Macbeath overflade

McBeath-overfladen , McBeath-kurve eller Fricke-MacBeath-kurve [1] , er en slægt 7 Hurwitz-overflade .

Egenskaber

• Automorfigruppen af ​​en McBeath-overflade er den simple gruppe PSL(2,8) bestående af 504 symmetrier. [2]

Konstruktion af en trekantet gruppe

En fuchsisk overfladegruppe kan konstrueres som en hovedkongruensundergruppe af den trekantede gruppe (2,3,7) i et passende tårn af hovedkongruensundergrupper. Valget af quaternion algebra og rækkefølgen af ​​Hurwitz quaternions er beskrevet på siden med trekantede grupper. Hvis vi vælger et ideal i ringen af ​​heltal, definerer den tilsvarende hovedkongruensundergruppe denne overflade af slægt 7. Dens systole er cirka 5.796, og antallet af systoliske sløjfer er ifølge R. Vogelers beregninger 126.

Historie

Denne overflade blev oprindeligt opdaget af Robert Fricke [3] , men opkaldt efter Alexander Murray McBeath efter hans uafhængige opdagelse senere af samme kurve [4] . Elkis skriver, at ækvivalensen af ​​kurverne studeret af Fricke og McBeath "måske først blev bemærket af Serre i et brev til Abyankar dateret den 24. juli 1990" [5] .

Se også

• Kleins quartic
• De tre første af Hurwitz

Noter

1. ↑ I dette tilfælde forstås overfladen som en kompleks algebraisk kurve (kompleks dimension 1 = reel dimension 2)
2. ↑ Wohlfahrt, 1985 , s. 239-247.
3. ↑ Fricke, 1899 , s. 321-339.
4. ↑ Macbeath, 1965 , s. 527-542.
5. ↑ Elkies, 1998 , s. 1-47.

Litteratur

• Kevin Berry, Marvin Tretkoff. Curves, Jacobians og abelske varianter, Amherst, MA, 1990. - Providence, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Matematik. Soc., 1992, s. 31-40. .
• Emilio Bujalance, Antonio F. Costa. Matematiske bidrag. - Madrid: Editorial Complutense, 1994. - S. 375-385.
• ND Elkies. Algoritmisk talteori: Tredje internationale symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. - Springer-Verlag, 1998. - T. 1423. - ( Lecture Notes in Computer Science ). — ISBN 3-540-64657-4 . - doi : 10.1007/BFb0054849 . .
• R. Fricke. Über eine einfache Gruppe von 504 Operationen // Mathematische Annalen . - 1899. - T. 52 , Nr. 2-3 . - doi : 10.1007/BF01476163 . .
• R. Gofmann. Weierstrass peger på Macbeaths kurve //Vestnik Moskov. Univ. Ser. Jeg er ved. Mekh .. - 1989. - T. 104 , no. 5 . — S. 31–33 . . Oversættelse i Moskva Univ. Matematik. Tyr. 44 (1989), nr. 5, 37-40.
• A. Macbeath. På en kurve af slægt 7 // Proceedings of the London Mathematical Society . - 1965. - T. 15 . - doi : 10.1112/plms/s3-15.1.527 . .
• R. Vogeler. Om geometrien af ​​Hurwitz overflader // Florida State University afhandling. - 2003. .
• K. Wohlfahrt. Macbeaths kurve og den modulære gruppe // Glasgow Math. J .. - 1985. - T. 27 . - doi : 10.1017/S0017089500006212 . . Berigtigelse, bd. 28, nr. 2, 1986, s. 241,.