Svag konvergens

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. juli 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Svag konvergens i funktionel analyse er en slags konvergens i topologiske vektorrum .

Definition

Lad være et topologisk felt , være et topologisk vektorrum over feltet , og være det dobbelte rum af , bestående af alle kontinuerlige lineære funktionaler på . Så er den svage topologi af et rum den svageste af topologierne, hvor alle lineære funktionaler, der er kontinuerte i dette rums oprindelige topologi, er kontinuerte. $K$ $x$ $K$ $X^{*}$ $x$ $x$

Præbasen for den svage topologi dannes af mængderne

{\displaystyle V_{x,f,\varepsilon }=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon \,\))

for alle , , og . $x\i X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Med andre ord konvergerer en sekvens af elementer svagt til et element , hvis talfølgen for en kontinuerlig lineær funktion konvergerer til . $x_{n}\in X$ $x_{\infty }\in X$ $f\in X^{*}$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{\infty })$

Den svage* topologi i er topologien, hvis præbase er dannet af mængderne $X^{*}$

{\displaystyle V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\))

for alle , , og . $x\i X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Med andre ord konvergerer en sekvens af funktioner svagt* til en funktion , hvis talrækken for nogen konvergerer til . $f_{n}\in X^{*}$ $f_{\infty }\in X^{*}$ $x\i X$ $f_{n}(x)$ $f_{\infty }(x)$

Noter

Konvergens i rummet , defineret af dets oprindelige topologi, siges at være stærk . $x$

Egenskaber

Hvis en sekvens konvergerer stærkt til et element, så konvergerer den også svagt til dette element.
I et finit -dimensionelt euklidisk rum falder begreberne stærk og svag konvergens sammen.
I tilfældet hvor er et normeret vektorrum, gælder følgende påstande. En svagt konvergent sekvens af elementer er afgrænset, det vil sige for et positivt tal . En sekvens af elementer konvergerer svagt til et element, hvis det er afgrænset og konvergerer til for hver kontinuerlig lineær funktionel fra en delmængde af rummet, hvis lineære spænd er overalt tæt i . $x$ $\{x_{n}\}\subset X$ $\|x_{n}\|\leq C$ $C$ $\{x_{n}\}\subset X$ $x_{0}\i X$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{0})$ $X^{*}$ $X^{*}$
Banach-Alaoglu-Bourbaki-sætning . Den lukkede rumkugleer kompakt i den svage* rumtopologi. $X^{*}$ $X^{*}$
Eberlein-Shmuliansk sætning. En delmængde af et Banach-rum er svagt kompakt, hvis og kun hvis det er svagt sekventielt kompakt. $EN$ $x$

Eksempel

Lade være rummet af kontinuerlige funktioner på et interval med en norm defineret ved ensartet konvergens (stærk konvergens). En sekvens af funktioner konvergerer svagt til en funktion, hvis og kun hvis to betingelser er opfyldt: 1) den er ensartet afgrænset, det vil sige for alle for et positivt tal , og 2) konvergerer til punktvis, dvs. den numeriske sekvens konvergerer til for enhver . $X=C[a,b]$ $[a,b]$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $|x_{n}(t)|\leq C$ $t\in [a,b]$ $C$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $\{x_{n}(t)\}$ $x_{0}(t)$ $t\in [a,b]$

Litteratur

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elements of functional analysis, - M .: Nauka, 1965.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse, - Enhver udgave.
Rudin U. Funktionel analyse, - M .: Mir, 1975.