Universal omsluttende algebra

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. marts 2020; verifikation kræver 1 redigering .

En universel omsluttende algebra er en associativ algebra , der kan konstrueres til enhver Lie-algebra , der anvender mange vigtige egenskaber fra den oprindelige algebra, hvilket giver dig mulighed for at anvende bredere værktøjer til at studere den originale algebra.

Bygning

En associativ algebra over et felt har den naturlige struktur som en Lie-algebra over med følgende Lie-parentes : , det vil sige, at man ud fra et associativt produkt kan konstruere en Lie-parentes ved blot at tage kommutatoren . Vi betegner denne Lie-algebra med . $EN$ $K$ $K$ $[a,b] = ab - ba$ $A_L$

Konstruktionen af en universel omsluttende algebra forsøger at vende denne proces: for en given Lie-algebra over , finder man den "mest generelle" associative- algebra sådan, at Lie - algebraen indeholder . En vigtig begrænsning er bevarelsen af repræsentationsteori: repræsentationer er relateret nøjagtigt på samme måde som moduler over . I en typisk kontekst, hvor de er givet ved infinitesimale transformationer , fungerer elementerne som differentielle operatorer af alle ordener. $\mathfrak{g}$ $K$ $K$ $U(\mathfrak{g})$ $U_L$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Motivation

Et vigtigt emne i studiet af algebraer, og sandsynligvis den vigtigste måde, de optræder i applikationer, er repræsentationen af Lie-algebraen . Repræsentationen tildeler hvert element x i Lie-algebraen en lineær operator . Dette rum af lineære operatorer er ikke kun en Lie-algebra, men også en associativ algebra, så det er muligt at overveje produkter . Essensen af introduktionen af den universelle omsluttende algebra er studiet af sådanne produkter i forskellige repræsentationer af Lie-algebraen. En hindring i et naivt forsøg på at gøre dette er umiddelbart tydelig: produkternes egenskaber afhænger grundlæggende af den valgte repræsentation og ikke kun af Lie-algebraen selv. For én repræsentation kan du f.eks. få , mens i en anden repræsentation kan dette produkt være ikke-nul. Visse egenskaber er dog universelle for alle synspunkter, det vil sige, at de gælder for alle synspunkter på samme tid. Universal indpakning algebra er en måde at dække alle sådanne egenskaber og kun dem. $\rho$ $\rho(x)$ $\rho(x)\rho(y)$ $\rho(x)\rho(y)=0$

Generisk egenskab

Lad være en vilkårlig Lie algebra over feltet . Givet en associativ algebra med identitet og en homomorfi af Lie-algebraer $\mathfrak{g}$ $K$ $U$

h\colon \mathfrak{g} \to U_L,

vi vil sige, at det er en universel omsluttende algebra af en Lie-algebra , hvis den opfylder følgende universelle egenskab : for enhver associativ algebra med identitet og en homomorfi af Lie-algebraer $U$ $\mathfrak{g}$ $EN$

f\colon \mathfrak{g} \to A_L

der er en unik homomorfi af associative algebraer med identitet

g\kolon U\til A

sådan at

f = gh.

Denne universelle egenskab kan også forstås som følger: funktionsmappen til dens universelle omsluttende algebra efterlades konjugeret med funktiontoren, der afbilder den associative algebra til den tilsvarende Lie-algebra . $\mathfrak{g}$ $EN$ $A_L$

Direkte konstruktion

Ud fra denne universelle egenskab kan vi udlede, at hvis en Lie-algebra har en universel omsluttende algebra, så er denne omsluttende algebra unikt bestemt af algebraen op til isomorfi. Ved hjælp af følgende konstruktion, som antyder sig selv ud fra generelle betragtninger (f.eks. som en del af et par adjoint funktorer ), fastslås det, at faktisk enhver Lie-algebra nødvendigvis har en universel omsluttende algebra. $\mathfrak{g}$

Startende med tensoralgebra på vektorrummet af algebra opnår vi faktorisering ved relationer $T(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $T(\mathfrak{g})$

a \otime b - b \otimes a = [a,b]

for enhver og i , hvor parenteserne på højre side af udtrykket betegner kommutatoren i . $-en$ $b$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Formelt betyder det det

U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

hvor er et tosidet ideal for algebraen genereret af elementer i formen $jeg$ $T(\mathfrak{g})$

a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.

