Binær gruppe af icosahedron

Den binære gruppe af icosahedron 2I eller <2,3,5> er en ikke -abeliaansk gruppe af orden 120. Gruppen er en forlængelse af icosahedron-gruppen I eller (2,3,5) af orden 60 med en cyklisk gruppe af orden 2 og er det omvendte billede af icosahedron-gruppen ved 2:1 , der dækker homomorfi

\operatørnavn {Spin} (3)\til \operatørnavn {SO} (3)

en speciel ortogonal gruppe af en spinorgruppe . Dette indebærer, at den binære gruppe af icosahedron er en diskret undergruppe af Spin(3) af størrelsesorden 120.

Denne gruppe skal ikke forveksles med den fulde icosahedriske gruppe , som har samme orden 120, men er en undergruppe af den ortogonale gruppe O(3).

Den binære gruppe af icosahedron beskrives bedst som en diskret undergruppe af enhedskvaternioner , under en isomorfi , hvor Sp(1) er den multiplikative gruppe af enhedskvaternioner [1] . $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$

Elementer

Den binære gruppe af icosahedron er eksplicit givet af foreningen af 24 Hurwitz quaternions

{±1, ± i , ± j , ± k , ½ (±1 ± i ± j ± k ) }

med alle 96 quaternioner afledt af

½ (0 ± i ± φ −1 j ± φ k )

ved lige permutationer af koordinater (alle mulige kombinationer). Her er φ \u003d ½ (1 + √5) det gyldne snit .

I alt får vi 120 elementer (enhed icosians ). Deres modul er lig med én, og derfor ligger de i gruppen af enheder af kvaternioner Sp(1). Det konvekse skrog af disse 120 elementer i 4-dimensionelt rum danner et regulært 4-dimensionelt polyeder , kendt som en seks hundrede celle .

Egenskaber

Central udvidelse

Den binære gruppe af icosahedron, betegnet 2 I , er den universelle perfekte centrale forlængelse af icosahedron-gruppen, og derfor er den kvasisimple den perfekte centrale forlængelse af den simple gruppe.

Konkret passer gruppen ind i den korte præcise rækkefølge

1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.

Sekvensen splitter ikke , det vil sige, 2 I er ikke et halvdirekte produkt af { ±1 } og I . Faktisk er der ingen undergruppe af gruppe 2 I isomorf til I.

Centrum af gruppe 2 I er undergruppen {±1}, så den indre automorfigruppe er isomorf til I. Den fulde automorfigruppe er isomorf til S 5 ( den symmetriske permutationsgruppe på 5 bogstaver), ligesom enhver automorfi 2 I fikserer et ikke-trivielt centerelement ( ), og reducerer derfor til en automorfi I og omvendt enhver automorfi I løfter sig til en automorfi 2 I . $I\cong A_{5}$ $-en$

Superperfektion

Den binære gruppe af icosahedron er en perfekt gruppe, det vil sige, den falder sammen med dens kommutant . Faktisk er 2 I den eneste perfekte gruppe af orden 120. Dette indebærer, at 2 I er uløselig .

Desuden er den binære gruppe af icosahedron superperfekt , hvilket betyder, at dens første to homologigrupper er nul - Dette betyder, at dens abelisering er triviel (gruppen har ingen ikke-trivielle abelske kvotienter), og at dens Schur-multiplikator er triviel (gruppen har ikke ikke-trivielle perfekte centrale udvidelser). Faktisk er den binære gruppe af icosahedron den mindste (ikke-trivielle) superperfekte gruppe. $H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.$

Den binære gruppe af icosahedron er imidlertid ikke acyklisk , fordi H n (2 I , Z ) er cyklisk af størrelsesordenen 120 for n = 4 k +3 og triviel for andre n > 0 [2] .

Isomorfismer

Den binære gruppe af icosahedron er en undergruppe af Spin(3) og dækker gruppen af icosahedron, som er en undergruppe af SO(3). Icosaedergruppen er isomorf i forhold til symmetrigruppen i den 4-dimensionelle simplex , som er en undergruppe af SO(4), og den binære icosaedergruppe er isomorf i forhold til dens dobbeltdækning i Spin(4). Bemærk, at den symmetriske gruppe har en 4-dimensionel repræsentation (dette er normalt den mindste irreducible repræsentation af de komplette symmetrier af den -dimensionelle simplex), og derfor er det fulde sæt af symmetrier i den 4-dimensionelle simplex lig med, men ikke den komplette icosahedral gruppe (disse er to forskellige grupper af størrelsesorden 120). $S_5$ $(n-1)$ $S_{5},$

