Delta funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. februar 2020; checks kræver 12 redigeringer .

Deltafunktion (eller deltamål , δ - funktion, δ -Dirac funktion, Dirac delta, enhedsimpulsfunktion ) er en generaliseret funktion , der giver dig mulighed for at registrere en punkthandling såvel som den rumlige tæthed af fysiske størrelser (masse, ladning, intensiteten af en varmekilde, kraft osv. ), koncentreret eller påført på et tidspunkt.

For eksempel skrives tætheden af en enhedspunktmasse m placeret ved punkt a i et- dimensionelt euklidisk rum ved hjælp af en -funktion i formen Deltafunktion er også anvendelig til at beskrive fordelingen af ladning, masse osv. på overflader eller linjer . $\R^1,$ $\delta$ $m\delta(xa).$

På trods af den almindelige form for skrivning er -funktionen ikke en funktion af en reel variabel, men er defineret som en generaliseret funktion : en kontinuerlig lineær funktionel på rummet af differentiable funktioner. Du kan indføre en afledet for δ-funktionen, som også vil være en generaliseret funktion, og et integral, defineret som en Heaviside-funktion . Det er let at finde sekvenser af almindelige klassiske funktioner, der konvergerer svagt til en -funktion. $\delta (x),x\in \mathbb {R} ,$ $\delta$ $\delta$

Det er muligt at skelne mellem endimensionelle og multidimensionelle deltafunktioner, men sidstnævnte kan repræsenteres som et produkt af endimensionelle funktioner i en mængde svarende til dimensionen af det rum, hvor den multidimensionelle funktion er defineret.

Introduceret af den engelske fysiker Paul Dirac .

Definitioner

Der er forskellige syn på begrebet en deltafunktion. De resulterende objekter er strengt taget forskellige, men de har en række fælles karakteristiske egenskaber. Alle de konstruktioner, der er angivet nedenfor, generaliserer naturligvis til tilfælde af rum af højere dimension . $(\R^n,\n>1)$

Simpel definition

Deltafunktionen (Dirac-funktionen) af en reel variabel kan defineres som en funktion , der opfylder følgende betingelser: $\delta(x)$

$\delta(x)=\venstre\{\begin{matrix} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matrix}\right.$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.$

Det vil sige, at denne funktion ikke er lig med nul kun på det punkt, hvor den vender mod uendelig, så dens integral over et hvilket som helst kvarter er lig med 1. I denne forstand svarer begrebet deltafunktion til de fysiske begreber i et punkt masse eller en punktladning . For at forstå integralet er det nyttigt at forestille sig en bestemt figur på et plan med enhedsareal , for eksempel en trekant . Hvis vi mindsker bunden af denne trekant og øger højden, så arealet forbliver uændret, så får vi i det begrænsende tilfælde en trekant med en lille base og en meget stor højde. Ved antagelse er dens areal lig med enhed, hvilket er vist ved integralet. I stedet for en trekant kan du bruge enhver figur uden tab af almenhed. Lignende betingelser gælder for deltafunktioner defineret på $x=0$ $x=0$ $\mathbb{R}^n.$

Disse ligheder anses normalt ikke for at være definitionen af deltafunktionen, men i mange fysiklærebøger er den defineret på denne måde, og det er nok til en præcis definition af deltafunktionen. Bemærk, at denne definition af deltafunktionen indebærer følgende lighed

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(xy)f(x)\,dx=f(y)

(filtreringsegenskab) for enhver funktion f . På grund af egenskaben ved , ændres værdien af dette integral ikke, hvis funktionen erstattes af funktionen , som er lig på punktet og har vilkårlige værdier på andre punkter. For eksempel tager vi , så tager vi det ud af integraltegnet, og ved at bruge den anden betingelse i definitionen af deltafunktionen opnår vi den ønskede lighed. $\delta(xy)=0$ $x\ney$ $f(x)$ $\tilde{f}(x)$ $f(x)$ $x=y$ $\tilde{f}(x)=f(y)=\operatørnavn {konst}$ $f(y)$

De afledte af deltafunktionen er også lig med 0 næsten overalt og bliver til ved . $\pm\infty$ $x=0$

Klassisk definition

En deltafunktion er defineret som en lineær kontinuerlig funktion på et eller andet funktionsrum ( rummet af testfunktioner ). Afhængigt af mål og ønskede egenskaber kan dette være et rum af funktioner med kompakt understøttelse , et rum af funktioner, der hurtigt aftager i det uendelige , glatte funktioner på en manifold , analytiske funktioner osv. For at definere afledte af en deltafunktion med god egenskaber, i alle tilfælde anses hovedfunktionerne for at være uendeligt differentierbare, rummet af hovedfunktioner skal også være et komplet metrisk rum . Se den relaterede artikel for en generel tilgang til generiske funktioner . Sådanne generaliserede funktioner kaldes også distributioner .

