Feltudvidelse

Feltudvidelse (udtrykket superfelt er mindre almindeligt brugt )  er et felt , der indeholder det givne felt som et underfelt. Studiet af udvidelser er en vigtig opgave i feltteori , da enhver felthomomorfi er en udvidelse.

Grundlæggende definitioner

Hvis  er et felt , er dets underfelt  dets undersæt lukket under addition og multiplikation , idet det tager de omvendte og modsatte elementer og indeholder den enhed, på hvilken de samme operationer er indført som i feltet . I dette tilfælde kaldet feltudvidelsen betegnes den givne udvidelse normalt (notationen og bruges også ). Enhver felthomomorfi er injektiv , det vil sige, den er en indlejring . Det følger heraf, at angivelse af en bestemt udvidelse svarer til at angive en homomorfi .

Givet en udvidelse og en delmængde af feltet , så er det mindste underfelt, der indeholder og , betegnet og kaldet det felt, der genereres af sættet over feltet . Udvidelser genereret af et enkelt element kaldes simple udvidelser , og udvidelser genereret af et endeligt sæt kaldes endeligt genererede udvidelser . Et element, der giver anledning til en simpel udvidelse, kaldes et primitivt element .

For enhver udvidelse er et vektorrum over et felt . I denne situation kan elementer forstås som "vektorer" og elementer  som "skalarer", multiplikationen af ​​en vektor med en skalar er givet ved multiplikationsoperationen i feltet . Dimensionen af ​​dette vektorrum kaldes forlængelsesgraden og er betegnet med . En udvidelse af grad 1 kaldes triviel , udvidelser af grad 2 og 3 kaldes henholdsvis kvadratisk og kubisk . En forlængelse af en endelig grad kaldes finit , ellers kaldes den uendelig.

Eksempler

Feltet med komplekse tal er en udvidelse af feltet for reelle tal . Denne udvidelse er endelig: , da den er en basis. Til gengæld er feltet for reelle tal en forlængelse af feltet for rationelle tal; graden af ​​denne udvidelse er lig med styrken af ​​kontinuummet , så denne udvidelse er uendelig.

Sættet er en forlængelse af feltet , hvilket naturligvis er enkelt. Finite udvidelser kaldes algebraiske talfelter og er et vigtigt studieobjekt i algebraisk talteori .

Den sædvanlige procedure for at konstruere en forlængelse af et givet felt, som gør det muligt at tilføje en polynomial rod til det  , er at tage faktorringen af ​​polynomialringen af ​​det primære ideal genereret af . Lad f.eks. feltet ikke indeholde roden af ​​ligningen . Derfor er polynomiet irreducerbart i , derfor er idealet  maksimalt , og derfor er kvotientringen et felt. Dette felt indeholder roden af ​​ligningen ,  billedet af polynomiet i faktoriseringskortlægningen. Ved at gentage denne procedure flere gange, kan du få nedbrydningsfeltet for et givet polynomium, det vil sige det felt, hvor dette polynomium er dekomponeret i lineære faktorer.

Algebraicitet og transcendens

Lad være  en forlængelse af feltet . Et element kaldes algebraisk over , hvis det er en rod af et polynomium , der ikke er nul med koefficienter i . Elementer, der ikke er algebraiske, kaldes transcendentale . For eksempel, for en udvidelse, er den imaginære enhed et algebraisk tal, da det opfylder ligningen .

Det særlige tilfælde af udvidelser er særligt vigtigt : begreberne algebraisk tal og transcendentalt tal (uden at angive hovedfeltet) bruges netop til tilfældet med en given udvidelse.

Hvis hvert element i en udvidelse er algebraisk over , kaldes det en algebraisk udvidelse . Ikke-algebraiske udvidelser kaldes transcendentale.

En delmængde af et felt kaldes algebraisk uafhængig over, hvis der ikke er et polynomium, der ikke er nul (i et endeligt antal variable) med koefficienter således, at substituering af en endelig delmængde af tal i det vil resultere i nul. Den største kardinalitet af et algebraisk uafhængigt sæt kaldes graden af ​​transcendens af en given udvidelse. For enhver udvidelse kan man finde et algebraisk uafhængigt sæt , som er en algebraisk udvidelse. Det sæt , der opfylder denne betingelse, kaldes transcendensgrundlaget for den givne udvidelse. Alle transcendensbaser har den samme kardinalitet, svarende til graden af ​​transcendens af forlængelsen.

En simpel udvidelse er endelig , hvis den er genereret af et algebraisk element. Ellers er de eneste elementer , der er algebraiske over  , selve elementerne .

Galois-udvidelser

En algebraisk forlængelse kaldes normal , hvis hvert irreducerbart polynomium over , som har mindst én rod i , nedbrydes i lineære faktorer.

En algebraisk forlængelse siges at være adskillelig , hvis hvert element er adskilleligt, det vil sige, at dets minimale polynomium ikke har flere rødder. Især siger primitive element -sætningen, at enhver finit adskillelig forlængelse har et primitivt element (dvs. er en simpel forlængelse). En Galois-udvidelse  er en tilbygning, der både kan adskilles og normal.

For enhver udvidelse kan man overveje gruppen af ​​automorfismer af feltet, der virker identisk på feltet . Når en udvidelse er en Galois-udvidelse, kaldes denne gruppe Galois-gruppen for den givne udvidelse.

For en udvidelse er det ofte nyttigt at beskrive mellemliggende felter (det vil sige underfelter, der indeholder ). Den grundlæggende sætning i Galois-teorien siger, at der er en bijektion mellem sættet af mellemfelter og sættet af undergrupper i Galois-gruppen, der vender rækkefølgen ved inklusion.

Litteratur