Perfekt pointe

Et ukorrekt punkt , et ideelt punkt , et omega-punkt eller et punkt ved uendelighed [1] er et veldefineret punkt uden for et hyperbolsk plan eller rum. Givet en linje l og et punkt P uden for l , så konvergerer linjerne, der går gennem P , til højre og venstre parallelt i grænsen til linje l , til l ved ideelle punkter .

I modsætning til det projektive tilfælde danner de ideelle punkter en grænse snarere end en undermanifold. Disse linjer skærer sig således ikke i et ideelt punkt, og sådanne punkter, selvom de er veldefinerede , tilhører ikke selve det hyperbolske rum.

De ideelle punkter danner tilsammen Cayleys absolutte eller grænsen for hyperbolsk geometri . For eksempel danner enhedscirklen Cayley absolutte af Poincaré -diskmodellen og Klein-diskmodellen . Samtidig danner den reelle linje Cayley -absolutten af ​​halvplanmodellen [2] .

Pasch-aksiomet og sætningen om en trekants ydre vinkel gælder for en omega-trekant , som er defineret af to punkter i det hyperbolske rum og et omega-punkt [3] .

Egenskaber

Polygoner med ideelle hjørner

Perfekte trekanter

Hvis alle hjørnerne i en trekant er perfekte punkter, så er trekanten en perfekt trekant .

Perfekte trekanter har flere interessante egenskaber:

Ideelle firkanter

Hvis alle hjørnerne af en firkant er ideelle punkter, så er firkanten en perfekt firkant.

Mens alle perfekte trekanter er kongruente, er ikke alle firkanter kongruente, diagonaler kan skære hinanden i forskellige vinkler, hvilket resulterer i inkongruente firkanter med:

Perfekt firkant

En perfekt firkant, hvor to diagonaler er vinkelrette , danner et perfekt kvadrat.

Den perfekte firkant blev brugt af Ferdinand Karl Schweikart i hans notat, hvori han nævner "astral geometri". Det var en af ​​de første publikationer, der indrømmede muligheden for hyperbolsk geometri [5] .

Ideelle n -gons

Hvordan kan n - goner opdeles i ( n − 2) perfekte trekanter, og arealet af polygonen vil være lig med arealet af den perfekte trekant gange ( n − 2) .

Repræsentationer i modeller af hyperbolsk geometri

I Klein -diskmodellen og Poincare-diskmodellen af ​​det hyperbolske plan er de ideelle punkter enhedscirklerne (for det hyperbolske plan) eller enhedssfæren (for højere dimensionelle rum), som er den uopnåelige grænse for det hyperbolske rum.

Den samme hyperbolske rette linje i Klein -diskmodellen og Poincaré-diskmodellen vil passere gennem de samme to ideelle punkter.

Klein disk model

Givet to adskilte punkter p og q i den åbne enhedsskive, skærer den eneste linje, der forbinder dem enhedscirklen i to ideelle punkter , a og b (forudsat at punkterne er i rækkefølgen a , p , q , b ), således at | aq| >|ap| og |pb| > |qb|. Så er den hyperbolske afstand mellem p og q givet ved

Poincaré-diskmodellen

Givet to adskilte punkter p og q i en åben enhedsskive, så skærer en enkelt cirkulær bue ortogonal til grænsen og forbinder punkterne enhedscirklen i to ideelle punkter , a og b (forudsat at punkterne er i rækkefølgen a , p , q , b ), således at |aq| >|ap| og |pb| > |qb|. Så er den hyperbolske afstand mellem p og q givet ved

Her måles afstanden langs de (lige) segmenter aq, ap, pb og qb.

Poincaré halvplansmodellen

I halvplansmodellen er ideelle punkter punkter på grænseaksen. Der er også et andet ideelt punkt, som ikke hører til halvplansmodellen (men stråler parallelt med den positive y -halvakse nærmer sig den).

Hyperbolsk model

Der er ingen ukorrekte punkter i hyperboloidmodellen .

Se også

Noter

  1. ↑ Komatsu, 1981 , s. 103-104.
  2. ↑ Struve, Struve, 2010 , s. 151-170.
  3. ↑ Hvidsten, 2005 , s. 276-283.
  4. ↑ Thurston, 2012 .
  5. ↑ Bonola, 1955 , s. 75-77.

Litteratur