Luftig funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. august 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Den luftige funktion er en særlig løsning af differentialligningen

y''-xy\,=\,0\,,

kaldet Airy-ligningen (først betragtet og undersøgt i 1838 af den britiske astronom George Biddell Airy ) [1] . Dette er den enkleste differentialligning, der har et punkt på den reelle akse, hvor løsningens form ændres fra oscillerende til eksponentiel.

Normalt anvendes udtrykket "Airy function" om to specielle funktioner - Airy-funktionen af 1. slags (som har en oscillerende adfærd med et gradvist fald i amplituden af svingninger ved , og aftager monotont ifølge en eksponentiel lov ved ) og den luftige funktion af 2. art (som også svinger kl med et gradvist fald i amplituden af svingninger og ved monotont vokser efter en eksponentiel lov); andre særlige løsninger af den luftige ligning kan repræsenteres som lineære kombinationer af disse to funktioner [2] . Betegnelsen Ai for den første af disse funktioner blev foreslået i 1928 af Harold Jeffreys , som brugte de to første bogstaver i Airys efternavn ( engelsk Airy ) [3] . I 1946 tilføjede Jeffrey Miller notationen Bi for den luftige funktion af 2. slags, som også er blevet standard [4] . $\operatørnavn {Ai}\,(x)$ $x\rightarrow -\infty$ $x\højrepil +\infty$ $\operatørnavn {Bi}\,(x)$ $x\rightarrow -\infty$ $x\højrepil +\infty$

V. A. Fok foreslog symbolerne U og V for at betegne funktionerne henholdsvis Ai og Bi .

Den luftige funktion er en løsning på Schrödinger-ligningen for en partikel i en trekantet potentialbrønd .

Definition

For rigtige er den luftige funktion af den 1. slags defineret af følgende ukorrekte integral [1] : $x$

\operatørnavn {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\!\cos \left({ \frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\,,

Ved at udføre differentiering under integraltegn sikrer vi, at den resulterende funktion virkelig opfylder den luftige ligning

y''-xy\,=\,0\,.

En anden lineært uafhængig særlig løsning af denne ligning er den luftige funktion af 2. art , hvor ved svingningerne har samme amplitude som ved, men adskiller sig i fase med [5] . For virkelige er den luftige funktion af 2. slags udtrykt ved integralet [4] : $\operatørnavn {Bi} \,(x),$ $x\rightarrow -\infty$ $\operatørnavn {Ai} \,(x),$ $\pi/2$ $x$

\operatorname {Bi} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{ \tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\, dt\,.

For komplekse , er Airy-funktionen defineret som følger: $z$ $\operatørnavn {Ai} \,(z)$

\operatørnavn {Ai} \,(z)\,=\,\int \limits _{\gamma _{1}}\!\exp \left(pz-{\frac {p^{3}} {3}}\right)\,dp\,,

hvor konturen er vist i figur [6] . Konturerne og giver også en løsning til den luftige ligning. På trods af, at der er tre integrationsløkker, er der stadig to lineært uafhængige løsninger til den luftige ligning, da summen af integralerne over disse tre sløjfer er lig med nul. ${\displaystyle \gamma _{1))$ ${\displaystyle \gamma _{2))$ ${\displaystyle \gamma _{3))$

Funktionen ved en vilkårlig kompleks værdi er relateret til den luftige funktion af 1. slags ved relationen [1] : $\operatørnavn {Bi} \,(z)$ $z$

\operatørnavn {Bi} \,(z)\,=\,i\omega ^{2}\,\operatørnavn {Ai} \,(\omega ^{2}z)-i\omega \,\ operatørnavn {Ai} \,(\omega z)\,,\quad \omega =e^{2\pi {i/3}}\,.

Egenskaber

På et punkt har funktionerne og og deres første afledede følgende værdier: $x=0$ $\operatørnavn {Ai}\,(x)$ $\operatørnavn {Bi}\,(x)$

{\begin{aligned}\operatørnavn {Ai} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \left({\frac {2 }{3}}\right)}}\,\ca. \,0,355\,028\,053\,887\,817\,,&\quad \operatørnavn {Ai} '\,(0)\,=\ ,-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \left({\frac {1}{3))\right)))\,\ca. \,-0,258\,819\ ,403\,792\,807\,,\\\operatørnavn {Bi} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \left({ \frac {2}{3}}\right)}}\,=\,\operatørnavn {Ai} \,(0)\,{\sqrt {3}}\,,&\quad \operatørnavn {Bi} ' \,(0)\,=\,{\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)))\,=\,-\ operatørnavn {Ai} '\,(0)\,{\sqrt {3}}\,.\end{aligned}}

hvor er gammafunktionen [7] . Det følger heraf, at for Wronskian af funktionerne og er lig med . $\Gamma$ $x=0$ $\operatørnavn {Ai}\,(x)$ $\operatørnavn {Bi}\,(x)$ $1/\pi$

