Løgn type gruppe

Sætningen gruppe af Lie type betyder normalt en endelig gruppe , som er tæt knyttet til gruppen af ​​rationelle punkter i en reduktiv lineær algebraisk gruppe med værdier i et endeligt felt . Udtrykket "gruppe af Lie-type" har ikke en almindeligt accepteret præcis definition [1] , men et vigtigt sæt af endelige simple grupper af Lie-type har en præcis definition, og de udgør størstedelen af ​​grupperne i klassificeringen af ​​simple finite grupper .

Navnet "grupper af Lie-type" afspejler den tætte forbindelse med (uendelige) Lie-grupper , da den kompakte Lie-gruppe kan opfattes som rationelle punkter af reducerede lineære algebraiske grupper over feltet af reelle tal .

Klassiske grupper

Den første tilgang til dette spørgsmål var definitionen og detaljeret undersøgelse af de såkaldte klassiske grupper over endelige og andre jordanfelter [ 2] . Disse grupper blev undersøgt af Leonard Dixon og Jean Dieudonné . Emil Artin undersøgte sådanne gruppers ordrer for at klassificere tilfældigheder.

Den klassiske gruppe er groft sagt en speciel lineær , ortogonal , symplektisk eller enhedsgruppe . Der er flere mindre variationer af disse grupper, som opnås ved at tage afledte undergrupper eller centrale faktorgrupper , hvilket giver projektive lineære grupper . Grupper kan bygges over endelige felter (eller andre felter) på nogenlunde samme måde, som de er bygget over reelle tal. De svarer til serierne A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n af Chevalley- og Steinberg -grupperne [3] .

Chevalley grupper

Chevalley-grupper er grundlæggende Lie-grupper over begrænsede felter. Teorien blev overvejet i detaljer i teorien om algebraiske grupper og i Chevalleys værker [4] om teorien om Lie-algebraer , hvorigennem begrebet Chevalley-grupper blev skelnet mellem . Chevalley konstruerede en Chevalley- basis (svarende til heltalsformer, men over endelige felter) for alle komplekse simple Lie-algebraer (eller rettere deres universelle omsluttende algebraer ), der kan bruges til at definere de tilsvarende algebraiske grupper over heltal. Især kunne han tage point med værdier i ethvert begrænset felt. For Lie-algebraerne A n , B n , C n og D n giver dette de velkendte klassiske grupper, men dens konstruktion giver også grupperne tilknyttet de exceptionelle Lie-algebraer E 6 , E 7 , E 8 , F 4 og G 2 . Dixon havde allerede konstrueret en af ​​G 2 -typegrupperne (nogle gange kaldet Dixon-grupper ) i 1905 [5] og en af ​​E 6 -typen i 1961 [6] .

Steinberg-grupper

Chevalley-konstruktionen giver ikke alle de kendte klassiske grupper - der er stadig enhedsgrupper og ikke-opdelte ortogonale grupper . Steinberg [7] fandt en modifikation af Chevalley-konstruktionen, der giver disse grupper og to nye familier 3 D 4 og 2 E 6 . Den anden af ​​disse familier blev opdaget næsten på samme tid, fra et helt andet synspunkt, af bryster [8] . Denne konstruktion generaliserer den sædvanlige konstruktion af en enhedsgruppe fra en generel lineær gruppe.

En enhedsgruppe opstår som følger: en generel lineær gruppe over komplekse tal har et diagramautomorfi , som er givet ved at invertere Dynkin-diagrammet A n (som svarer til at opnå den omvendt transponerede matrix), og en feltautomorfi , som er givet ved kompleks konjugation . Enhedsgruppen er fastpunktsgruppen af ​​produktet af disse to automorfismer.

På samme måde har mange Chevalley-grupper automorfi-diagrammer genereret af automorfismer af deres Dynkin-diagrammer og feltautomorfismer genereret af automorfismer af et begrænset felt. I analogi med tilfældet med enhedsgrupper konstruerede Steinberg en familie af grupper ved at tage de faste punkter i produktet af en diagramautomorfi og en feltautomorfi.