Vi vil overveje den enkleste mulighed. Som rummet af grundlæggende funktioner betragter vi rummet af alle uendeligt differentiable funktioner på intervallet. Sekvensen konvergerer til , hvis funktionerne på et hvilket som helst kompakt sæt konvergerer til ensartet sammen med alle deres derivater: ${\mathcal {E}}$ $\varphi_n\in\mathcal{E}$ $\varphi\in\mathcal{E}$ $K\in\R$ $\varphi_n$ $\varphi$

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)} (x)\right|\xrightarrow{n\to\infty}\,0.

Dette er et lokalt konveks metriserbart rum. Vi definerer deltafunktionen som en funktionel sådan $\delta\in\mathcal{E}^\prime$

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

Kontinuitet betyder, at hvis , så . Her er værdien af funktionen på funktionen . $\varphi_n\to\varphi$ $\lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\varphi$

Colombo delta funktion

Det integrale udtryk, der bruges til at arbejde med deltafunktionen, kan gives en betydning tæt på intuitiv, inden for rammerne af teorien om algebraen for generaliserede Colombo -funktioner ( engelsk Colombeau algebra ) [1] .

Lade være et sæt af uendeligt differentierbare funktioner med kompakt støtte, det vil sige ikke lig med nul kun på et afgrænset sæt. Overvej et sæt funktioner $\mathcal{D}$ $f\kolon\R\til\R$

\mathcal{A}=\venstre\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x )\,dx=0\right\}.

En generaliseret funktion er en ækvivalensklasse af funktioner, der er uendeligt differentiable med hensyn til x for hver og opfylder en bestemt moderationsbetingelse (forudsat at alle dens afledte med hensyn til x vokser ret langsomt ved ). To funktioner antages at være ækvivalente, hvis , hvor er en anden klasse af funktioner med restriktioner på vækst som $R\colon\mathcal{A}\time\R\to\R,$ $R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x),$ $\varphi\in\mathcal{A}$ $\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}),$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\til 0$ $R_1-R_2\in\mathcal{N}$ $\mathcal{N}$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\til 0.$

Deltafunktionen er defineret som . Fordelen ved Colombo-tilgangen er, at dens generaliserede funktioner danner en kommutativ associativ algebra, mens begreberne integration, differentiering, grænser, selv værdi på et punkt naturligt strækker sig til sættet af generaliserede funktioner. I denne forstand kan deltafunktionen faktisk ses som en funktion lig med 0 overalt undtagen ved punktet 0 og lig med uendelig ved nul, da Colombos teori inkluderer teorien om uendeligt store og uendeligt små tal, svarende til ikke-standardanalyse . $\delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x).$

Egorovs tilgang

En lignende teori om generaliserede funktioner blev præsenteret i Yu. V. Egorovs arbejde [2] . Selvom det ikke svarer til Colombo-teorien, er designet meget enklere og har de fleste af de ønskede egenskaber.

En generaliseret funktion er en ækvivalensklasse af sekvenser . Sekvenser betragtes som ækvivalente , hvis funktionerne af sekvenser for et hvilket som helst kompakt sæt falder sammen ved at starte med et tal: $f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R).$ $f$ $\tilde f$ $\Omega\Subset\R$ $\Omega$

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Subset\R\ \exists N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

Alle mulige operationer på sekvenser (multiplikation, addition, integration, differentiering, sammensætning, ...) er defineret komponent for komponent. For eksempel er mængdeintegralet I defineret som sekvensens ækvivalensklasse

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

To generaliserede funktioner er svagt ens, hvis for enhver uendeligt glat funktion $\varphi$

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

I dette tilfælde bestemmes deltafunktionen af enhver delta-formet sekvens (se nedenfor ), alle sådanne generaliserede funktioner er svagt ens.

Egenskaber

Delta-funktionen er lige .
Integralet af deltafunktionen over ethvert interval, der indeholder nul, det vil sige et interval på formen hvor og er vilkårlige reelle positive tal, er lig med 1. $(-a_1,\;a_2),$ $a_{1}$ $a_{2}$
$x\delta^\prime(x)=-\delta(x).$
$\delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$ , hvor er funktionens simple nuller . $x_k$ $f(x)$

Antiderivatet af den endimensionelle delta-funktion er Heaviside-funktionen :

\theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{array} }\ret.