Den naturlige kortlægning definerer kortlægningen , og det er denne homomorfi af Lie-algebraer, der bruges i ovenstående universelle egenskab. $\mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \til U_L$

Den beskrevne konstruktion overfører næsten ordret til tilfældet med Lie superalgebraer .

Eksempler

Hvis den er abelsk (det vil sige, at kommutatoren altid er 0), så er den kommutativ; hvis der vælges en vektorrumsbasis , kan den betragtes som en polynomial algebra over med en variabel for hvert basiselement. $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $K$

Hvis er Lie-algebraen for Lie -gruppen , så kan den betragtes som en algebra af venstre-invariante differentialoperatorer (af alle rækkefølger) på , indeholdende som førsteordens differentialoperatorer (der er i gensidig overensstemmelse med venstre-invariante vektorfelter på ). $\mathfrak{g}$ $G$ $U(\mathfrak{g})$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Algebraens centrum er betegnet med og består af differentialoperatorer, der er invariante både under gruppens venstre handling og under den højre; i tilfælde af ikke-kommutativitet genereres centret ofte ikke af førsteordensoperatorer (f.eks. Casimir-operatoren for en semisimple Lie-algebra). $U(\mathfrak{g})$ $Z(\mathfrak{g})$ $G$

Det kan også karakteriseres som en algebra af generaliserede funktioner understøttet på identitetselementet i en gruppe med foldningsoperationen . $U(\mathfrak{g})$ $e$ $G$

Weyl-algebraen af differentialoperatorer ivariable med polynomielle koefficienter kan fås fra Lie-algebraen i Heisenberg-gruppen . For at gøre dette er det nødvendigt at faktorisere det, så de centrale elementer i den givne Lie-algebra fungerer som skalarer. $n$

Yderligere beskrivelse af strukturen

Poincaré - Birkhoff - Witts grundlæggende sætning giver en nøjagtig beskrivelse ; den vigtigste konsekvens af det er, at det kan betragtes som et lineært underrum af . Mere præcist: den kanoniske kortlægning er altid injektiv . Desuden er det genereret som en associativ algebra med identitet. $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$

$\mathfrak{g}$ virker på sig selv ved en adjoint repræsentation af Lie-algebraen , og denne handling kan udvides til en repræsentation i endomorfismer : fungerer som en algebra af afledte på , og denne handling bevarer de påtvungne relationer, så den faktisk virker på . (Dette er en rent infinitesimal måde at se på ovenstående invariante differentialoperatorer.) $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $T(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$

Med denne repræsentation kaldes elementer , der er invariante under handlingen (det vil sige, at ethvert elements handling på dem er triviel) invariante elementer . De er genereret af Casimir-invarianterne . $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Som nævnt ovenfor er konstruktionen af universelle omsluttende algebraer en del af et par adjoint funktorer. er en funktor fra kategorien Lie algebraer over til kategorien associative -algebraer med identitet. Denne funktor efterlades i tilknytning til funktoren, der kortlægger algebra til algebra . Det skal bemærkes, at konstruktionen af den universelle omsluttende algebra ikke ligefrem er det omvendte af dannelsen af : hvis vi tager udgangspunkt i den associative algebra , så er den ikke lig med ; den er meget større. $U$ $K$ $K$ $EN$ $A_L$ $A_L$ $EN$ $U(A_L)$ $EN$

Informationen om repræsentationsteori nævnt tidligere kan raffineres som følger: Den abelske kategori af alle repræsentationer er isomorf til den abelske kategori af alle venstre moduler . $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Konstruktionen af en gruppealgebra for en given gruppe er på mange måder analog med konstruktionen af en universel omsluttende algebra for en given Lie-algebra. Begge konstruktioner er universelle og overfører teorien om repræsentationer til teorien om moduler. Desuden har både gruppealgebraer og universelle omsluttende algebraer en naturlig comultiplication- struktur , der gør dem til Hopf-algebraer .

Litteratur

Dixmier, Jacques. Omsluttende algebraer. Revideret genoptryk af 1977-oversættelsen. . - Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. - V. 11. - 379 s. — (Kandidatstudier i Matematik). — ISBN 0-8218-0560-6 .
Serre J.-P. Lie algebraer og Lie grupper. - Moskva: Mir, 1969. - 376 s. - ISBN 978-5-458-50774-5 .
Zhelobenko D. P. Compact Lie grupper og deres repræsentationer. - 2. udg., tilføje. - Moskva: MTSNMO, 2007. - 552 s. — ISBN 978-5-94057-302-9 .