Gamma-fordeling

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. september 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Gamma-fordeling
Sandsynlighedstæthed
distributionsfunktion
Betegnelse	$\Gamma (k,\theta)$ eller [1] $\Gamma (\alpha ,\beta )$
Muligheder	$k>0,\;\theta >0$
Transportør	$x\in (0,\infty )$
Sandsynlighedstæthed	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k))}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta ))))$
distributionsfunktion	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Forventet værdi	$k\theta$
Median	Intet eksplicit lukkeudtryk
Mode	$(k-1)\theta$ på $k\geq 1$
Spredning	$k\theta ^{2}$
Asymmetrikoefficient	${\frac {2}{{\sqrt {k))))$
Kurtosis koefficient	${\frac {6}{k))$
Differentiel entropi	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned))$
Genererende funktion af momenter	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k))$ på $t<{\frac {1}{\theta ))$
karakteristisk funktion	$(1-\theta it)^{-k}$

Gammafordelingen i sandsynlighedsteori er en to-parameter familie af absolut kontinuerte fordelinger . Hvis parameteren tager en heltalsværdi , kaldes en sådan gammafordeling også Erlang - fordelingen . $k$

Definition

Lad fordelingen af en stokastisk variabel være givet ved sandsynlighedstætheden , som har formen $x$

f_{X}(x)=\venstre\{{\begin{matrix}x^{{k-1}}{\frac {e^{{-x/\theta }}}{\theta ^{k} \,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,

hvor er Euler gamma-funktionen .

\gamma (k)

Så siges den stokastiske variabel at have en gammafordeling med positive parametre og . De skriver . $x$ $\theta$ $k$ $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$

Kommentar. Nogle gange bruges en anden parameterisering af familien af gammafordelinger. Eller indtast den tredje parameter — shift.

Øjeblikke

Den matematiske forventning og varians af en tilfældig variabel , som har en gammafordeling, har formen $x$

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=k{\theta ))

\mathbb {D} [X]=k{\theta ^{2))

Egenskaber for gammafordelingen

Hvis er uafhængige tilfældige variabler sådan, at , så $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \ ret)

Hvis , og er en vilkårlig konstant, så $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$ $a>0$

aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )

Gammafordelingen er uendelig delelig .

Forholdet til andre distributioner

Gammafordelingen er en type III Pearson-fordeling [2] .
Den eksponentielle fordeling er et specialtilfælde af gammafordelingen:

\Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )

Hvis er uafhængige eksponentielle tilfældige variabler sådan, at , Så $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\;i=1,\ldots ,k$

Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )

Chi-kvadratfordelingen er et specialtilfælde af gammafordelingen:

\Gamma \left({\frac {n}{2)),2\right)\equiv \chi ^{2}(n)

Ifølge den centrale grænsesætning kan gammafordelingen generelt tilnærmes ved normalfordelingen : $k$

\Gamma (k,\theta )\ca. \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})

kl .

k\to\infty

Hvis er uafhængige tilfældige variabler sådan, at , så $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim {\mathrm {\mathrm{B} }}(k_{1},k_{2})

Rayleigh-fordelingen reduceres til gammafordelingen ved en ændring af variabel.
Den sædvanlige Weibull-fordeling reduceres til gammafordelingen ved en ændring af variabel.
Nakagami-fordelingen , ved ændring af variabel, reduceres til gamma-fordelingen.
En naturlig generalisering af gammafordelingen er den trunkerede gammafordeling.

Simulering af gammaværdier

I betragtning af egenskaben ved skalering med parameteren θ nævnt ovenfor, er det nok at simulere gammaværdien for θ = 1. Overgangen til andre værdier af parameteren udføres ved simpel multiplikation.

Ved at bruge det faktum, at fordelingen falder sammen med den eksponentielle fordeling, får vi, at hvis U er en stokastisk variabel ensartet fordelt over intervallet (0, 1), så . $\gamma(1,1)$ ${-\ln U}\sim \Gamma(1,1)$

Nu ved at bruge k -sum egenskaben generaliserer vi dette resultat:

\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),

hvor U i er uafhængige stokastiske variable ensartet fordelt på intervallet (0, 1].

Det er tilbage at simulere gammaværdien for 0 < k < 1 og igen anvende k -summationsegenskaben. Dette er den sværeste del.

Nedenfor er algoritmen uden bevis. Det er et eksempel på variansprøvetagning .

Indstil m lig med 1.
Generer og er uafhængige stokastiske variable ensartet fordelt over intervallet (0, 1]. $V_{{2m-1}}$ $V_{{2m}}$
Hvis , hvor , gå til trin 4, ellers gå til trin 5. $V_{{2m-1}}\leq v_{0}$ $v_{0}={\frac e{e+\delta ))$
Sæt . Gå til trin 6. $\xi _{m}=\venstre({\frac {V_{{2m-1}}}{v_{0}}}\right)^{{{\frac 1\delta }}},\ \eta _ {m}=V_{{2m}}\xi _{m}^{{\delta -1}}$
Sæt . $\xi _{m}=1-\ln {{\frac {V_{{2m-1}}-v_{0}}{1-v_{0}}}},\ \eta _{m}=V_ {{2m}}e^{{-\xi _{m}}}$
Hvis , så øg m med én og vend tilbage til trin 2. $\eta _{m}>\xi _{m}^{{\delta -1}}e^{{-\xi _{m}}}$
Accepter til implementering . $\xi =\xi _{m}$ $\Gamma (\delta ,1)$

At opsummere:

\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),

hvor [ k ] er den heltallige del af k , og ξ er genereret af algoritmen ovenfor for δ = { k } (brøkdel af k ); U i og V l er fordelt som ovenfor og er parvis uafhængige.

Noter

↑ Rodionov, 2015 , s. 29.
↑ Korolyuk, 1985 , s. 134.

Litteratur

Lagutin M.B. Visuel matematisk statistik. - M. : Binom, 2009. - 472 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. Grundlæggende om sandsynlighedsteorien. - M. : MIPT, 2015. - 82 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Introduktion til matematisk statistik. - M. : MIPT, 2017. - 109 s.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Håndbog i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula