Bolza overflade

En Bolza-overflade ( Bolza- kurve ) er en kompakt Riemann-overflade af slægt 2 med den maksimalt mulige rækkefølge af den konforme automorfigruppe for denne rækkefølge, nemlig med gruppen GL 2 (3) af orden 48. Den komplette automorfigruppe (inklusive refleksioner) ) er et halvdirekte produkt af størrelsesorden 96. Affine Bolza-overflademodellen kan opnås som stedet for punkter, der opfylder ligningen ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2))$

y^{2}=x^{5}-x

i . Bolza-overfladen er en glat forlængelse en affin kurve. Af alle hyperbolske overflader af slægt 2 har Bolza-overfladen den højeste systole . Som en hyperelliptisk Riemann-overflade opstår den som et forgrenet dobbeltdæksel af Riemann-sfæren med grenpunkter ved seks spidser af et regulært oktaeder indskrevet i kuglen, som det tydeligt kan ses af ovenstående formel. ${\mathbb C}^{2}$

Trekantet overflade

En Bolza-overflade er en (2,3,8)-trekant overflade ( Schwarz-trekant ): den fuchsiske gruppe , der definerer en Bolza-overflade, er en undergruppe af gruppen dannet af refleksioner med hensyn til siderne af en hyperbolsk vinklet trekant . Denne undergruppe er en undergruppe med et refleksionsgruppeindeks , der består af produktet af et lige antal refleksioner, og som har en abstrakt repræsentation med hensyn til generatorer og relationer samt . Den fuchsiske gruppe , der definerer Bolza-overfladen, er også en undergruppe af (3,3,4) trekantgruppen , som er undergruppen med indeks 2 af trekantgruppen (2,3,8). Gruppen (2,3,8) har ikke en kvaternionalgebraimplementering , men gruppen (3,3,4) har. ${\tfrac {\pi }{2)),{\tfrac {\pi }{3)),{\tfrac {\pi }{8))$ ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8))$ $s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$ $s_{2}s_{3}=s_{8}$ $\Gamma$

Under påvirkning af Poincaré-skiven er det grundlæggende område af Bolza-overfladen en regulær ottekant med vinkler i punkterne $\Gamma$ ${\tfrac {\pi }{4}}$

p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi}{8}}+k{\tfrac {\pi } {4}}\right)}

hvor . De modsatte sider af ottekanten er identificeret under påvirkning af den fuchsiske gruppe. Matricer tjener som generatorer: $k=0,\ldots ,7$

g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{ 4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi}{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix} }

hvor og , sammen med deres invers. Generatorer opfylder forholdet: $\alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$ $k=0,\ldots ,3$

g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1 }g_{3}=1.

Se også

Hyperbolsk kurve
Kleins quartic
Macbeath overflade

Litteratur

Oskar Bolza. Om binær sextik med lineære transformationer til sig selv // American Journal of Mathematics. - 1887. - T. 10 , Nr. 1 . — S. 47–70 . - doi : 10.2307/2369402 . — .
Katz M., Sabourau S. En optimal systolisk ulighed for CAT(0)-metrikker i genus to // Pacific J. Math. . - 2006. - T. 227 , no. 1 . — S. 95–107 . - doi : 10.2140/pjm.2006.227.95 . — arXiv : math.DG/0501017 .
Maclachlan C., Reid A. Aritmetikken af hyperbolske 3-manifolder. - New York: Springer, 2003. - T. 219. - (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-98386-4 .

Algebraiske kurver

Rationelle
kurver

Kegleformet defineret af fem punkter
Projektiv linje
Rationel normalkurve
Riemann sfære
Ikke-plan kurve af tredje orden

Elliptiske
kurver

Analytisk teori	Elliptisk funktion Elliptisk integral Grundlæggende par af perioder modulær form
Aritmetisk teori	Tælle punkter på en elliptisk kurve Divisionspolynomier Hasses sætning om elliptiske kurver Mazurs torsionssætning Modulær elliptisk kurve Modularitetssætning Mordell-Weils sætning Nagell-Lutz sætning Supersingular elliptisk kurve Shufs algoritme Shoof-Elkis-Atkin algoritme
Ansøgninger	Elliptisk kryptografi Primalitetstest med elliptiske kurver

højere
slægt

Francis sætning
Faltings sætning
Hurwitzs automorfi-teorem
Hurwitz overflade
hyperbolsk kurve

Flade
kurver

Sætning AF+BG
Bezouts sætning
bicangent
Cayley-Bacharachs sætning
keglesnit
Cramers paradoks
terning
Krogede Gård
Formlen for forbindelsen af slægten og kurvens grad
Hilberts sekstende problem
Nagatas formodning om kurver
Plücker formel
Flad kurve af fjerde grad
Ægte plan kurve

Riemann
overflader

Belys sætning
Bolz overflade
Kompakt Riemannsk ruhed
Børnetegning
Abelsk differential
Klein kvarts
Riemanns eksistenssætning
Riemann-Rochs sætning
Teichmüller plads
Torellis sætning

Bygninger

Dobbelt kurve
Pol og polar
Glat fortsættelse

Kurvestruktur
_

Divisorer af kurver	Abel-Jacobi kortlægning Brill-Noether teori Cliffords teorem om specielle divisorer Gonalitet af den adhebraiske kurve Jacobi sort Riemann-Rochs sætning Weierstrass punkt Weyls lov om gensidighed
Moduler	ELSV formel Gromov-Witten invariant Hodge bundt Riemann overflademoduler stabil kurve
Morfismer	Hasse-Witt matrix Riemann-Hurwitz formel Prima manifold Webers sætning
Enkelte punkter	Isoleret kurvepunkt dobbelt punkt Casp delta invariant Selvberøringspunkt
Vektor bundter	Birkhoff-Grothendieck-sætning Stabilt vektorbundt Vektorbundter af algebraiske kurver