Keplers problem i den generelle relativitetsteori

Keplers problem er generelt et problem med at finde bevægelsen af to sfærisk symmetriske legemer, der interagerer gravitationsmæssigt. I den klassiske gravitationsteori blev løsningen på dette problem fundet af Isaac Newton selv: det viste sig, at kroppene vil bevæge sig langs keglesnit, afhængigt af startbetingelserne - langs ellipser, paraboler eller hyperbler. Inden for rammerne af den generelle relativitetsteori (GR), set fra et puristisk synspunkt, synes denne opgave at være dårligt stillet, eftersom modellen for en absolut stiv krop er umulig i relativistisk fysik (se Bells paradoks , Born hardness ) , og ikke-absolut stive kroppe vil ikke interagere sfærisk - symmetrisk. En anden tilgang involverer overgangen til punktlegemer, hvilket er legitimt i newtonsk fysik, men forårsager problemer i den generelle relativitetsteori. Derudover er det, ud over kroppes positioner og hastigheder, også nødvendigt at indstille det indledende gravitationsfelt (metrisk) i hele rummet - problemet med begyndelsesbetingelser i generel relativitet. Af disse grunde er der ingen nøjagtig analytisk løsning på Kepler-problemet i den generelle relativitetsteori (svarende til tre-legeme-problemet i den Newtonske tyngdekraftsteori ), men der er et sæt metoder, der giver dig mulighed for at beregne kroppens adfærd inden for dette problem med den krævede nøjagtighed: testlegemetilnærmelse , post-newtonsk formalisme , numerisk relativitet .

Historisk kontekst

I 1859 fandt den franske astronom, direktør for Paris-observatoriet Urbain Jean Joseph Le Verrier , at præcessionen af Merkurs kredsløb , bestemt ud fra observationer, ikke helt falder sammen med den teoretisk forudsagte - perihelion af kredsløbet bevæger sig lidt hurtigere end følger af Newtons teori efter at have taget højde for alle interplanetariske forstyrrelser [2] . Effekten var lille - 38" pr. århundrede, men oversteg markant målefejlene - omkring 1". Betydningen af opdagelsen var stor, og mange fysikere, astronomer og himmelmekanikere i det 19. århundrede beskæftigede sig med dette spørgsmål. Mange løsninger er blevet foreslået inden for rammerne af klassisk fysik, hvoraf den mest berømte er: tilstedeværelsen af en usynlig sky af interplanetarisk støv nær Solen, Solens oblatitet (firepolsmoment), den uopdagede Merkur-satellit eller den nye planet Vulcan tættere på Solen [3] [4] . Da ingen af disse forklaringer bestod iagttagelsesprøven, begyndte nogle fysikere at fremsætte mere radikale hypoteser om, at det er nødvendigt at ændre selve tyngdeloven, for eksempel ændre eksponenten i den eller tilføje termer afhængigt af kroppens hastighed. potentialet [5] .

De fleste af disse forsøg har dog vist sig at være modstridende. I sine værker om himmelmekanik [6] viste Laplace , at hvis gravitationsinteraktionen mellem to legemer ikke virker øjeblikkeligt (hvilket svarer til indførelsen af et hastighedsafhængigt potentiale), så vil momentum ikke blive bevaret i bevægelsessystemet. planeter - en del af momentum vil blive overført til gravitationsfeltet, svarende til hvordan det sker i den elektromagnetiske vekselvirkning af ladninger i elektrodynamik. Fra det newtonske synspunkt, hvis gravitationspåvirkningen transmitteres med en endelig hastighed og ikke afhænger af legemers hastigheder, skal alle punkter på planeten tiltrækkes til det punkt, hvor Solen var lidt tidligere, og ikke til at dens samtidige placering. På dette grundlag viste Laplace, at banernes excentricitet og semi-hovedakser i Kepler-problemet med en endelig gravitationshastighed skal stige med tiden - opleve sekulære forandringer. Fra de øvre grænser for ændringerne i disse mængder, som følge af solsystemets stabilitet og månens bevægelse, viste Laplace, at udbredelseshastigheden af den gravitationelle Newtonske interaktion ikke kan være lavere end 50 millioner lyshastigheder [3] [5] .

Kommunikeres tiltrækning fra en krop til en anden øjeblikkeligt? Sendetiden, hvis den var mærkbar for os, ville overvejende vise sig som en sekulær acceleration i månens bevægelse. Jeg foreslog dette middel til at forklare accelerationen observeret i den nævnte bevægelse, og fandt ud af, at for at tilfredsstille observationerne må man tilskrive tiltrækningskraften en hastighed, der er syv millioner gange større end lysstrålens hastighed. Og da nu årsagen til den sekulære ligning - Månen er velkendt, kan vi sige, at tiltrækningen transmitteres med en hastighed på mindst halvtreds millioner gange lysets hastighed. Derfor, uden frygt for nogen mærkbar fejl, kan vi tage overførslen af tyngdekraften som øjeblikkelig.

- P. S. Laplace Udstilling af verdenssystemet Paris, 1797. [7]

Laplaces metode er korrekt for direkte generaliseringer af Newtonsk tyngdekraft, men er muligvis ikke anvendelig til mere komplekse modeller. Så for eksempel i elektrodynamik tiltrækkes/afstødes bevægelige ladninger ikke fra de synlige positioner af andre ladninger, men fra de positioner, som de i øjeblikket ville indtage, hvis de bevægede sig ensartet og retlinet fra de synlige positioner - dette er Lienards egenskab. Wiechert potentialer [8] . En lignende betragtning inden for rammerne af den generelle relativitetsteori fører til det samme resultat op til rækkefølgen [9] . $(v/c)^{3}$

I et forsøg på at undgå disse problemer mellem 1870 og 1900 forsøgte mange videnskabsmænd at bruge lovene for gravitationel interaktion baseret på de elektrodynamiske potentialer hos Weber , Gauss , Riemann og Maxwell [10] . I 1890 lykkedes det Levy at opnå stabile baner og den rette mængde perihelionforskydning ved at kombinere Webers og Riemanns love. Et andet vellykket forsøg blev gjort af P. Gerber i 1898 . Men da de indledende elektrodynamiske potentialer viste sig at være forkerte (for eksempel var Webers lov ikke inkluderet i Maxwells endelige teori om elektromagnetisme), blev disse hypoteser afvist som vilkårlige [1] [11] . Nogle andre forsøg, såsom teorien om G. Lorentz ( 1900 ), der allerede brugte Maxwells teori, gav for lidt præcession [3] [12] .

