Laplace vektor operatør

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. oktober 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Vektoren Laplace-operatoren (eller vektoren Laplace- operatoren ) er en andenordens vektordifferentialoperator defineret over et vektorfelt og angivet med symbolet [1] , svarende til den skalære Laplace-operator . Vektor Laplace-operatoren virker på et vektorfelt og har en vektorværdi, mens den skalære Laplace-operator virker på et skalarfelt og har en skalarværdi. Når det beregnes i kartesiske koordinater, er det resulterende vektorfelt ækvivalent med vektorfeltet for den skalar Laplacian, der virker på de individuelle komponenter i den oprindelige vektor. $\Delta$

Da vektoren og skalar Laplacians er angivet med det samme symbol, det græske store bogstav delta , men er forskellige matematiske enheder, er vektoren Laplacian i denne artikel angivet med sort og skalar Laplacian med blåt.

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\color {blå}\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\color {blå}\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{ \color {blå}\Delta }A_{z}\mathbf {k}$ [2]

$\Delta \mathbf {A} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)) {\partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Definition

Vektor Laplace-operatoren for et vektorfelt er defineret som følger: $\mathbf {A}$

Gennem nabla-operatøren :

\Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )

[3] .

Gennem gradient , divergens og krølle :

\Delta \mathbf {A} =\mathrm {grad} (\mathrm {div} \mathbf {A} )-\mathrm {rot} (\mathrm {rot} \mathbf {A} )

I kartesiske koordinater kan vektoren Laplacian af et vektorfelt repræsenteres som en vektor, hvis komponenter er skalar Laplacians af vektorfeltkomponenterne : $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

\Delta \mathbf {A} =\venstre\({\color {blå}\Delta }A_{x},{\color {blå}\Delta }A_{y},{\color {blå}\ Delta }A_{z}\right\}

[1] ,

hvor , , er komponenterne i vektorfeltet . $A_{x}$ $A_{y}$ $A_{z}$ $\mathbf {A}$

Udtryk for vektoren Laplace-operatoren i andre koordinatsystemer kan findes i artiklen " Nabla-operatoren i forskellige koordinatsystemer ".

Generalisering

Laplacian for ethvert tensorfelt (skalarer og vektorer er specielle tilfælde af tensorer) er defineret som divergensen af tensorgradienten : $\mathbf {T}$

\Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )

Hvis er en skalar (nulordens tensor), tager Laplace-operatoren sin sædvanlige form. $\mathbf {T}$

Hvis er en vektor (en førsteordens tensor), så er dens gradient den kovariante afledte af , som er en andenordens tensor, og dens divergens er igen en vektor. Formlen for vektoren Laplacian kan repræsenteres som divergensen af udtrykket for vektorgradienten: $\mathbf {T}$

\nabla \mathbf {T} =\venstre\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx} &T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}

hvor (generel visning af tensorkomponenterne), og kan tage værdier fra sættet . $T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v)){\partial u))$ $u$ $v$ ${\displaystyle \{x,y,z\))$

På samme måde kan skalarproduktet af en vektor og gradienten af en anden vektor (en andenordens tensor), hvis værdi er en vektor, opfattes som et produkt af matricer:

\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} = {\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{ bmatrix}}

Dette udtryk afhænger af koordinatsystemet.

Brug i fysik

Et eksempel på brug af Laplace-vektoroperatoren er Navier-Stokes-ligningerne for en viskøs inkompressibel væske [4] :

\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \ mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)

hvor udtrykket med Laplace-vektoroperatoren for hastighedsfeltet er væskens viskositet . $\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$

Plane elektromagnetiske bølgeligninger:

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [5]

$\Delta \mathbf {H} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2))$

Litteratur

Khmelnik S.I. Navier-Stokes ligninger, eksistens og metode til at finde en global løsning. - Israel: MiC, 2010. - 106 s. - ISBN 978-0-557-48083-8 .
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". Forlaget MPI 1984.
I.V. Savelyev "Course of General Physics" bind II

Noter

↑ 1 2 Khmilnik, 2010 , Bilag 1.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher School". MPI Publishing House 1984. Artikel "Laplace-operatør" og "Vektorfeltrotor".
↑ Weisstein, Eric W. Vector Laplacian på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Khmilnik, 2010 , kapitel 2.
↑ I.V. Savelyev "Course of General Physics" Bind II afsnit "Wave Equation" s. 398

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner