Shapley vektor

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. februar 2017; checks kræver 6 redigeringer .

Shapley-vektoren er princippet om optimal fordeling af gevinsten mellem spillere i problemer med teorien om samarbejdsspil . Det er en fordeling , hvor udbetalingen af hver spiller er lig med hans gennemsnitlige bidrag til den samlede koalitions velfærd under en bestemt mekanisme for dens dannelse. Opkaldt efter den amerikanske økonom og matematiker Lloyd Shapley .

Formel definition

For et samarbejdsspil skal du overveje en rækkefølge af sættet af spillere . Angiv med den delmængde, der indeholder de første spillere i den givne rækkefølge. Bidraget fra den th spiller er værdien , hvor er den karakteristiske funktion af samarbejdsspillet. $N$ $K_{i}$ $jeg$ $jeg$ $v(K_{i})-v(K_{i-1})$ $v$

Shapley-vektoren i et kooperativt spil er en sådan udbetalingsfordeling, hvor hver spiller modtager den matematiske forventning om sit bidrag til de tilsvarende koalitioner , med en ligeså sandsynlig forekomst af ordrer: $K_{i}$

\Phi (v)={\frac {1}{n!)}}\sum _{\tau \in T}x_{\tau },

hvor er antallet af spillere, er rækkefølgen af spillersættet , er udbetalingsfordelingen, hvor spilleren, der står stille i bestillingen, modtager sit bidrag til koalitionen ( Weber point ). $n$ $T$ ${\displaystyle N,\ x_{\tau ))$ $jeg$ $\tau$ $K_{i}$

En mere almindelig formel til beregning af Shapley-vektoren, som ikke kræver at finde Weber-punkter, er: $n!$

\Phi (v)_{i}=\sum _{i\in K}{\frac {(k-1)!(nk)!}{n!)}}\venstre(v(K) - v(K\setminus i)\right),

hvor er antallet af spillere, er antallet af koalitionsmedlemmer . $n$ $k$ $K$

Shapley vektoraksiomatik

Shapley-vektoren opfylder følgende egenskaber :

1. Linearitet. Kortlægningen er en lineær operator , det vil sige for alle to spil med karakteristiske funktioner og $\Phi (v)$ $v$ $w$

\Phi (v+w)=\Phi (v)+\Phi (w);

og til ethvert spil med en karakteristisk funktion og til evt $v$ $\alfa$

\Phi (\alpha v)=\alpha \Phi (v).

2. Symmetri. De gevinster, som spilleren modtager, afhænger ikke af hans nummer. Dette betyder, at hvis et spil opnås fra et spil ved at permutere spillerne, så er dets Shapley -vektor en vektor med elementer, der er permuteret i overensstemmelse hermed. $w$ $v$ $\Phi (w)$ $\Phi (v)$

3. Brystens aksiom. Et blokhoved i teorien om kooperative spil er en ubrugelig spiller, der ikke bidrager til nogen koalition, det vil sige en spiller sådan, at for enhver koalition , der indeholder , er det sandt: . $jeg$ $K$ $jeg$ $v(K)-v(K\setminus i)=0$

Dummy -aksiomet er, at hvis spilleren er en dummy, så . $jeg$ $\Phi (v)_{i}=0$

4. Effektivitet. Shapley-vektoren gør det muligt fuldstændigt at fordele den tilgængelige rigdom til den samlede koalition, det vil sige, at summen af vektorkomponenterne er lig med . $\Phi (v)$ $v(N)$

Shapleys sætning. For ethvert samarbejdsspil er der en unik udbetalingsfordeling, der opfylder aksiomer 1-4, givet af ovenstående formel. $v$

Litteratur

Vasin A. A., Morozov V. V. Teori om spil og modeller for matematisk økonomi - M.: MGU, 2005, 272 s.
Vorobyov N. N. Game Theory for Cybernetics Economists - M .: Nauka, 1985
Mazalov V.V. Matematisk spilteori og anvendelser - Lan Publishing House, 2010, 446 s.
Petrosyan L. A., Zenkevich N. A., Shevkoplyas E. V. Spilteori - Skt. Petersborg: BHV-Petersburg, 2012, 432 s.
Pechersky S. L., Yanovskaya E. B. Samarbejdsspil: løsninger og aksiomer - Publishing House of the European University in St. Petersburg, 2004, 459 s.

Se også

Spilteori
Basale koncepter	Gensidig og fælles viden Spiller Hierarki af trosretninger Irrationel forstærkning Strategi ( dominans ) Omvendt induktion
Typer af spil	Samtidig , sekventiel og gentagne Ikke -samarbejdsvillig og samarbejdsvillig Med fuldstændig , ufuldstændig , perfekt og ufuldkommen information I normal og udvidet form Antagonistisk Differential Stokastisk Kønnenes kamp Hjortejagt
Løsningskoncepter	Risiko dominans Korreleret ligevægt Balancen af en skælvende hånd Nash ligevægt Subgame perfekt ligevægt Rationaliseringsevne Sekventiel ligevægt stærk balance Egen balance Evolutionært stabil strategi Epsilon-ligevægt Pareto effektivitet Nucleus
Eksempler på spil	Fangens dilemma Barens opgave "El Farol" Bertrand model Cournot model Stackelberg model Orlyanka Tragedien med delte ressourcer høge og duer
Epistemisk spilteori Mekanisme design Fair opdeling