Omkring 1904-1905 lagde arbejdet af H. Lorentz , A. Poincaré og A. Einstein grundlaget for den særlige relativitetsteori , udelukket muligheden for udbredelse af enhver interaktion hurtigere end lysets hastighed . Således opstod opgaven med at erstatte den newtonske gravitationslov med en anden, der er forenelig med relativitetsprincippet, men giver næsten newtonske effekter ved lave hastigheder og gravitationsfelter. Sådanne forsøg blev gjort af A. Poincare (1905 og 1906), G. Minkowski (1908) og A. Sommerfeld (1910). Alle overvejede modeller gav dog et for lille perihelionskifte [12] [13] .

I 1907 kom Einstein til den konklusion, at for at beskrive gravitationsfeltet er det nødvendigt at generalisere den daværende relativitetsteori, nu kaldet speciel. Fra 1907 til 1915 bevægede Einstein sig konsekvent i retning af en ny teori ved at bruge sit relativitetsprincip som en guide . Ifølge dette princip virker et ensartet gravitationsfelt på samme måde på alt stof og kan derfor ikke findes af en frit faldende observatør. Følgelig er alle lokale gravitationseffekter reproducerbare i en accelereret referenceramme og omvendt. Derfor virker tyngdekraften som en inertikraft på grund af referencerammens acceleration, såsom centrifugalkraften eller Corioliskraften ; ligesom alle disse kræfter, er tyngdekraften proportional med inertimassen . Som en konsekvens af denne omstændighed viser det sig, at på forskellige punkter i rum-tid har inertielle referencerammer accelerationer i forhold til hinanden. Dette kan kun beskrives, hvis vi ofrer den klassiske antagelse om, at vores rum er beskrevet af euklidisk geometri og går til det krumme rum i Riemannsk geometri. Desuden viser sig forbindelsen mellem rum og tid at være krum, hvilket viser sig som en gravitationskraft under normale forhold [14] . Efter otte års arbejde (1907-1915) fandt Einstein en lov, der viser, hvordan rum-tid er buet af stoffet i det - Einsteins ligninger . Tyngdekraften adskiller sig fra inertikræfter ved, at den er forårsaget af rumtidens krumning, som kan måles invariant. De allerførste løsninger af de opnåede ligninger, opnået af Einstein (omtrent) og Schwarzschild (nøjagtigt), forklarede den unormale præcession af Merkur og forudsagde dobbelt mængden af lysafvigelse sammenlignet med tidligere heuristiske estimater. Denne forudsigelse af teorien blev bekræftet i 1919 af engelske astronomer.

Tilnærmelse af et testlegeme

I denne tilgang anses det for, at massen af en krop m er ubetydelig sammenlignet med massen af den anden M ; dette er en god tilnærmelse selv for planeter, der drejer rundt om solen, og næsten ideel til rumfartøjer. I dette tilfælde kan vi antage, at det første legeme er et prøvelegeme, det vil sige, at det ikke forstyrrer det andet legemes gravitationsfelt, men kun følger de geodætiske linjer i det rum-tid, der dannes af det andet legeme. Da to-legeme-problemet normalt betragtes på en skala, der er meget mindre end kosmologiske, kan lambda-udtrykkets indflydelse på metrikken negligeres, og gravitationsfeltet for ethvert sfærisk symmetrisk legeme vil blive givet af Schwarzschild-løsningen. Bevægelsen af et let legeme, i det følgende benævnt en partikel, sker således langs Schwarzschild-rummets geodætiske linjer, hvis vi ser bort fra tidevandskræfter og tyngdekraftsstrålingens reaktion.

Det var i denne tilnærmelse, at Einstein først beregnede den unormale præcession af Merkurs perihelium, som fungerede som den første bekræftelse af den generelle relativitetsteori og løste et af de mest berømte problemer inden for himmelmekanik på det tidspunkt. Denne samme tilnærmelse beskriver nøjagtigt afbøjningen af lys, et andet berømt fænomen forudsagt af den generelle relativitetsteori. Samtidig er det ikke tilstrækkeligt at beskrive processen med relativistisk reduktion af baner på grund af gravitationsstråling.

Geometrisk introduktion

I almindelig euklidisk geometri er Pythagoras sætning sand , som siger, at kvadratet af afstanden ds² mellem to uendeligt tætte punkter i rummet er lig med summen af kvadraterne af koordinatdifferensialerne

ds^{{2}}=dx^{{2}}+dy^{{2}}+dz^{{2}},\,\!

hvor dx , dy og dz er de uendelige forskelle mellem x- , y- og z -koordinaterne for punkterne i det kartesiske koordinatsystem . Forestil dig nu en verden, hvor dette ikke længere er sandt, og afstandene er givet af forholdet

ds^{{2}}=F(x,y,z)dx^{{2}}+G(x,y,z)dy^{{2}}+H(x,y,z)dz^ {{2}},\,\!

hvor F , G og H er nogle positionsfunktioner. Dette er ikke svært at forestille sig, da vi lever i sådan en verden: Jordens overflade er buet, så den ikke kan repræsenteres uden forvrængning på et fladt kort. Ikke-kartesiske koordinatsystemer kan også være et eksempel: i sfæriske koordinater ( r , θ , φ ) skrives den euklidiske afstand som

ds^{{2}}=dr^{{2}}+r^{{2}}d\theta ^{{2}}+r^{{2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Endelig må vi i det generelle tilfælde antage, at linealerne ikke kun kan ændre deres koordinatlængde, når de skifter position, men også når de drejer. Dette fører til forekomsten af krydsudtryk i udtrykket for længden

ds^{{2}}=g_{{xx}}dx^{{2}}+g_{{xy}}dxdy+g_{{xz}}dxdz+g_{{yy}}dy^{{2} }+g_{{yz}}dydz+g_{{zz}}dz^{{2}}\,\!

hvor 6 funktioner g xx , g xy og så videre transformeres ved ændring af koordinater som komponenter af en tensor kaldet metrisk (eller simpelthen metrisk), som bestemmer alle karakteristika for rummet i denne generaliserede Riemannske geometri . I sfæriske koordinater er der for eksempel ingen krydsled i metrikken, og dens eneste ikke-nul komponenter er g rr = 1, g θθ = r ² og g φφ = r ² sin² θ.

Vi bemærker specifikt, at efter at have sat den metriske tensor i et eller andet koordinatsystem, viser hele geometrien af det Riemannske rum sig at være stift specificeret og ændres ikke under koordinattransformationer. Kort sagt er koordinater vilkårlige tal, der kun angiver et punkt i rummet, og afstanden målt af en fysisk lineal mellem to faste punkter afhænger ikke af, hvilke koordinater vi tildeler dem – det er en invariant, når man skifter koordinatgitter.

