Skæringspunkt (euklidisk geometri)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. december 2021; checks kræver 7 redigeringer .

Et skæringspunkt i euklidisk geometri er et punkt eller en kurve , der deles af to eller flere objekter (såsom kurver, planer og overflader ). Det enkleste tilfælde er skæringen af to forskellige linjer i planet, som enten er et enkelt punkt eller ikke eksisterer, hvis linjerne er parallelle .

Opgaven med at finde skæringspunktet mellem planer - todimensionale lineære geometriske objekter indlejret i et multidimensionelt rum - er reduceret til at løse et system af lineære ligninger .

Generelt er skæringspunktet defineret af et system af ikke- lineære ligninger , som kan løses numerisk , for eksempel ved hjælp af Newtons metode . Problemer om skæringspunktet mellem en ret linje og et keglesnit ( cirkel , ellipse , parabel osv.) eller en kvadratisk ( kugle , cylinder , hyperboloid osv.) fører til andengradsligninger , der let kan løses. Skæringspunkter mellem kvadrikker fører til ligninger af fjerde grad , som kan løses algebraisk .

På flyet

To linjer

Sådan finder du skæringspunktet mellem to ikke-parallelle linjer:

{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2))

man kan bruge for eksempel Cramers regel , eller ved at erstatte en variabel, koordinaterne for skæringspunktet : $(x_{s},y_{s})$

x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}} ,\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}

(Hvis , så er disse linjer parallelle, hvilket betyder, at disse formler ikke kan bruges, fordi de involverer at dividere med 0.) $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$

To segmenter

For to ikke-parallelle linjestykker , og dette punkt er ikke nødvendigvis skæringspunktet (se diagram), fordi skæringspunktet for de tilsvarende linjer ikke behøver at være indeholdt i linjestykkerne. For at kontrollere situationen bruges parametriske repræsentationer af linjer: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ $(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$ $(x_{0},y_{0})$

(x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1} )),

(x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3} )).

Segmenterne skærer kun i et fælles punkt på de tilsvarende linjer, hvis de tilsvarende parametre opfylder betingelsen . Parametrene er løsningen af det lineære system $(x_{0},y_{0})$ $s_{0},t_{0}$ $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ $s_{0},t_{0}$

s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},

s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .

Det kan løses for s og t ved hjælp af Cramers regel (se ovenfor ). Hvis betingelsen er opfyldt , indsættes eller i den tilsvarende parametriske repræsentation, og skæringspunktet opnås . $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ $s_{0}$ $t_0$ $(x_{0},y_{0})$

Eksempel: For segmenter og et lineært system opnås $(1,1),(3,2)$ $(1,4),(2,-1)$

2s-t=0

s+5t=3

og . Det betyder: linjerne skærer hinanden i et punkt . $s_{0}={\tfrac {3}{11)),t_{0}={\tfrac {6}{11}}$ $({\tfrac {17}{11)),{\tfrac {14}{11)))$

Bemærk: I betragtning af rette linjer i stedet for segmenter defineret af par af punkter, kan hver betingelse udelades, og metoden giver linjernes skæringspunkt (se ovenfor ). $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$

Linje og cirkel

For skæringspunktet mellem et linjestykke og en cirkel skal du løse en lineær ligning for x eller y og erstatte med cirkelligningen og få løsningen (ved hjælp af andengradsligningsformlen) med: $økse+by=c$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$

x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

hvis . Hvis denne betingelse er opfyldt med streng ulighed, så er der to skæringspunkter; i dette tilfælde kaldes den rette linje cirklens sekantlinje, og linjestykket, der forbinder skæringspunkterne, kaldes cirklens korde . $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0$

Hvis , så er der kun ét skæringspunkt, og linjen er tangent til cirklen. Hvis den svage ulighed ikke er opfyldt, skærer linjen ikke cirklen. $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$

Hvis midten af cirklen ikke er oprindelsen [1] , kan man overveje skæringspunktet mellem en linje og en parabel eller hyperbel.

To cirkler

Bestemmelse af skæringspunkterne for to cirkler:

(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^ {2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}

reducerer til det foregående tilfælde af skæringspunktet mellem en linje og en cirkel. Ved at trække disse to ligninger fra, opnås en lineær ligning:

2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_ {1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.

Denne særlige linje er den radikale akse for de to cirkler .

Særligt tilfælde ; i dette tilfælde er origo centrum af den første cirkel, og det andet centrum ligger på x-aksen (se diagrammet $\;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0$ [ finish ] ). Ligningen for den radikale linje forenkler til: og skæringspunkterne kan skrives som med $\;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;$ $(x_{0},\pm y_{0})$

x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_ {0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2))}\ .

I tilfælde af en cirkel har de ikke fælles punkter. I tilfælde af cirkler har de ét fælles punkt, og den radikale akse er en fælles tangent. $r_{1}^{2}<x_{0}^{2}$
${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2))$

Enhver generel sag, som beskrevet ovenfor, kan omdannes til en speciel sag ved at skifte og dreje.

Skæringspunktet mellem to cirkler (det indre af to cirkler) danner en form kaldet en linse .

To keglesnit

Problemet med skæringen af en ellipse , hyperbel , parabel med et andet keglesnit er reduceret til et system af andengradsligninger , som i særlige tilfælde er let at løse ved at eliminere en koordinat. Særlige egenskaber ved koniske sektioner kan bruges til at opnå en løsning . Generelt kan skæringspunkter bestemmes ved at løse ligningen ved hjælp af Newtons iteration. Hvis a) begge kegleformer er givet implicit (ved hjælp af en ligning), er en todimensionel Newton-iteration nødvendig; b) den ene implicit, og den anden parametrisk - det er nødvendigt, at Newtons 1-dimensionelle iteration er givet.

To glatte kurver

To kurver i (todimensionelt rum), der er kontinuerligt differentierbare (det vil sige, der er ingen skarp bøjning) har et skæringspunkt, hvis de har et fælles punkt i planet og har på det punkt $\mathbb {R} ^{2}$

a: forskellige tangenter ( tværgående skæring ) eller b: tangentlinjen er fælles, og de skærer hinanden (tangential skæring , se diagram).

Hvis begge kurver har et fælles punkt S og en tangent, men ikke skærer hinanden, "rører" de blot ved punktet S.

Da krydsningsberøringer er sjældne og vanskelige at håndtere, tager de følgende overvejelser ikke denne sag i betragtning. Under alle omstændigheder er alle nødvendige differentialforhold forudsat nedenfor. Bestemmelse af skæringspunkter resulterer altid i en eller to ikke-lineære ligninger, der kan løses ved hjælp af Newtons iteration. Listen over tilfælde, der opstår, er som følger:

Hvis begge kurver er givet eksplicit : , giver ligningen ligningen $y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)$

f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .

Hvis begge kurver er angivet parametrisk : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).$

Ved at sætte lighedstegn mellem dem får vi to ligninger med to variable:

x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .

Hvis den ene kurve er givet parametrisk og den anden implicit : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.$

Dette er det enkleste tilfælde udover det eksplicitte. Du skal indsætte en parametrisk repræsentation i kurveligningen , og du får ligningen:

C_{1}

f(x,y)=0

C_{2}

f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .

Hvis begge kurver er givet implicit : $C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.$

Her er skæringspunktet systemets løsning

f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .

Enhver iteration af Newton kræver bekvemme begyndelsesværdier, som kan opnås ved at visualisere begge kurver. En parametrisk eller eksplicit defineret kurve kan let visualiseres, fordi det for en hvilken som helst parameter henholdsvis t eller x er let at beregne det tilsvarende punkt. For implicit definerede kurver er denne opgave ikke så enkel. I dette tilfælde er det nødvendigt at bestemme kurvens punkt ved hjælp af begyndelsesværdier og iteration [2] .

Eksempler:

1: og cirkel (se diagram).