Filtrerende egenskab for deltafunktionen:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

δ-funktionen som en svag grænse

Lade $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$

Derefter rækkefølgen

f_n(x)=nf(nx)

konvergerer svagt til -funktionen. $\delta$

Valget af en integrerbar funktion, hvis bestemte integral er lig med 1 i området fra til , er vilkårligt. $f(x),$ ${\displaystyle {-\infty ))$ ${\displaystyle {+\infty ))$

For eksempel, da du kan vælge funktionen sinc : giver sekvensen: $f(x)$ $f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x)),$

f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x))={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x }}.

Hvis det kræves, at alle funktioner i sekvensen er positive overalt, kan man vælge for eksempel den normaliserede Gauss-funktion eller enhver anden overalt ikke-negativ funktion, hvis integral er lig med 1:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},

f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Integral repræsentation

I mange applikationer viser den integrerede repræsentation af deltafunktionen sig at være praktisk:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Bevis

Overvej integralet

I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,

(en)

hvilket kan tolkes som grænsen

I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),

hvor

I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\ frac{\sin{tN}}{tN}.

(2)

Det er kendt, at

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.

(3)

I kraft af (3), for enhver , er ligheden sand: $N$

\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN }}{tN}\,d(tN)=1.

(fire)

Det kan vises ( se ovenfor ), at med en ubegrænset vækst af N, for funktionen (2) viser alle egenskaberne ved deltafunktionen sig at være sande, og i en vis forstand har den en tendens til at $\delta(t).$

Afledt af deltafunktionen

Ved definition af den afledede af deltafunktionen : $\delta(x)$

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(xa)\,dx=-f^\prime(a)

(udvidelse af integration med dele til tilfældet med integrander, der indeholder en deltafunktion).

Tilsvarende for den n'te afledede af deltafunktionen:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(xa)\,dx.

Og efter at have integreret dele n gange, får vi endelig:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^nf (x)}{\partial x^n}\right|_{x=a}.

For den afledte af deltafunktionen gælder følgende identitet:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

som kan opnås ved at differentiere produktet . $f(x)\delta(x)$

Fourier transformation

I dette afsnit vil vi anvende normaliseringen svarende til enhedskoefficientkonventionen i den inverse transformation, dvs. $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d \omega.$
Formlerne i dette afsnit har tilsvarende analoger til den flerdimensionelle Fourier-transformation.

Fourier-transformationen kan anvendes på deltafunktionen :

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Således er spektret (Fourier-transformation) af en deltafunktion centreret ved , en "bølge" i frekvensrummet, der har en "periode" . Specielt er spektret (Fourier-transformation) af en deltafunktion centreret ved nul en konstant (i en løs betydning, en "bølge" med en uendelig stor "periode"): $t_0$ $\frac{2\pi}{t_0}$

F\venstre\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}.

Følgelig er deltafunktionen tværtimod Fourier-transformationen af en ren harmonisk funktion eller konstant.

Repræsentation af multidimensionelle deltafunktioner i forskellige koordinatsystemer

I n -dimensionelt rum i kartesiske koordinater (ortonormal basis):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^nx=1;

\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

I 2D-rum:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;

\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);

\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

I polære koordinater:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi\left|r\right|}

- uforskudt i forhold til oprindelsen (med en singularitet ved r = 0 ),

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|}

— med en singularitet i et punkt i den generelle position for r = 0 forlænges med nul.

(r_0,\;\varphi_0);

I 3D-rum:

\iiiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;

\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

I et cylindrisk koordinatsystem :

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{2\pi r}

— uforskudt i forhold til oprindelsen (med en singularitet ved ),

r=0,\;z=0

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|}

— med en singularitet i et punkt i den generelle position for r = 0 forlænges med nul.

(r_0,\;\varphi_0,\;z_0);

I et sfærisk koordinatsystem :

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}

- uforskudt i forhold til oprindelsen (med en singularitet ved r = 0 ). I formler med en singularitet ved oprindelsen bruges ofte dobbelt så store koefficienter (1/π for cylindrisk og polær, 1/2π for sfærisk). Dette skyldes, at integrationsresultatet antages at være dobbelt så lille, hvis singularpunktet ligger præcis på grænsen af integrationsintervallet.

Fysisk fortolkning

Nær det ladede punkt er feltet uendeligt, Taylor-serien for feltet konvergerer ikke, så specielle funktioner introduceres. En sådan funktion er deltafunktionen. Spørgsmålet om feltet af en punktladet partikel er forholdsvis kompliceret, så lad os først overveje et enklere eksempel.