I den særlige relativitetsteori viste Albert Einstein , at afstanden ds mellem to punkter i rummet ikke er en invariant, men afhænger af observatørens bevægelse. Denne afstand viser sig at være en projektion på det samtidige rum af en virkelig invariant størrelse - et interval , som ikke afhænger af observatørens bevægelse, men som foruden de rumlige koordinater inkluderer tidskoordinaten for rum-tidspunkter , kaldet begivenheder

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dx^{{2}}-dy^{{2}}-dz^{{2}}.\,\!

På samme måde kan man omskrive intervallet i sfæriske koordinater

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dr^{{2}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^{{ 2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Denne formel er en naturlig generalisering af Pythagoras sætning og er gyldig i fravær af rumtidskrumning. I almen relativitetsteori er rum-tid imidlertid buet, så "afstand" udtrykkes ved den generelle formel

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^({\mu }}dx^{{\nu }}),\,\!

hvor Einstein summeringsreglen anvendes - ved at indekset forekommer over og under, er summeringen underforstået over alle dens værdier, i dette tilfælde - fire (tre rumlige og engangskoordinater). De nøjagtige værdier af de metriske komponenter bestemmes af fordelingen af det graviterende stof, dets masse, energi og momentum gennem Einstein-ligningerne . Einstein udledte disse ligninger fra de kendte love om bevarelse af energi og momentum; dog forudsagde løsninger til disse ligninger tidligere uobserverede fænomener, såsom lysafbøjning, som senere blev bekræftet.

Schwarzschild metrisk

Den eneste løsning af Einstein-ligningerne (uden den kosmologiske konstant) for det ydre gravitationsfelt af sfærisk symmetrisk fordelt stof (energimomentum) er Schwarzschild-metrikken.

{ds}^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\ frac {dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^ {{2}}\sin ^{{2}}\theta \,d\varphi ^{{2}}

hvor

c er lysets hastighed i meter per sekund, t - tidskoordinat i sekunder (sammenfaldende med tiden talt af et uendeligt fjernt stationært ur), r er den radiale koordinat i meter (defineret som omkredsen af cirklen - centreret på symmetripunktet - divideret med 2π), θ og φ er vinkler i sfæriske koordinater i radianer, r s er Schwarzschild-radius (i meter), der karakteriserer et legeme med masse M og lig med

r_{{s}}={\frac {2GM}{c^{{2}}}}

hvor G er gravitationskonstanten . [femten]

Newtons klassiske tyngdekraftsteori er det begrænsende tilfælde for små r s / r . I praksis er dette forhold næsten altid meget lille. For eksempel for Jorden er Schwarzschild-radius cirka 9 millimeter , mens en satellit i geostationær kredsløb er på km . For solsystemet overstiger dette forhold ikke 2 milliontedele, og kun for områder nær sorte huller og neutronstjerner bliver det væsentligt større (op til flere tiendedele). $r\simeq 42164$

Geodetiske ligninger

I overensstemmelse med den generelle relativitetsteori bevæger partikler med ubetydelig masse sig langs rumtidens geodætiske linjer [16] . I ikke-buet rum, væk fra enhver tiltrækkende kroppe, er disse geodetiske linjer lige linjer. I nærvær af tyngdekraftskilder er dette ikke længere tilfældet, og de geodætiske ligninger er skrevet som følger [17] :

{\frac {d^{2}x^{{\mu }}}{dq^{2}}}+\Gamma _({\nu \lambda }}^{{\mu }}{\frac {dx ^{{\nu }}}{dq}}{\frac {dx^({\lambda }}}{dq}}=0

hvor Γ er Christoffel-symbolerne , og variablen q parametriserer partiklens vej gennem rum-tid - dens verdenslinje , og kaldes den kanoniske parameter for den geodætiske linje. Christoffel-symbolerne afhænger kun af den metriske tensor g μν , mere præcist af hvordan den ændrer sig fra punkt til punkt. For tidslignende geodetik, langs hvilke massive partikler bevæger sig, falder parameteren q sammen med den korrekte tid τ op til en konstant faktor, som normalt tages lig med 1. For lyslignende verdenslinjer af masseløse partikler (såsom fotoner ) kan parameteren q ikke være taget lig med den rigtige tid, da den er lig med nul, men formen for geodætik er stadig beskrevet af denne ligning. Derudover kan lyslignende geodætik opnås som det begrænsende tilfælde af tidslignende geodætik, når partikelmassen har tendens til 0 (hvis partikelenergien holdes konstant).

Vi kan forenkle problemet ved at bruge problemets symmetri - på denne måde udelukker vi én variabel fra overvejelse. I ethvert sfærisk symmetrisk tilfælde sker bevægelsen i et plan, der kan vælges som planet θ = π/2. Metrikken i dette plan har formen

ds^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\frac { dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\varphi ^{{2}}.

Da det ikke afhænger af og , er der to integraler af bevægelse (se afledning nedenfor ) $\varphi$ $t$

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Substitution af disse integraler i metrikken giver

c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\ tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d \tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

så bevægelsesligningerne for partiklen bliver som følger

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left(c^{{2}}+{\frac {L^{{2}} }{m^{{2}}r^{{2}}}}\højre).

Afhængigheden af korrekt tid kan elimineres ved at bruge integralet L

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}\ venstre({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{{2}}=\venstre({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}} \left({\frac {mr^{{2}}}{L}}\right)^{{2}},

på grund af hvilket banernes ligning bliver

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\venstre (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\right),

hvor der for kortheds skyld introduceres to karakteristiske længder a og b

a={\frac {L}{mc}},

b={\frac {cL}{E}}.

Den samme ligning kan udledes fra den lagrangske tilgang [18] eller ved at bruge Hamilton-Jacobi-ligningen [19] (se nedenfor ). Løsningen af kredsløbsligningen er givet ved udtrykket

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}}}+{\frac {1}{r^{{2}}}}\ ret)}}}}.

Omtrentlig formel for afbøjning af lys

I grænsen for partikelmasse m , der har en tendens til nul (eller tilsvarende ), bliver kredsløbsligningen $en\højrepil \infty$

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt ({\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{{2}}}}}}}}.

Udvider vi dette udtryk i potenser af forholdet r s / r , i den første tilnærmelse får vi afvigelsen δ φ af en masseløs partikel under dens flyvning forbi gravitationscentret:

\delta \varphi \approx {\frac {2r_{{s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{{2}}b}}.

Konstanten b her kan fortolkes som en påvirkningsparameter , afstanden til nærmeste tilnærmelse. Den tilnærmelse, der bruges til at udlede denne formel, er nøjagtig nok til de fleste praktiske anvendelser, herunder målinger af gravitationslinser . For lys, der passerer nær soloverfladen, er afbøjningen omkring 1,75 buesekunder .

Forbindelse med klassisk mekanik og præcession af elliptiske baner

Ligninger for partikelbevægelse i Schwarzschild-feltet

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-c^{{2}}+{\frac {r_{{s}}c^{{2}}}{r}}-{\frac {L^{{2}}}{m ^{{2}}r^{{2}}}}+{\frac {r_{{s}}L^{{2}}}{m^{{2}}r^{{3}}} }

kan omskrives ved hjælp af definitionen af gravitationsradius r s :

{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}=\left[{\frac {E^{{2}} }{2mc^{{2))))-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^ {{2}}}{2mr^{{2}}}}+{\frac {GML^{{2}}}{c^{{2}}mr^{{3}}}}

hvilket svarer til bevægelsen af en ikke- relativistisk partikel med energi i et endimensionelt effektivt potentiale ${\frac {E^{{2}}}{2mc^{{2}}}}-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}$

V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{{2}}}{2mr^{{2}}}}-{\frac {GML^{{2} }}{c^{{2}}mr^{{3}}}}.

De to første led svarer til de velkendte klassiske: Newtons gravitationelle attraktionspotentiale og det frastødende centrifugalpotentiale, og kun det tredje led har ingen analog i det klassiske Kepler-problem. Som vist nedenfor og andre steder får et sådant udtryk elliptiske baner til at præcessere med en vinkel δφ pr.

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\venstre(1-e^{{2}}\højre)))

hvor A er kredsløbets semi -hovedakse , og e er dens excentricitet .

Det tredje led har karakter af tiltrækning og ændrer potentialets adfærd ved lille r — i stedet for at gå til , forhindrer partiklen i at falde til midten (som det var i det klassiske Kepler-problem), går potentialet til , hvilket tillader partikel til at falde (for flere detaljer, se falde ned i et sort hul ). $+\infty$ $-\infty$

Cirkulære baner og deres stabilitet

Det effektive potentiale V kan omskrives i form af længdeparametrene a og b

V(r)={\frac {mc^{{2}}}{2}}\venstre[-{\frac {r_{{s}}}{r}}+{\frac {a^{{2 }}}{r^{{2}}}}-{\frac {r_{{s}}a^{{2}}}{r^{{3}}}}\right].

Cirkulære baner er mulige med en effektiv kraft lig nul

F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{{2}}}{2r^{{4}}}}\left[r_{{s}}r^{{ 2}}-2a^{{2}}r+3r_{{s}}a^{{2}}\right]=0,

det vil sige, når to tiltrækningskræfter - Newtonsk tyngdekraft (første led) og dens relativistiske korrektion (tredje led) - er nøjagtigt afbalanceret af en frastødende centrifugalkraft (anden led). Der er to radier, hvor denne kompensation opnås

r_{{{\mathrm {ydre}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}}}\højre),

r_{{{\mathrm {indre}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{{2}}}}}}\right)={\frac {3a^{{2}}}{r_{{{\mathrm {ydre } }}}}}},

som er direkte afledt af andengradsligningen ovenfor. Den indre radius r indre viser sig at være ustabil for nogen værdier af a , da den tiltrækkende kraft der vokser hurtigere end den frastødende kraft, så enhver forstyrrelse får partiklen til at falde på midten. Banerne i den ydre radius er stabile - der er den relativistiske tiltrækning lille, og deres karakter falder næsten sammen med banerne for det ikke-relativistiske Kepler-problem.

Når a er meget større end r s (det klassiske tilfælde), har størrelserne af banerne en tendens til at

r_{{{\mathrm {ydre}}}}\ca. {\frac {2a^{{2}}}{r_{{s}}}},

r_{{{\mathrm {indre}}}}\ca. {\frac {3}{2}}r_{{s}}.

Ved at erstatte definitionerne af a og r s med r ydre får vi den klassiske formel for en partikel i en cirkulær bane omkring et gravitationscenter af massen M

r_{{{\mathrm {ydre}}}}^{{3}}\ca. {\frac {GM}{\omega _{{\varphi }}^{{2}}}},

hvor ω φ er partiklens orbitale vinkelhastighed.

Når a ² har en tendens til 3 r s ² (fra oven), konvergerer de ydre og indre radier til

r_{{{\mathrm {ydre}}}}\højrepil r_{{{\mathrm {indre}}}}\højrepil 3r_{{s}}.

Løsning af andengradsligningen sikrer, at r ydre altid er større end 3 r s , og r indre ligger mellem 3 ⁄ 2 r s og 3 r s . Cirkulære baner med en radius mindre end 3 ⁄ 2 r s er ikke mulige. Selve kredsløbet r indre = 3 ⁄ 2 r s er det begrænsende tilfælde for masseløse partikler når , så en kugle med denne radius kaldes nogle gange en fotonkugle . $en\højrepil \infty$

Præcession af elliptiske baner

Orbital præcessionshastigheden kan udledes af det effektive potentiale V. En lille afvigelse langs radius fra kredsløbscirklen r=r ydre vil oscillere med en frekvens

\omega _{{r}}^{{2}}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{{2}}V}{dr^{{2}}} }\right]_{{r=r_{({\mathrm {ydre}}}}}}=\venstre({\frac {c^{{2}}r_{{s}}}{2r_{{{ \mathrm {ydre}}}}^{{4}}}}\right)\left(r_{({\mathrm {ydre}}}}-r_{{{\mathrm {indre}}}}\right) =\omega _{{\varphi }}^{{2}}{\sqrt {1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}} }.

Serieudvidelsen giver

\omega _{{r}}=\omega _{{\varphi }}\left(1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}}}} +\cdots\right).

Multiplicering med revolutionsperioden T fører til præcession på én omdrejning

\delta \varphi =T\left(\omega _{{\varphi }}-\omega _{{r}}\right)\ca. 2\pi \left({\frac {3r_{{s}}^{ {2}}}{4a^{{2}}}}\right)={\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}} }r_{{s}}^{{2}},

hvor ω φ T = 2 n og definitionen af a bruges . Udskiftning af r s , får vi

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}}}\venstre({\frac {4G^{{2 }}M^{{2}}}{c^{{4}}}}\right)={\frac {6\pi G^{{2}}M^{{2}}m^{{2 }}}{c^{{2}}L^{{2}}}}.

Ved at bruge bane A 's semi-hovedakse og excentriciteten e , relateret til

{\frac {L^{{2}}}{GMm^{{2}}}}=A\venstre(1-e^{{2}}\højre),

vi når frem til den mest berømte præcessionsformel

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\venstre(1-e^{{2}}\højre))).

Præcis løsning for en bane i elliptiske funktioner

Introduktion til den dimensionsløse variabel

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

kredsløbsligning

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\venstre (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\right)

kan forenkles

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }},

hvor konstante dimensionsløse koefficienter g 2 og g 3 er defineret som

{\begin{aligned}g_{{2}}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}} )),\\g_{{3}}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{24a^{{2}}} }-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{16b^{{2}}}}.\end{aligned}}

Løsningen af denne ligning for kredsløbet er givet som et ubestemt integral

\varphi -\varphi _{{0}}=\int {\frac {d\zeta }{{\sqrt {4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}}}}}.

Det følger heraf, at op til et faseskift, , hvor er Weierstrass elliptiske funktion med parametrene g 2 og g 3 , og φ 0 er den (muligvis komplekse) integrationskonstanten. $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$ $\wp$

Kvalitativ karakter af mulige baner

En komplet kvalitativ analyse af mulige baner i Schwarzschild-feltet blev først udført af Yu. Hagihara i 1931.

Baner i Schwarzschild-feltet beskrives ved bevægelsesligningen

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}.

Hvis diskriminanten er større end 0, så er den kubiske ligning $\Delta =g_{{2}}^{{3}}-27g_{{3}}^{{2}}$

G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3}}=0\,

har tre forskellige reelle rødder e 1 , e 2 og e 3 , som kan sorteres i faldende rækkefølge

e_{{1}}>e_{{2}}>e_{{3}}.

I et sådant tilfælde er løsningen en elliptisk funktion med to halvperioder, den ene rent reel $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$

\omega _{{1}}=\int _{{e_{{1}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}-g_{ {2}}z-g_{{3}}}}}},

og det andet er rent imaginært

\omega _{{3}}=i\int _{{-e_{{3}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}- g_{{2}}z-g_{{3}}}}}}.

Den resterende mellemrod bestemmer den komplekse halvperiode ω 2 \u003d -ω 1 - ω 3 . Disse størrelser er relateret til de tilsvarende rødder gennem ligningerne ( i = 1, 2, 3). Derfor, når ( n er et heltal), bliver den afledede af ζ 0, det vil sige, at banen når periastronen eller apoasteren - punktet for henholdsvis maksimal tilgang og fjernelse: $\wp (\omega _{{i}})=e_{{i}}$ $\varphi -\varphi _{0}=n\omega _{i}$

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ {\mathrm {når}}\ \zeta =\wp (-\omega _{{i}})=e_{{i}}

fordi

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\ zeta -g_{{3}}=4\venstre(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3 }}\ret).

Banens kvalitative karakter afhænger af valget af φ 0 . Løsninger med φ 0 = ω 2 svarer enten til baner, der svinger fra ζ= e 2 til ζ= e 3 eller til baner, der går til det uendelige (ζ=-1/12). Omvendt beskriver løsninger med φ 0 lig med ω 1 eller et hvilket som helst andet reelt tal baner, der konvergerer mod centrum, da det reelle ζ ikke kan være mindre end e 1 og derfor uundgåeligt vil vokse til uendeligt.

Kvasi-elliptiske baner

Løsninger , hvor φ 0 = ω 2 giver reelle værdier af ζ forudsat at energien E opfylder uligheden E 2 < m 2 c 4 . I dette tilfælde tager ζ værdier i intervallet e 3 ≤ ζ ≤ e 2 . Hvis begge rødder er større end − 1 ⁄ 12 , så kan ζ ikke tage denne værdi, som svarer til at partiklen går til det uendelige, så kroppen vil udføre en endelig bevægelse, som kan repræsenteres som en bevægelse langs en forudgående ellipse. Kroppens radiale koordinater vil svinge uendeligt imellem $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

r_{{min}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{2}}}}

r_{{max}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{1}}}},

som svarer til ekstreme værdier af ζ . Den reelle periode for Weierstrass elliptiske funktion er 2ω 1 ; partiklen vender således tilbage til samme radius, når vinkelkoordinaten stiger med 2ω 1 , hvilket generelt set adskiller sig fra 2π. Derfor præcesserer kredsløbet normalt, men ved , er præcessionsvinklen pr. omdrejning (2ω 1 − 2π) ret lille. $r_{{min}}\ll r_{g}$

Stabile cirkulære baner

Specialtilfældet 2 e 2 = 2 e 3 = − e 3 svarer til løsningen med ζ = const = e 2 = e 3 . Det viser sig en cirkulær bane med r = r ydre ikke mindre end 3 r s . Sådanne baner er stabile, da små forstyrrelser af parametrene fører til spaltning af rødderne, hvilket fører til kvasi-elliptiske baner. For eksempel, hvis en partikel "skubbes" lidt i radial retning, vil den begynde at oscillere rundt om den uforstyrrede radius, hvilket beskriver en forudgående ellipse.

Uendelige baner

Da r har en tendens til det uendelige, har ζ en tendens til − 1 ⁄ 12 . Derfor svarer baner, der går uendeligt tilbage eller nærmer sig fra uendeligt til det centrale legeme, til periodiske løsninger, hvor − 1 ⁄ 12 falder ind i det tilgængelige ζ - interval, det vil sige for e 3 ≤ − 1 ⁄ 12 ≤ ζ ≤ e 2 .

Asymptotisk cirkulære baner

Et andet specialtilfælde svarer til − e 3 = 2 e 2 = 2 e 1 , dvs. to rødder af G ( ζ ) er positive og lig med hinanden, og den tredje er negativ. Baner i dette tilfælde er spiraler, snoede eller viklinger, da φ har en tendens til uendelig (uanset positiv eller negativ) på en cirkel med radius r , defineret af relationen

{\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

Ved at angive den gentagne rod e = n ²/3 får vi kredsløbsligningen, som er let at verificere ved direkte substitution:

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{{2}}}{\cosh ^{{ 2}}n\varphi}}.

I sådanne tilfælde er partiklens radiale koordinat mellem 2 r s og 3 r s .

Ligningen for sådanne baner kan fås fra udtrykket af Weierstrass elliptiske funktion i form af Jacobi elliptiske funktioner

\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})=e_{{1}}+\left(e_{{1}}-e_{{3}}\right){\frac {{ \mathrm {cn}}^{{2}}w}{{\mathrm {sn}}^{{2}}w}},

hvor er modulet $w=(\phi -\phi _{{0}}){\sqrt {e_{{1}}-e_{{3}}}}$

k={\sqrt {{\frac {e_{{2}}-e_{{3}}}{e_{{1}}-e_{{3}}}}}}.

I grænsen for sammenfaldende e 2 og e 1 tenderer modulet til enhed, og w går til n (φ − φ 0 ). Ved at vælge φ 0 imaginært, lig med (en fjerdedel af perioden), kommer vi til ovenstående formel. $iK^{{\prime }}$

Fald til midten

I reelle løsninger , hvor φ 0 er lig med ω 1 eller nogle andre reelle tal, kan ζ ikke blive mindre end e 1 . På grund af bevægelsesligningerne $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}=4\venstre(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3}}\right)

ζ stiger uden grænse, hvilket svarer til at falde på midten r = 0 efter et uendeligt antal omdrejninger omkring det.

