3,4) svarer til både en terning og et oktaeder (de har samme symmetrigruppe), Δ(2,3,5) svarer til både dodekaeder og icosahedron . Grupperne Δ(2,2, n ), n > 1, af dihedral symmetri kan opfattes som symmetrigrupperne i familien af dihedra , som er dannet af to identiske regulære n - goner forbundet med hinanden, eller, dobbelt, ved et osohedron , som er dannet ved foreningen af n digoner .

En sfærisk parket , der svarer til et regulært polyeder, opnås ved barycentrisk opdeling af polyederen og projektion af de resulterende punkter og linjer på den omskrevne kugle. Der er fire flader for et tetraeder, og hver flade er en ligesidet trekant, der er opdelt i 6 mindre dele af medianer, der skærer i midten. Den resulterende flisebelægning har 4×6=24 sfæriske trekanter (dette er et sfærisk tetrakishexahedron ).

Disse grupper er endelige, hvilket svarer til kuglens kompakthed - områderne af skiver på kuglen vokser med hensyn til radius, men dækker til sidst hele kuglen.

De trekantede tesseller er angivet nedenfor:

(2,2,2)	(2,2,4)	(2,2,6)

(2,3,3)	(2,3,4)	(2,3,5)

De kugleformede parketgulve svarende til oktaeder og icosahedron, samt dihedriske kugleformede fliser med jævnt n , er centralt symmetriske . Derfor definerer hver af disse pakninger en parket af det rigtige projektive plan, en elliptisk parket . Deres symmetrigruppe er kvotientgruppen af den sfæriske gruppe af trekanter ved central symmetri ( -I ), som er centrumelementet i orden 2. Fordi det projektive plan er en model af elliptisk geometri , kaldes sådanne grupper elliptiske trekantgrupper [1 ] .

Hyperbolsk plan

{\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}<1.

Trekantgruppen er den uendelige symmetrigruppe af en parket på det hyperbolske plan af hyperbolske trekanter, hvis vinkelsum er mindre end π. Alle tripler, der ikke er nævnt ovenfor, repræsenterer parketgulve på det hyperbolske plan. For eksempel giver triplen (2,3,7) trekantgruppen (2,3,7) . Der er uendeligt mange sådanne grupper. Nedenfor er parketterne forbundet med nogle små værdier.

Poincaré-model af fundamentale domænetrekanter

Eksempler på retvinklede trekanter (2 pq)
(2 3 7)	(2 3 8)	(2 3 9)	(2 3∞)
(2 4 5)	(2 4 6)	(2 4 7)	(2 4 8)	(2 4∞)
(2 5 5)	(2 5 6)	(2 5 7)	(2 6 6)	(2∞∞)
Eksempler på generelle trekanter (pqr)
(3 3 4)	(3 3 5)	(3 3 6)	(3 3 7)	(3 3∞)
(3 4 4)	(3 6 6)	(3∞∞)	(6 6 6)	(∞∞∞)

Hyperbolske trekantgrupper er eksempler på ikke-euklidiske krystallografiske grupper og er generaliseret i Gromovs teori om hyperbolske grupper .

Von Dyck grupper

Betegn med D ( l , m , n ) undergruppen med indeks 2 i Δ(l, m, n) genereret af ord med lige længde i generatorerne. Sådanne undergrupper kaldes undertiden "almindelige" trekantgrupper [2] eller von Dyck-grupper efter Walther von Dyck . Sfæriske, euklidiske og hyperbolske trekanter svarer til elementer i en gruppe, der bevarer trekanters orientering. Projektive (elliptiske) trekanter kan ikke fortolkes på denne måde, da det projektive plan ikke har nogen orientering, og der ikke er nogen "orienteringsbevarelse" i det. Refleksioner bevarer dog lokalt orienteringen (og enhver manifold er lokalt orienterbar, da den er lokalt euklidisk). [3]

Grupper D ( l , m , n ) er defineret af følgende opgave:

D(l,m,n)=\langle x,y\midt x^{l},y^{m},(xy)^{n}\rangle .

Med hensyn til generatorer er dette x = ab, y = ca, yx = cb . Geometrisk svarer de tre elementer x , y , xy til rotationer på 2π/ l , 2π/ m og 2π/ n omkring trekantens tre hjørner.