Øjeblikkelig boost

Lad en partikel, der er i stand til at bevæge sig langs en lige linje, ved påvirkning af ubetydelig varighed, pludselig få en vis hastighed. Lad os stille os selv et spørgsmål: hvordan beregnes accelerationen erhvervet af kroppen? Lad os bygge en graf over hastighedsændringen over tid. Grafen vil se sådan ud:

Denne graf er næsten overalt grafen for Heaviside-funktionen . Den afledte af Heaviside-funktionen er en enhedsdelta-funktion, hvis graf konventionelt kan afbildes som

Denne graf viser uendelig acceleration med øjeblikkelig acceleration. Generelt kan slagaccelerationen skrives som

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Masse/ladning af et materialepunkt

Hvis du skal finde den samlede masse (total ladning) af en bestemt tæthedsfordeling (eller ladningstæthed ), som sammen med den kontinuerte komponent også indeholder punktmasser (ladninger), så er det praktisk i stedet for en formel, der separat tager tage højde for den kontinuerlige endelige tæthed og diskrete bidrag: $\rho _{\mathrm {fortsat} }$

{\displaystyle M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i))

hvor er radiusvektoren for positionen af det pågældende element (for bestemthed svarer betegnelserne til massen, ikke ladningen), det er nemt at skrive: $\mathbf {x}$

M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV

hvilket betyder, at det inkluderer både kontinuerte og delta-lignende, det vil sige koncentreret i geometriske punkter (en for hvert punktobjekt ), komponenter: $\rho(\mathbf{x})$ $m_i$

\rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} - \mathbf {x} _{i})

Andre eksempler

Delta-funktionen bruges i matematisk fysik til at løse problemer, der inkluderer klumpede mængder. I kvantemekanikkens semiklassiske grænse ( ) er bølgefunktioner lokaliseret i bølgepakker med delta-lignende (det vil sige med form af en deltafunktion i grænsen) konvolutter, og områderne for deres lokalisering bevæger sig langs klassiske baner iht . Newtons ligninger . $\hbar\højrepil 0$
Fouriertransformationen af enhed er en deltafunktion. Dette gør det muligt mere bekvemt og matematisk strengt at formulere forskellige problemer relateret til Fourier-transformationen, som er meget talrige: bølgeoptik, akustik og teorien om vibrationer. I kvantemekanikken spiller Fourier-transformationerne af bølgefunktioner en afgørende fundamental og teknisk rolle; det var derfor, Dirac først introducerede deltafunktionen.
Deltafunktioner spiller rollen som egenfunktioner af en operator med et kontinuerligt spektrum i repræsentationer, hvor denne operator er diagonal. De spiller således rollen som et grundlag i den diagonale repræsentation af operatøren.
En vigtig anvendelse af deltafunktioner er deres deltagelse i apparatet af Greens funktioner af lineære operatorer. For en lineær operator, der virker på generaliserede funktioner over en manifold , har ligningen, der definerer den grønnes funktion med en kilde i et punkt , formen $L$ $M$ $g$ $x_0,$

L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).

Særligt almindeligt er anvendelsen af dette apparat til Laplace-operatoren (elektrostatik, termisk ledningsevne, diffusion, mekanisk elasticitetsteori) og operatører, der ligner det, såsom d'Alembert-operatoren (akustik, elektrodynamik, kvantefeltteori, hvor Green's funktion har ofte det specielle navn propagator ).

For Laplacian i Green 's funktion er funktionen , således at $\mathbb {R} ^{3}$ $1/r$

\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),

hvor er afstanden til koordinaternes oprindelse. Dette faktum bruges til at bevise, at udtrykket for det skalære potentiale

r

\Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^ {\prime }\right|}}\,d^{3}x^{\prime }

opfylder Poisson-ligningen :

\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

Se også

Noter

↑ Colombeau JF Elementær introduktion til nye generaliserede funktioner. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Egorov Yu. V. Om teorien om generaliserede funktioner // Uspekhi Mat. - 1990. - T. 45 , no. 5 (275) . - S. 3-40 .

Litteratur

Dirac P. A. M. Fundamentals of quantum mechanics / Pr. fra engelsk. - M. , 1932 (der er mange genoptryk).
Kudryavtsev L. D. Kort kursus i matematisk analyse. - Bind 2. - ISBN 5-9221-0185-4 .
Weisstein, Eric W. Delta Function (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Hermander L. Analyse af lineære differentialligninger. - bind 1.
Hermander L. Lineære partielle differentialoperatorer.
Gel'fand I. M., Shilov G. E. Generaliserede funktioner og handlinger på dem.
Krasnopevtsev EA Matematiske metoder i fysik. Udvalgte spørgsmål.