Afledning af kredsløbsligningen

Fra Hamilton-Jacobi-ligningen

Fordelen ved denne udledning er, at den gælder både for partikelbevægelse og bølgeudbredelse, hvilket let fører til et udtryk for lysets afbøjning i et gravitationsfelt ved hjælp af Fermats princip . Den grundlæggende idé er, at på grund af gravitationstidsudvidelsen bevæger dele af bølgefronten, der er tættere på den graviterende masse, sig langsommere end dem, der er længere væk, hvilket fører til en krumning af bølgefrontens udbredelse.

På grund af den generelle kovarians kan Hamilton-Jacobi-ligningen for en partikel i vilkårlige koordinater skrives som

g^{{\mu \nu }}{\frac {\partial S}{\partial x^({\mu }}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{{\nu }} }}=m^{{2}}c^{{2}}.

I Schwarzschild-metrikken tager denne ligning formen

{\frac {1}{c^{{2}}\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)))\left({\frac {\partial S} {\partial t}}\right)^{{2}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S} {\partial r}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{r^{{2}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }} \right)^{{2}}=m^{{2}}c^{{2}},

hvor referenceplanet for det sfæriske koordinatsystem er placeret i kredsløbets plan. Tid t og længdegrad φ er cykliske koordinater , så løsningen for handlingsfunktionen S kan skrives som $\theta$

S=-Et+L\varphi +S_{{r}}(r)\,,

hvor E og L repræsenterer henholdsvis partiklens energi og dens vinkelmomentum . Hamilton-Jacobi-ligningen fører til en integralløsning for den radiale del S r (r)

S_{{r}}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b ^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}} }+{\frac {1}{r^{{2}}}}\right)}}.

Differentiering af funktionen S på sædvanlig måde

{\frac {\partial S}{\partial L))=\varphi +{\frac {\partial S_{{r))}{\partial L))={\mathrm {konstant)),

vi kommer til den tidligere opnåede kredsløbsligning

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\venstre (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\right).

Denne tilgang kan bruges til elegant at udlede den orbitale præcessionshastighed [20] .

I grænsen for nul masse m (eller tilsvarende uendelig a ) bliver den radiale del af handlingen S

S_{{r}}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{{2}}}{\left(r-r_{{s} }\right)^{{2}}}}-{\frac {b^{{2}}}{r\left(r-r_{{s}}\right)}}}},

ud fra dette udtryk udledes en ligning for afbøjningen af en lysstråle [20] .

Fra Lagranges ligninger

I generel relativitetsteori bevæger frie partikler med ubetydelig masse m , som adlyder ækvivalensprincippet , sig langs geodetik i rumtid skabt af graviterende masser. Rum-tidsgeodætik er defineret som kurver, hvis små variationer - for faste start- og slutpunkter - ikke ændrer deres længde s . Dette kan udtrykkes matematisk ved hjælp af variationsregningen

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_({\mu \nu}}{\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }}{\ frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau ,

hvor τ er den rigtige tid , s = cτ er længden i rum-tid, og størrelsen T er defineret som

2T=c^{{2}}=\venstre({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{{2}}=g_{{\mu \nu}}{\frac {dx^ {{\mu }}}{d\tau }}{\frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{ r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({ \frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

i analogi med kinetisk energi . Hvis for kortheds skyld den afledte med hensyn til korrekt tid er angivet med en prik

{\dot {x}}^{{\mu }}={\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }},

så kan T skrives som

2T=c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\dot {t}} \right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^ {{2}}-r^{{2}}\left({\dot {\varphi }}\right)^{{2}}.

Konstante værdier, såsom c eller kvadratroden af to, påvirker ikke svaret på variationsproblemet, og ved at bære variationen under integralet kommer vi frem til Hamiltons variationsprincip.

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}({\sqrt {2T}}}}d\tau ={\frac {1}{c} }\delta \int Td\tau .

Løsningen af variationsproblemet er givet ved Lagrange-ligningerne

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^({\sigma }}}}\right)={\frac { \partial T}{\partial x^{{\sigma )))).

Når de anvendes på t og φ , fører disse ligninger til eksistensen af bevarede mængder

{\frac {d}{d\tau }}\venstre[r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }} \right]=0,

som kan omskrives som ligninger for L og E

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Som vist ovenfor fører substituering af disse ligninger til definitionen af Schwarzschild-metrikken til kredsløbsligningen.

Fra Hamiltons princip

Handlingsintegralet for en partikel i et gravitationsfelt har formen

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{{\ mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}}{\frac {dx^({\nu }}}{dq}}}}dq},

hvor τ er korrekt tid, og q er en jævn parametrisering af partiklens verdenslinje. Hvis vi anvender variationsregningen , så følger ligningerne for geodætik umiddelbart af dette udtryk. Beregninger kan forenkles ved at tage variationen af kvadratet af integranden. I Schwarzschild-feltet er denne firkant lig med

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_({\mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}} {\frac {dx^{{\nu }}}{dq}}=\venstre(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\højre)c^{{2}}\venstre ({\frac {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\venstre( {\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi}{dq}}\right)^{{2} }.

Ved at beregne variationen får vi

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\ frac {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{{2}}\right ].

Tager kun variationen i længdegrad φ

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{{2}}{\frac {d\varphi } {dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}

divider med for at få en variation af integranden $2c{\frac {d\tau }{dq}}$

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\ delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d \delta \varphi }{dq}}.

På denne måde

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\ frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq},

og integration af dele fører til

0=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq} }\venstre[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}.

Variationen i længdegrad forsvinder ved grænsepunkterne, og det første led forsvinder. Integralet kan kun gøres lig med nul for et vilkårligt valg af δφ, hvis de andre faktorer under integralet altid er lig med nul. Således når vi frem til bevægelsesligningen

{\frac {d}{dq}}\venstre[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0.

Ved variation i tid t opnår vi

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\venstre(1-{\frac {r_{{s}} }{r}}\right)c^{{2}}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}},

som efter at have divideret med giver en variation af integranden $2c{\frac {d\tau }{dq}}$

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau } }{\frac {d\delta t}{dq}}.

Herfra

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right) {\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

og igen integration af dele fører til udtrykket

0=c\venstre(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d }{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq },

hvorfra følger bevægelsesligningen

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\ højre]=0.

Hvis vi integrerer disse bevægelsesligninger og bestemmer integrationens konstanter, kommer vi igen til ligningerne

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Disse to ligninger for integralerne af bevægelse L og E kan kombineres til en, der vil fungere selv for fotonen og andre masseløse partikler, for hvilke den korrekte tid langs geodæten er nul:

{\frac {r^{{2}}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{{s}}}{r}}.

