Kvaternion gruppe

I gruppeteori er en quaternion-gruppe en ikke- abelsk gruppe af ottende orden , isomorf til et sæt på otte quaternions med multiplikationsoperationen. Det er ofte betegnet med bogstavet Q eller Q 8 , og er bestemt af gruppens opgave

hvor 1 er identitetselementet, og elementet −1 pendler med de andre elementer i gruppen.

Jarlen af ​​Cayley

Q 8 - gruppen har samme rækkefølge som den dihedrale gruppe D 4 , men har en anden struktur, som det kan ses i Cayley-graferne og cyklusdiagrammerne:

jarl af Cayley cyklus graf

Q 8
Røde pile angiver højre multiplikation med i , og grønne pile angiver højre multiplikation med j .
D 4
Dihedral gruppe
Q8 _
Dih 4

Den dihedrale gruppe D 4 opnås fra splittede kvaternioner på samme måde som Q 8 fra kvaternioner.

Cayleys bord

Cayley- tabel (multiplikationstabel) for Q [1] :

Q×Q en −1 jeg − i j − j k − k
en en −1 jeg − i j − j k − k
−1 −1 en − i jeg − j j − k k
jeg jeg − i −1 en k − k − j j
− i − i jeg en −1 − k k j − j
j j − j − k k −1 en jeg − i
− j − j j k − k en −1 − i jeg
k k − k j − j − i jeg −1 en
− k − k k − j j jeg − i en −1

Multiplikationen af ​​seks imaginære enheder {± i , ± j , ± k } fungerer som et vektorprodukt af enhedsvektorer i det tredimensionelle euklidiske rum .

Egenskaber

Kvaterniongruppen har den usædvanlige egenskab at være Hamiltonian - enhver undergruppe af gruppen Q er en normal undergruppe , og gruppen i sig selv er ikke abelsk. [2] Enhver Hamiltonsk gruppe indeholder en kopi af Q . [3]

Man kan konstruere et firedimensionelt vektorrum med basis {1, i , j , k } og gøre det til en associativ algebra ved at bruge basisvektormultiplikationstabellen ovenfor og fortsætte driften af ​​multiplikation ved distributivitet . Den resulterende algebra vil være kroppen af ​​quaternioner . Bemærk, at dette ikke er det samme som gruppen algebra Q (som har dimension 8). Omvendt kan man starte med kvaternioner og definere en kvaterniongruppe som en multiplikativ undergruppe bestående af otte elementer {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }. Et komplekst firedimensionelt vektorrum med samme basis kaldes en biquaternion- algebra .

Bemærk, at i , j og k har orden 4 i Q og to af dem genererer hele gruppen. En anden Q - gruppeopgave [4] , der viser dette:

Du kan for eksempel tage i = x , j = y og k = xy .

Centeret og kommutatoren af ​​gruppen Q er undergruppen {±1}. Faktorgruppen Q /{±1} er isomorf til Klein-fire-gruppen V . Gruppen af ​​indre automorfier i gruppen Q er isomorf i forhold til kvotientgruppen Q med hensyn til centrum og er derfor også isomorf for Klein-firegruppegruppen. Den fulde automorfigruppe i gruppen Q er isomorf til S 4 , den symmetriske gruppe på fire bogstaver. Den ydre automorfigruppe af Q er S 4 / V , som er isomorf til S 3 .

Matrixrepræsentation

Kvaterniongruppen kan repræsenteres som en undergruppe af den fulde lineære gruppe GL 2 ( C ). Ydeevne

er defineret af matricer [5]

Da alle ovenstående matricer har enhedsdeterminanter, definerer de en repræsentation af gruppen Q i den specielle lineære gruppe SL 2 ( C ).

Der er også en vigtig handling af gruppen Q på otte ikke-nul elementer i et todimensionelt vektorrum over et endeligt felt F 3 . Ydeevne

bestemt af matricer

hvor {−1,0,1} er tre elementer i feltet F 3 . Da determinanten af ​​alle matricer over feltet F 3 er lig med én, er dette en repræsentation af gruppen Q i den specielle lineære gruppe SL(2, 3). Desuden har gruppen SL(2, 3) orden 24, og Q er en normal undergruppe af gruppen SL(2, 3) fra indeks 3.

Galois gruppe

Som Richard Dean viste i 1981, kan kvaterniongruppen angives som Galois-gruppen Gal( T / Q ), hvor Q er det rationelle talfelt og T er nedbrydningsfeltet for polynomiet

over Q. _

Beviset bruger Galois-teoriens grundlæggende sætning , samt to sætninger om cykliske forlængelser af grad 4. [6]

Generaliseret quaternion gruppe

En gruppe kaldes en generaliseret quaternion-gruppe (eller dicyklisk gruppe ), hvis den har en opgave [4]

for et eller andet heltal n ≥ 2. Denne gruppe betegnes Q 4 n og har orden 4 n . [7] Coxeter omtalte disse dicykliske grupper som <2,2,n>, idet han betragtede dem som et specialtilfælde af den binære polyedriske gruppe <l,m,n> forbundet med de polyedriske grupper (p, q,r) og dihedral gruppe (2,2,n). Den almindelige kvaterniongruppe svarer til tilfældet n = 2. Den generaliserede kvaterniongruppe er isomorf til undergruppen af ​​GL 2 ( C ) genereret af grundstofferne

og

hvor ω n = e iπ/ n [4] . Den er også isomorf for gruppen genereret [8] af kvaternionerne x = e iπ/ n og y = j.

Brouwer-Suzuki-sætningen siger, at grupper, for hvilke Sylow 2-undergrupper er generaliserede kvaternioner, ikke kan være enkle.

Se også

Noter

  1. ↑ Se også en tabel Arkiveret 28. april 2018 på Wayback Machine på Wolfram Alphas hjemmeside
  2. ↑ Se Hall (1999), s. 190 Arkiveret 6. august 2021 på Wayback Machine
  3. ↑ Kurosh A.G. Gruppeteori. - M . : Nauka, 1967. - S. 57.
  4. ↑ 1 2 3 Johnson, 1980 , s. 44-45.
  5. ↑ Artin, 1991 .
  6. ↑ Dean, Richard (1981). "Et rationelt polynomium, hvis gruppe er Quaternions". The American Mathematical Monthly 88(1): 42–45. .
  7. ↑ Nogle forfattere (f.eks. Rotman, 1995 , s. 87, 351) kalder denne gruppe for en dicyklisk gruppe , og efterlader navnet generaliseret kvaterniongruppe for det tilfælde, hvor n er en potens af to.
  8. ↑ Brown, 1982 , s. 98.

Litteratur

Eksterne links