C_{1}:(t,t^{3})

C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0

Newton iteration for en funktion

t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n))}}

f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10

skal gøres. Du kan vælge −1 og 1,5 som startværdier. Skæringspunkter: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046) 2:

C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,

C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0

(se diagram). Newton iteration

{x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}

skal være opfyldt, hvor er løsningen af det lineære system

{\delta _{x} \choose \delta _{y))

{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac { \partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{ y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}

på punktet . Du kan vælge (−0,5, 1) og (1, −0,5) som startværdier.

(x_{n},y_{n})

Det lineære system kan løses ved hjælp af Cramers regel. Skæringspunkterne er (−0,3686, 0,9953) og (0,9953, −0,3686).

To polygoner

Hvis man ønsker at bestemme skæringspunkterne for to polygoner , kan man kontrollere skæringspunktet for et hvilket som helst par af linjestykker af polygonerne (se ovenfor ). For polygoner med et stort antal segmenter er denne metode ret besværlig. I praksis accelereres skæringsalgoritmen ved hjælp af vinduestests . I dette tilfælde kan du opdele polygonerne i små subpolygoner og definere det mindste vindue (rektangel med sider parallelle med koordinatakserne) for enhver subpolygon. Inden den møjsommelige bestemmelse af skæringspunktet mellem to linjestykker påbegyndes, kontrolleres ethvert vinduespar for tilstedeværelsen af fælles punkter [3]

I rummet (tre dimensioner)

I 3D-rum er der skæringspunkter (fællespunkter) mellem kurver og overflader. I de følgende afsnit betragter vi kun det tværgående kryds .

Linje og fly

Skæringspunktet mellem en linje og et plan i generel position i tre dimensioner er et punkt.

Normalt er en linje i rummet repræsenteret parametrisk , og en plan er repræsenteret ved en ligning . Indsættelse af parameterrepræsentationen i ligningen giver den lineære ligning $(x(t),y(t),z(t))$ $ax+by+cz=d$

ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,

for skæringspunktsparameteren . $t_0$ $(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))$

Hvis den lineære ligning ikke har nogen løsning, ligger linjen enten på planet eller er parallel med det.

Tre fly

Hvis en linje er defineret af to skærende planer og skal skæres af et tredje plan , skal det fælles skæringspunkt for de tre planer estimeres. $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2$ $\varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}$

Tre planer med lineært uafhængige normalvektorer har et skæringspunkt $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3$ ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}$

{\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+ d_{2}({\vec {n}}_{3}\time {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times { \vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\time {\vec {n}}_{3 })}}\ .

For beviset bør det etableres ved hjælp af reglerne for det tredobbelte skalarprodukt . Hvis det tredobbelte punktprodukt er 0, så har flyene enten ikke et tredobbelt skæringspunkt, eller det er en ret linje (eller et plan, hvis alle tre planer er ens). ${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,$

Kurve og overflade

I lighed med det plane tilfælde fører følgende tilfælde til ikke-lineære systemer, der kan løses ved hjælp af Newtons 1- eller 3-dimensionelle iteration [4] :

parametrisk kurve og $C:(x(t),y(t),z(t))$

parametrisk overflade

S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,

parametrisk kurve og $C:(x(t),y(t),z(t))$

implicit overflade

S:f(x,y,z)=0\ .

Eksempel:

parametrisk kurve og

C:(t,t^{2},t^{3})

implicit overflade (se figur).

S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0

Skæringspunkter: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

Skæringspunktet mellem en linje og en kugle er et specialtilfælde.

Som i tilfældet med en linje og et plan, består skæringspunktet mellem en kurve og en overflade generelt af diskrete punkter, men kurven kan være delvist eller helt indeholdt af overfladen.

Linje og polyeder

To overflader

To tværgående skærende overflader giver en skæringskurve . Det enkleste tilfælde er skæringslinjen mellem to ikke-parallelle planer.

Noter

↑ Hartmann, 2003 , s. 17.
↑ Hartmann, 2003 , s. 33.
↑ Hartmann, 2003 , s. 79.
↑ Hartmann, 2003 , s. 93.

Litteratur

Erich Hartmann. Geometri og algoritmer til computerstøttet design . — Darmstadts teknologiske universitet, 2003.