Post-newtonske tilgange

Da tilnærmelsen af testlegemet i virkelige problemer nogle gange har utilstrækkelig nøjagtighed, er der tilgange, der forfiner den, hvoraf en er brugen af post-newtonsk formalisme (PN-formalisme), udviklet i Eddingtons, Focks, Damours og andre relativistiske værker. videnskabsmænd. Ved at overdrive noget, kan vi sige, at i denne tilgang udvides bevægelsesligningerne for legemer, opnået fra Einstein-ligningerne, til serier i form af en lille PN-parameter , og vilkårene tages kun i betragtning til en vis grad af denne parameter. Selv brugen af 2,5PN-niveauet fører til forudsigelsen af gravitationsstråling og det tilsvarende fald i omdrejningsperioden for et gravitationsbundet system. Højere ordens korrektioner dukker også op i bevægelsen af objekter, såsom binære pulsarer. Bevægelsen af planeterne og deres satellitter, asteroider samt rumfartøjer i solsystemet er nu beregnet i den første PN-tilnærmelse. $1/c^{2}$ $(1/c^{5})$

Rettelser til den geodætiske løsning

Udstråling af gravitationsbølger og tab af energi og vinkelmomentum

Ifølge den generelle relativitetsteori udsender to kroppe, der kredser om hinanden, gravitationsbølger , hvilket får banerne til at adskille sig fra geodetik beregnet ovenfor. For solsystemets planeter er denne effekt ekstremt lille, men den kan spille en væsentlig rolle i udviklingen af tætte dobbeltstjerner .

Orbitale ændringer observeres i flere systemer, hvoraf den mest berømte er den binære pulsar kendt som PSR B1913+16 , for hvilken Alan Hulse og Joseph Taylor modtog Nobelprisen i fysik i 1993 for deres forskning . De to neutronstjerner i dette system er meget tæt på hinanden og fuldfører et kredsløb på 465 minutter . Deres kredsløb er en aflang ellipse med en excentricitet på 0,62. Ifølge den generelle relativitetsteori gør den korte periode med revolution og høj excentricitet systemet til en fremragende kilde til gravitationsbølger, hvilket fører til energitab og et fald i revolutionsperioden. De observerede periodeændringer over tredive år er i god overensstemmelse med forudsigelserne af den generelle relativitetsteori, med den bedste nøjagtighed, der nu kan opnås (ca. 0,2% fra 2009 ).

Formlen, der beskriver tabet af energi og vinkelmomentum på grund af gravitationsstråling fra to legemer i Kepler-problemet, blev opnået i 1963 [21] . Energitabsraten (gennemsnit over perioden) er angivet som [22]

-\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{4}}m_{{1}}^{{2}}m_{{2}}^ {{2}}\left(m_{{1}}+m_{{2}}\right)}{5c^{{5}}a^{{5}}\left(1-e^{{2 }}\right)^{{7/2}}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{{2}}+{\frac {37}{96}}e^ {{4}}\right),

hvor e er excentriciteten og a er den elliptiske banes semi -hovedakse . Vinkelparenteserne på venstre side af udtrykket angiver gennemsnit over en bane. På samme måde kan vi skrive for tabet af vinkelmomentum

-\left\langle {\frac {dL_{{z}}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{7/2}}m_{{1}}^{{2}} m_{{2}}^{{2}}{\sqrt {m_{{1}}+m_{{2}}}}}{5c^{{5}}a^{{7/2}}\ left(1-e^{{2}}\right)^{{2}}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{{2}}\right).

Tab af energi og vinkelmoment øges betydeligt, hvis excentriciteten har tendens til 1, det vil sige, hvis ellipsen er meget forlænget. Strålingsintensiteten stiger også med faldende størrelse a af kredsløbet. Tabet af vinkelmomentum under stråling er sådan, at kredsløbets excentricitet med tiden falder, og det har en tendens til at være cirkulært med en konstant faldende radius.

Kraften af gravitationsstråling fra planetsystemer er ubetydelig, for eksempel for solsystemet - 5 kW , hvoraf omkring 90% falder på Sol-Jupiter-systemet. Dette er ubetydeligt sammenlignet med planeternes kinetiske energi (solsystemets forventede levetid er 13 størrelsesordener længere end universets alder). Udstrålingen fra nære binære stjerner er meget større, for eksempel udsender den ovennævnte binære Hulse-Taylor pulsar ( PSR B1913+16 ), hvis komponenter er adskilt af en afstand af størrelsesordenen af Solens radius, gravitationsbølger med en effekt på 7,35 × 10 24 W , hvilket er 2 % af Solens effekt. På grund af energitabet falder afstanden mellem komponenterne i dette binære system med 3,5 m om året, og efter 300 millioner år vil stjernerne smelte sammen til én. Efterhånden som komponenterne i en dobbeltstjerne nærmer sig hinanden, vokser tyngdekraftsstrålingens kraft i omvendt proportion med den femte potens af afstanden mellem dem, og umiddelbart før fusionen når kraften enorme værdier: energi svarende til flere solmasser udstråles inden for tiendedele af et sekund, hvilket svarer til en effekt på 10 47 W. Dette er 21 størrelsesordener større end Solens lysstyrke og milliarder af gange større end lysstyrken i vores galakse (det er denne høje effekt, der gør det muligt at detektere gravitationsbølger under sammensmeltningen af neutronstjerner i en afstand af hundredvis af millioner af lysår). Kraften af gravitationsbølger under sammensmeltningen af sorte huller er endnu større: i de sidste millisekunder før sammensmeltningen er den titusinder gange større end lysstyrken af alle stjerner i den observerbare del af universet.

Numerisk relativitet

Hvis kroppene er så kompakte, at de kan bevæge sig hver for sig, selv når omløbshastigheden når en betydelig brøkdel af lysets hastighed, ophører den post-newtonske ekspansion med at fungere pålideligt. Dette er muligt i de sidste stadier af udviklingen af binære systemer bestående af neutronstjerner eller sorte huller - på grund af gravitationsstråling falder komponenterne tættere og tættere på hinanden og smelter til sidst sammen. I dette tilfælde kan legemerne ikke længere repræsenteres som punkt- eller sfærisk symmetriske, og det er nødvendigt at anvende metoder til den nøjagtige tredimensionelle numeriske løsning af Einstein-ligningerne og, i tilfælde af neutronstjerner, relativistisk magnetohydrodynamik, som er kaldet numerisk relativitet . Den første eksperimentelle test, som bekræftede forudsigelserne fra den generelle relativitetsteori og numeriske relativitetsteori med en nøjagtighed på 94%, var opdagelsen af gravitationsbølger i september 2015.