Bemærk at D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ) så D ( l , m , n ) ikke afhænger af rækkefølgen af tallene l , m , n .

Den hyperbolske von Dyck-gruppe er en fuchsisk diskret gruppe bestående af orienteringsbevarende isometrier af det hyperbolske plan.

Overlægsparket

Trekantgrupper bevarer parketlægningen ved trekanter, nemlig det grundlæggende handlingsområde (trekanten defineret af direkte refleksioner) kaldet Möbius trekanten , og er givet ved en tredobbelt af heltal ( l , m , n ) svarende til trekanterne (2 l ) ,2 m ,2 n ) med fælles top. Der er også parketter dannet af overlappende trekanter, der svarer til Schwartz trekanter med rationelle tal ( l / a , m / b , n / c ), hvor nævnerne er relativt prime i forhold til tællerne. Dette svarer til sider under vinkel a π/ l (hv.), hvilket svarer til en drejning med 2 a π/ l (hhv.), som har orden l og derfor er identisk med et element i den abstrakte gruppe, men adskiller sig når repræsenteret som refleksioner.

For eksempel giver Schwartz trekanten (2 3 3) en parket med tæthed 1 på kuglen, mens trekanten (2 3/2 3) giver en parket med tæthed 3 på kuglen, men med den samme abstrakte gruppe . Disse overlejringsparketsymmetrier betragtes ikke som trekantgrupper.

Historie

Trekantgrupper stammer fra i det mindste Hamiltons præsentation af den icosaedriske gruppe som trekantsrotationsgruppen (2,3,5) i 1856 i hans artikel om icosians [4] .

Ansøgninger

Trekantgrupper opstår i aritmetisk geometri . Den modulære gruppe genereret af to elementer, S og T , med relationerne S² = (ST)³ = 1 , er trekantens (2,3,∞) rotationsgruppe og er afbildet til alle trekantgrupper (2,3, n ) ved at tilføje relationen T n = 1. Mere generelt er Hecke-gruppen H q , genereret af to elementer, S og T , med relationen S 2 = ( ST ) q = 1 (ingen relation separat for T ), er trekantens rotationsgruppe (2, q , ∞) og afbildes til alle trekantgrupper (2, q , n ) ved at tilføje relationen T n = 1. Modulgruppen er Hecke-gruppen H 3 . I teorien om dessins d'enfants gør Belyis funktion det muligt at opnå en flisebelægning af en Riemann-overflade svarende til en eller anden trekantgruppe.

Alle 26 sporadiske grupper er faktorgrupper af trekantgrupper [6] , hvoraf 12 er Hurwitz-grupper (gruppens faktorgruppe (2,3,7)).

Se også

Schwartz trekant
Schwarz -trekantkortlægningen er en kortlægning af trekanter til det øverste halvplan .
Geometrisk gruppeteori

Noter

↑ ( Magnus 1974 )
↑ Gross & Tucker, 2001 .
↑ ( Magnus 1974 , s. 65)
↑ Hamilton, 1856 .
↑ Platoniske fliser af Riemann-overflader: The Modular Group Arkiveret 28. oktober 2009 på Wayback Machine , Gerard Westendorp Arkiveret 10. marts 2011 på Wayback Machine
↑ ( Wilson 2001 , tabel 2, s. 7)

Litteratur

Gross, Jonathan L. & Tucker, Thomas W. (2001), 6.2.8 Trekantgrupper, Topologisk grafteori , Courier Dover Publications, s. 279-281 , ISBN 978-0-486-41741-7
Magnus, Wilhelm (1974), II. Diskontinuerlige grupper og trekanttesselationer, Noneuklidiske tesselationer og deres grupper , Academic Press , s. 52-106 , ISBN 978-0-12-465450-1
Wilson, R. A. (2001), The Monster is a Hurwitz group , Journal of Group Theory bind 4 (4): 367–374, doi : 10.1515/jgth.2001.027 , < http://web.mat.bham.ac. dk/RAWilson/pubs/MHurwitz.ps > . Hentet 24. december 2017. Arkiveret 5. marts 2012 på Wayback Machine
Sir William Rowan Hamilton. Memorandum om respekt for et nyt system af enhedsrødder // Philosophical Magazine . - 1856. - T. 12 . - S. 446 .