Dette giver:

Grupper af type 3 D 4 har ingen analoger over reelle tal, da komplekse tal ikke har en automorfi af orden 3. Symmetrierne i diagrammet D 4 genererer Trinity .

Suzuki-Rie grupper

Michio Suzuki [9] fandt nye uendelige rækker af grupper, som ved første øjekast ikke er relateret til kendte algebraiske grupper. Rimhak Rhee [10] [11] vidste, at den algebraiske gruppe B 2 har en "komplementær" automorfi af karakteristik 2, hvis kvadrat har en Frobenius-endomorfisme . Han fandt ud af, at hvis et begrænset felt med karakteristik 2 også har en automorfi, hvis kvadrat har et Frobenius-kort, så giver en analog af Steinbergs konstruktion Suzuki-grupper. Felter med en sådan automorfi er felter af orden 2 2 n + 1 , og de tilsvarende grupper er Suzuki-grupper

2B2 ( 22n + 1 ) = Suz( 22n + 1 ) .

(Strengt taget betragtes gruppen Suz(2) ikke som en Suzuki-gruppe, da det ikke er simpelt - det er en Frobenius-gruppe af størrelsesorden 20.). Ree var i stand til at finde to nye familier

2 F 4 (2 2 n +1 )

og

2 G 2 (3 2 n +1 )

simple grupper, ved at bruge det faktum, at F 4 og G 2 har yderligere automorfismer med karakteristika 2 og 3. (Groft sagt, med karakteristika p , kan man ignorere pilene på kanterne af multiplicitet p i Dynkin-diagrammer.) Mindre grupper 2 F 4 (2) af type 2 F 4 er ikke simple, men har simple undergrupper med indeks 2, kaldet Tits-grupper (opkaldt efter matematikeren Jacques Tits ). Den mindste gruppe 2 G 2 (3) af type 2 G 2 er ikke enkel, men den har en simpel normal undergruppe af indeks 3 isomorf til A 1 (8).

I klassificeringen af ​​simple endelige grupper grupperer Ree

2 G 2 (3 2 n +1 )

er grupper, hvis struktur er svær at forklare eksplicit. Disse grupper spillede en stor rolle i opdagelsen af ​​den første moderne sporadiske gruppe. Grupper har involutionscentralisatorer af formen Z /2 Z × PSL(2, q ) for q = 3 n , og da han studerede grupper med en involutionscentralisator af formen Z /2 Z × PSL(2, 5), fandt Janko en sporadisk gruppe J 1 .

Suzuki-grupper er kun endelige ikke-abelske simple grupper med rækkefølge, der ikke er delelig med 3. De har orden 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) −1 ).

Forbindelse med endelige simple grupper

Finite grupper af Lie type var blandt de første grupper, som matematikere betragtede, efter cykliske , symmetriske og vekslende grupper. Projektive specielle lineære grupper over simple finite felter PSL(2, p ) blev bygget af Évariste Galois i 1830'erne. Den systematiske undersøgelse af endelige grupper af Lie-typen begyndte med Camille Jordans sætning om, at den projektive specielle lineære gruppe PSL(2, q ) er primær for . Denne sætning er generaliseret til projektive grupper af højere dimensioner og giver en vigtig uendelig familie PSL( n , q ) af endelige simple grupper . Andre klassiske grupper blev studeret af Leonard Dixon i begyndelsen af ​​det 20. århundrede. I 1950'erne indså Claude Chevalley , at efter en passende omformulering indrømmer mange sætninger om semisimple Lie-grupper en analog for algebraiske grupper over et vilkårligt felt k , hvilket førte til konstruktionen af ​​de grupper, der nu er kendt som Chevalley-grupper . Ydermere, som i tilfældet med kompakte simple Lie-grupper, viser de tilsvarende grupper sig at være næsten simple som abstrakte grupper ( Titss enkelhedssætning ). Selvom det allerede i det 19. århundrede var kendt, at der eksisterer andre endelige simple grupper (f.eks. Mathieu-grupper ), udviklede man sig gradvist overbevisningen om, at næsten alle endelige simple grupper kunne opregnes, med en passende forlængelse af Chevalley-konstruktionen, sammen med cykliske og alternerende grupper. Desuden har undtagelser, sporadiske grupper , mange egenskaber til fælles med endelige grupper af Lie-typen og kan især konstrueres og beskrives på basis af deres geometri i betydningen bryster.

Denne tillid blev til en teorem - klassificeringen af ​​simple finite grupper . En undersøgelse af listen over endelige simple grupper viser, at grupper af Lie-type over et endeligt felt omfatter alle endelige simple grupper bortset fra cykliske grupper, alternerende grupper, brystgruppen og de 26 sporadiske simple grupper .

Små grupper af Lie type

Generelt er en endelig gruppe forbundet med en endomorfi af en simpelt forbundet simpel algebraisk gruppe en universel central forlængelse af den simple gruppe, således at den er en perfekt gruppe (dvs. den samme som dens kommutant ) og har en trivial Schur multiplikator . Nogle af de mindre grupper i familierne ovenfor er dog enten ikke perfekte eller har en Schur-multiplikator større end "forventet".

Tilfælde, hvor gruppen ikke er perfekt

Tilfælde, hvor gruppen er perfekt, men Schur-multiplikatoren er større end forventet (under sætningen " Schur-multiplikatoren har en ekstra faktorgruppe ..., så Schur-multiplikatoren for en simpel gruppe har størrelsesordenen ... og ikke . .. " er forkortet til " Schur-multiplikatoren har ..., rækkefølgen af ​​... og ikke ... " ):

Der er en række forvirrende "tilfældige" isomorfier mellem forskellige små grupper af Lie-typen (og skiftende grupper). For eksempel er grupperne SL(2, 4), PSL(2, 5) og den alternerende gruppe med 5 elementer isomorfe.

For en komplet liste over disse undtagelser, se Liste over Finite Simple Groups . Mange af disse særlige egenskaber er forbundet med visse simple sporadiske grupper.

Skiftende grupper opfører sig nogle gange, som om de var Lie-type grupper over et felt med ét element . Nogle af de små vekslende grupper har også ekstraordinære egenskaber. Alternerende grupper har normalt en ydre automorfigruppe af orden 2, men en alternerende gruppe på 6 elementer har en ydre automorfigruppe af orden 4 . Skiftende grupper har normalt en Schur-multiplikator af orden 2, men grupper på 6 eller 7 elementer har en Schur-multiplikator af orden 6 .

Notationsproblemer

Desværre er der ingen etableret notation for endelige grupper af Lie-typen, og litteraturen indeholder snesevis af inkompatible og forvirrende notationssystemer for disse grupper.

Se også

Noter

  1. ↑ mathoverflow diskussion . Hentet 23. august 2017. Arkiveret fra originalen 9. marts 2017.
  2. ↑ Jordan, 1870 .
  3. ↑ I russisksproget litteratur er læsning af Steinberg mere almindelig, men der er ingen konsensus om læsningen af ​​dette efternavn, i en artikel kan du finde læsninger af både Steinberg og Steinberg på samme tid.
  4. ↑ Chevalley, 1955 .
  5. ↑ Dickson, 1905 .
  6. ↑ Dickson, 1901 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Tits, 1958 .
  9. ↑ Suzuki, 1960 .
  10. ↑ Ree, 1960 .
  11. ↑ Ree, 1961 .
  12. ↑ 1 2 ATLAS , s. xi Arkiveret 21. september 2013 på Wayback Machine

Litteratur