Cramers paradoks

Cramers paradoks eller Euler-Cramers paradoks [1] er udsagnet om, at antallet af skæringspunkter for to kurver af høj orden i et plan kan være større end antallet af vilkårlige punkter, der normalt er nødvendige for entydigt at bestemme hver sådan kurve. Paradokset er opkaldt efter den genevanske matematiker Gabriel Cramer .

Paradokset er resultatet af en naiv forståelse af to teoremer:

Bezouts teorem (antallet af skæringspunkter for to algebraiske kurver er lig med produktet af deres grader under visse betingelser).
Cramers sætning (en kurve af grad n er entydigt bestemt af n ( n + 3)/2 point, igen under visse betingelser).

Bemærk, at for alle , så det virker naivt, at for potenser på tre og højere, kan der være nok skæringspunkter for to kurver til entydigt at definere begge kurver. $n\geqslant 3,n^{2}\geqslant n(n+3)/2$

Problemet er, at i nogle degenererede tilfælde er n ( n + 3) / 2 punkter ikke nok til entydigt at definere kurven.

Historie

Paradokset blev først udgivet af Maclaurin [2] [3] . Cramer og Euler korresponderede om paradokset i 1744-1745 og Euler forklarede problemet for Cramer [4] . Problemet kom til at blive kaldt Cramers paradoks efter Cramers udgivelse i 1750 af Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques , selvom Cramer pegede på Maclaurin som kilden til påstanden [5] . Omtrent på samme tid offentliggjorde Euler eksempler, der viser, at en kubisk kurve muligvis ikke er entydigt defineret af 9 punkter [4] [6] og diskuterede problemet i sin bog Introductio in analysin infinitorum . Resultatet blev offentliggjort af James Stirling og forklaret af Julius Plücker [1] .

Intet paradoks for lige og ikke-degenererede keglesnit

For kurver af den første orden (det vil sige lige linjer ) vises paradokset ikke, da n \u003d 1, så n 2 \u003d 1 < n ( n + 3) / 2 \u003d 2. Generelt er to forskellige linjerne L 1 og L 2 skærer hinanden i et punkt P , medmindre linjerne har samme hældning, i hvilket tilfælde linjerne slet ikke skærer hinanden. Et punkt er ikke nok til entydigt at definere en lige linje (to er nødvendige). Ikke to, men uendeligt mange linjer går gennem punktet P.

Tilsvarende skærer to ikke-degenererede keglesnit ved maksimalt 4 endepunkter, og 5 punkter er nødvendige for entydigt at definere en ikke-degenereret kurve.

Cramers eksempel for kubiske kurver

I et brev til Euler påpegede Cramer, at de kubiske kurver og skærer på nøjagtigt 9 punkter (hver ligning repræsenterer et sæt af tre parallelle linjer og hhv.). Det viser sig, at disse 9 punkter ikke er tilstrækkelige til en entydig definition af en kubisk kurve, så i det mindste i det degenererede tilfælde holder påstanden. $x^{3}-x=0$ $y^{3}-y=0$ $x=-1,x=0,x=+1$ $y=-1,y=0,y=+1$

Noter

↑ 1 2 Weisstein, Eric W. "Cramér-Euler Paradox." Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html Arkiveret 3. februar 2018 på Wayback Machine
↑ Maclaurin, 1720 .
↑ Tweedie, 1891 , s. 87-150.
↑ 1 2 Struik, 1969 , s. 182.
↑ Tweedie, 1915 , s. 133-151.
↑ Euler, 1750 , s. 219-233.

Litteratur

Colin Maclaurin. Geometria Organica . — London, 1720.
Charles Tweedie. V. - "Geometria Organica" af Colin Maclaurin: En historisk og kritisk undersøgelse // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. - 1891. - Januar ( bind 36 , hæfte 1-2 ). - doi : 10.1017/S0080456800004932 .
Charles Tweedie. En undersøgelse af Colin Maclaurins liv og skrifter // The Mathematical Gazette. - 1915. - T. 8 , Nr. 119 . — .
Struik DJ En kildebog i matematik, 1200-1800. - 1969. - ISBN 0674823559 .
Euler L. Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes. // Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin. - 1750. - T. 4 .