Når positiv , er en positiv konveks funktion faldende eksponentielt til 0, og er en positiv konveks funktion, der stiger eksponentielt. Når negativ og oscillere omkring nul med stigende frekvens og faldende amplitude. Dette bekræftes af de asymptotiske udtryk for de luftige funktioner. $x$ $\operatørnavn {Ai}\,(x)$ $\operatørnavn {Bi}\,(x)$ $x$ $\operatørnavn {Ai}\,(x)$ $\operatørnavn {Bi}\,(x)$

Asymptotiske udtryk

Når man har tendens til at [7] : $x,$ $+\infty$

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}} }{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac { 2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+ {\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(-x)&{} \sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}({\sqrt {\pi }} \,x^{1/4}}}.\end{aligned}}

Kompleks argument

Den luftige funktion kan udvides til det komplekse plan med formlen

\mathrm {Ai} \,(z)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^ {3}}{3}}-zt\right)\,dt\,,

hvor integralet tages langs en kontur, der starter ved et punkt på uendeligt med et argument og slutter ved et punkt på uendeligt med et argument . Man kan gå den anden vej ved at bruge differentialligningen til at strække sig til og op til hele funktioner i det komplekse plan. $C,$ $-{\dfrac {\pi }{3}}$ ${\dfrac {\pi }{3))$ $y''-xy=0$ $\mathrm {Ai} \,(x)$ $\mathrm {Bi} \,(x)$

Den asymptotiske formel for forbliver gyldig i det komplekse plan, hvis vi tager hovedværdien og ikke ligger på den negative reelle halvakse. Formlen for er sand, hvis x ligger i sektoren for nogle positive . Formlerne for og er gyldige, hvis x ligger i sektoren . $\mathrm {Ai} \,(x)$ $x^{2/3}$ $x$ $\mathrm {Bi} \,(x)$ $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {\pi -\delta }{3}}\right\ }$ $\delta$ $\mathrm {Ai} \,(-x)$ $\mathrm {Bi} \,(-x)$ $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {2(\pi -\delta )}{3}} \ret\}$

Det følger af den asymptotiske opførsel af de luftige funktioner af 1. og 2. art, at de begge har uendeligt mange nuller på den negative reelle halvakse. En funktion på den komplekse plan har ingen andre nuller, og en funktion har uendeligt mange nuller i sektoren . $\mathrm {Ai} \,(x)$ $\mathrm {Bi} \,(x)$ $\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,{\frac {\pi }{3}}<|{\text{arg}}\,z|<{\frac {\ pi }{2}}\right\}$

Relation til andre specialfunktioner

For positive argumentværdier er luftige funktioner relateret til modificerede Bessel-funktioner :

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x }}\,K_{1/3}\venstre({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(x)\, =\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\ højre)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}

hvor I ±1/3 og K 1/3 er løsninger af ligningen . $x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0$

For negative værdier af argumentet er de luftige funktioner relateret til Bessel-funktionerne :

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3 }\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/ 2}\right)\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(-x)\,=\,{\sqrt ({\frac {1}{3}}x}}\left(J_ {-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x ^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}

hvor J ±1/3 er løsninger af ligningen . $x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0$

Scorer-funktionerne er løsninger på ligningen. De kan også udtrykkes i form af luftige funktioner: $y''-xy=1/\pi .$

{\begin{aligned}\mathrm {Gi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,,\\\mathrm {Hej} \,( x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\ int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,.\end{aligned}}

Se også

Luftig stråle

Noter

↑ 1 2 3 Fedoryuk M. V. . Luftige funktioner // Matematisk encyklopædi. T. 5 / Ch. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. Arkivkopi dateret 17. november 2020 på Wayback Machine - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Popov og Tesler, 1984 , s. 381-382.
↑ Vallee O., Soares M. . Luftige funktioner og anvendelser til fysik . - London: Imperial College Press , 2004. - x + 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 . Arkiveret 10. juni 2016 på Wayback Machine - S. 4.
↑ 1 2 Airy Function Ai: Introduktion til Airy-funktionerne . // The Wolfram Functions Site. Dato for adgang: 12. februar 2016. Arkiveret fra originalen 3. juni 2016. (ubestemt)
↑ Popov og Tesler, 1984 , s. 385.
↑ Landau og Lifshitz, 1974 , s. 736.
↑ 1 2 Popov og Tesler, 1984 , s. 386.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshitz E. M. . Kvantemekanik. nonrelativistisk teori. 3. udg. — M .: Nauka , 1974. — 752 s. - (Teoretisk fysik, bind III).
Popov B.A., Tesler G.S.. Beregning af funktioner på en computer: en håndbog. - Kiev: Naukova Dumka , 1984. - 599 s.
Airy G.B. On the Intensity of Light in the Neighborhood of a Caustic // Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 1838, 6 . - s. 379-402.
Håndbog i matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller / Red. af M. Abramowitz og I. A. Stegun. - New York: Academic Press , 1954. - xiv + 1046 s. (dødt link) (Se § 10.4) .
Olver F.W.G. Kapitel 11. Differentialligninger med en parameter: Vendepunkter // Asymptotik og specialfunktioner. - New York: Academic Press , 1974. - xvi + 571 s. — (Datalogi og anvendt matematik). - S. 392-434.