Den binære gruppe af icosahedron kan betragtes som en dobbelt dækning af den alternerende gruppe , . Denne isomorfi dækker isomorfien af icosaedergruppen med en vekslende gruppe og kan betragtes som undergrupper af Spin(4) og SO(4) (såvel som undergrupper af den symmetriske gruppe og enhver af dens dobbeltdæksler , som igen er undergrupper og stiftgrupper og ortogonale grupper ). $A_{5},$ $2\cdot A_{5}\cong 2I$ $A_{5}\cong I$ $S_5$ $2\cdot S_{5}^{\pm }$ $\operatorname {Pin} ^{\pm }(4)\to \operatorname {O} (4)$

I modsætning til den icosaedriske gruppe, som er eksklusiv i tre dimensioner, eksisterer disse tetraedriske og alternerende grupper (og deres dobbelte dæksler) i alle dimensioner.

Det kan vises, at den icosaedriske gruppe er isomorf til den specielle lineære gruppe SL(2,5), gruppen af alle 2×2 matricer over et endeligt felt F 5 med enhedsdeterminant.

Gruppemission

Gruppe 2 Jeg har en opgave

\langle r,s,t\midt r^{2}=s^{3}=t^{5}=første\rangle

hvilket svarer til

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .

Generatorerne af denne relation er givet ved formlen

s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i +j).

Undergrupper

Den eneste normale undergruppe af gruppe 2 I er midten {±1}.

Ved den tredje isomorfismesætning eksisterer der en Galois-korrespondance mellem undergrupper 2 I og undergrupper I , hvor lukkeoperatoren på undergrupper 2 I er multiplikation med {±1}.

Elementet er det eneste element i orden 2 og er derfor indeholdt i alle undergrupper af lige rækkefølge - enhver undergruppe af gruppe 2 I har enten en ulige rækkefølge eller er et forbillede af en undergruppe af gruppen I . Ud over cykliske grupper dannet af forskellige elementer (som kan have en ulige rækkefølge), kan andre undergrupper af gruppe 2 I (op til konjugation) kun være: $-en$

Binære dihedriske grupper orden 12 og 20 (dækkende dihedriske grupper D 3 og D 5 i I ).
Kvaterniongruppen , der består af 8 Lipschitz-enheder , danner en undergruppe med indeks 15, som også er en dicyklisk gruppe Dic 2 . Denne undergruppe dækker ribbenstabilisatoren .
De 24 Hurwitz quaternions danner en undergruppe med indeks 5, den binære gruppe af tetraederet . Denne undergruppe dækker den chirale tetraedriske gruppe . Sidstnævnte er selvnormaliseret , så dens konjugationsklasse har 5 elementer (dette giver en mapping , hvis billede er ). $2I\to S_{5}$ $A_{5}$

Relation med 4-dimensionelle symmetrigrupper

Den 4-dimensionelle analog af symmetrigruppen af icosahedron I h er den symmetriske gruppe af 600 -cellen (såvel som dens dobbelte en-tyve-celle ). Den første er en gruppe af type H 3 , og den anden er en gruppe af type H 4 med samme notation [3,3,5]. Dens rotationsundergruppe, i Coxeter-notation [3,3,5] + , er en gruppe af orden 7200, der bor i SO(4) . SO(4) har en dobbeltdækkende gruppe ( Spin(4) ) på nøjagtig samme måde som Spin(3) er en dækkende gruppe af SO(3). Ligesom isomorfismen Spin(3) = Sp(1), er gruppen Spin(4) isomorf til Sp(1) × Sp(1).

Forbilledet af [3,3,5] + i Spin(4) (den firedimensionelle analog af 2 I ) er nøjagtigt det direkte produkt af 2 I × 2 I af størrelsesordenen 14400. Rotationsgruppen af en seks hundrede celle er

[3,3,5] + = (2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Forskellige andre firedimensionelle symmetriske grupper kan dannes ud fra 2 I. Se Conway og Smith Conway [3] for detaljer .

Ansøgninger

Rummet af cosets Spin(3) / 2 I = S 3 / 2 I er en sfærisk 3-manifold , kaldet Poincaré-sfæren . Dette er et eksempel på en homologisfære, dvs. en 3-manifold, hvis homologigrupper er lig med dem i 3-sfæren . Den grundlæggende gruppe af Poincaré-sfæren er isomorf til den binære gruppe af icosahedron, eftersom Poincaré-sfæren er kvotientgruppen af 3-sfæren med den binære gruppe af icosahedron.

Se også

Binær gruppe af et polyeder
Binær cyklisk gruppe
Binær dihedral gruppe
Binær gruppe af tetraeder
Binær gruppe af oktaederet

Noter

↑ En beskrivelse af denne homomorfi kan findes i artiklen " Quaternions and rotation of space ".
↑ Adem, Milgram, 1994 , s. 279.
↑ Conway, Smith, 2003 .