Se også

Noter og links

↑ 1 2 Rosever N. T. Perihelion of Mercury. Fra Le Verrier til Einstein = Roseveare NT Mercurys perigelion fra Le Verrier til Einstein / Per. fra engelsk. A. S. Rastorguev, red. V. K. Abalakina. - Moskva: Mir, 1985. - 246 s. — 10.000 eksemplarer.
↑ Le Verrier, UJJ Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète (fransk) // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences :magasin. - 1859. - Bd. 49 . - s. 379-383 .
↑ 1 2 3 Pais 1982
↑ Marie-Antoinette Tonnela GRUNDLÆGGENDE FOR ELEKTROMAGNETISME OG RELATIVITETSTEORI MOSKVA: FORLAG FOR UDENLANDSK LITTERATUR, 1962. Kapitel II, § 1.2.
↑ 1 2 A. F. Bogorodsky Universal gravitation Kiev: Naukova Dumka, 1971. Kapitel 2.
↑ PS Laplace Mecanique celeste, 4, livre X Paris, 1805.
↑ Citeret fra bogen: Boris Nikolaevich Vorontsov-Velyaminov Laplace Moskva: Zhurgazob'edinenie, 1937.
↑ Feynman behandler dette problem i bind 6 af The Feynman Lectures on Physics , kapitel 21, § 1.
↑ A.F. Bogorodsky Ibid. Kapitel 5, afsnit 15.
↑ Handelsmand G.-Yu. Kapitel I // Inertiens relativitet = Hans-Jürgen Treder. Die Relativitat der Tragheit. Berlin, 1972 / Per. med ham. K. A. Bronnikova. Under redaktion af prof. K. P. Stanyukovich. — M .: Atomizdat , 1975. — 128 s. - 6600 eksemplarer.
↑ Zenneck, J. Gravitation (tysk) // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. - 1903. - Bd. 5 . - S. 25-67 . (utilgængeligt link)
↑ 1 2 Vizgin V.P. Kapitel I, afsnit 2. // Relativistisk gravitationsteori (oprindelse og dannelse. 1900-1915). - Moskva: Nauka, 1981. - 352 s. - 2000 eksemplarer.
↑ Walter, S. (2007), Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905-1910 , i Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer). — T. 3: 193–252
↑ Newtons gravitationsteori kan formuleres som en krumning af denne sammenhæng, se Mizner Ch., Thorne K., Wheeler J. Gravity. M.: Mir, 1977. Bind 1. Arkivkopi dateret 9. april 2016 på Wayback Machine Kapitel 12.
↑ Landau 1975.
↑ Dette gælder for partikler af støvet stof og for kroppe, der ikke roterer for hurtigt, som vist i §§ 4 og 7 i IV-kapitlet i J. L. Sings bog General Theory of Relativity , Moscow, IL, 1963.
↑ Weinberg 1972.
↑ Whittaker 1937.
↑ Landau og Lifshitz (1975), s. 306-309.
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Theoretical Physics: Proc. godtgørelse: For universiteter. I 10 bind T. II. Felt teori. - 8. udgave, stereo. — M.: FIZMATLIT, 2003. — 536 s. - ISBN 5-9221-0056-4 (bd. II). § 101.
↑ Peters PC, Mathews J. Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit // Physical Review . - 1963. - Bd. 131 . - S. 435-440 . - doi : 10.1103/PhysRev.131.435 .
↑ Landau og Lifshitz, s. 356-357.

Litteratur

Adler, R; Bazin M. og Schiffer M. Introduktion til generel relativitet. - New York: McGraw-Hill Education , 1965. - S. 177-193. - ISBN 978-0-07-000420-7 .
Albert Einstein . Betydningen af relativitet . — 5. - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1956. - s . 92-97 . - ISBN 978-0-691-02352-6 .
Hagihara, YTeori om de relativistiske baner i et gravitationsfelt af Schwarzschild (engelsk) // Japanese Journal of Astronomy and Geophysics : journal. - 1931. - Bd. 8 . - S. 67-176 . — ISSN 0368-346X .
Lanczos, C Mekanikkens variationsprincipper . — 4. - New York: Dover Publications , 1986. - S. 330-338 . — ISBN 978-0-486-65067-8 .
Landau L. D., Lifshits E. M. Teoretisk fysik: Proc. godtgørelse: For universiteter. I 10 bind T. II. Felt teori . - 8. udgave, stereo .. - M . : FIZMATLIT, 2003. - 536 s. — ISBN 5-9221-0056-4 . (Russisk) - § 101.
Misner, CW ; Kip S. Thorne og Wheeler, JA . tyngdekraft. —San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - S. Kapitel 25 (s. 636-687), §33.5 (s. 897-901) og §40.5 (s. 1110-1116). - ISBN 978-0-7167-0344-0 . (Se gravitation (bog) .)
Pais, A. Subtil er Herren: The Science and the Life of Albert Einstein (engelsk) . - Oxford University Press , 1982. - S. 253-256. — ISBN 0-19-520438-7 .
Pauli, W Relativitetsteori . - New York: Dover Publications , 1958. - S. 40-41 , 166-169. — ISBN 978-0-486-64152-2 .
Rindler, W. Væsentlig relativitet: speciel, generel og kosmologisk . — revideret 2. - New York: Springer Verlag , 1977. - S. 143-149 . - ISBN 978-0-387-10090-6 .
Rosever N. T. Perihelion of Mercury. Fra Le Verrier til Einstein = Roseveare NT Mercurys perigelion fra Le Verrier til Einstein / Per. fra engelsk. A. S. Rastorguev, red. V. K. Abalakina. - Moskva: Mir, 1985. - 246 s. — 10.000 eksemplarer.

Synge, JL . Relativitet: Den generelle teori. - Amsterdam: North-Holland Publishing , 1960. - S. 289-298. - ISBN 978-0-7204-0066-3 .
Robert Wald . Generel relativitet. - Chicago: The University of Chicago Press , 1984. - s. 136-146. - ISBN 978-0-226-87032-8 .
Walter, S. Breaking in the 4-vectors: the fire-dimensional movement in gravitation, 1905–1910 // The Genesis of General Relativity / Renn, J.. - Berlin: Springer, 2007. - Vol. 3. - P. 193-252.

Weinberg , S. Tyngdekraft og kosmologi . - New York: John Wiley and Sons , 1972. - S. 185-201 . — ISBN 978-0-471-92567-5 .
Whittaker, ET En afhandling om den analytiske dynamik af partikler og stive legemer, med en introduktion til problemet med tre legemer . — 4. - New York: Dover Publications , 1937. - S. 389-393. — ISBN 978-1-114-28944-4 .