Brøk (matematik)

$8~/~13$		${\frac {8}{13))$	tæller
tæller	nævner		nævner
To poster for samme brøk

En brøk i aritmetik er et tal, der består af en eller flere lige store dele (andele) af en [1] .

I matematik bruges en noget generaliseret definition, der skelner mellem to typer brøker.

Almindelige brøker af formen , hvor heltal , naturlig . I modsætning til den aritmetiske definition kan en sådan brøk have et minustegn . ${\frac {m}{n))$ $m$ $n$
At skrive (ikke nødvendigvis brøktal) tal i positionstalsystemer . De mest berømte er decimalbrøker , praktiske for mennesker, og binære brøker , som bruges til beregninger på computere [2] .

I matematisk notation kaldes en brøkdel af formen eller et tal før (over) bjælken tælleren , og tallet efter bjælken (under bjælken) kaldes nævneren . Den første fungerer som udbytte , den anden som divisor . $m/n$ ${\frac {m}{n}}$

I almindelig algebra danner almindelige brøker feltet for rationelle tal .

Brøktyper

Almindelige brøker

Almindelig (eller simpel ) brøk - at skrive et rationelt tal i formen eller hvor En vandret eller skråstreg angiver et divisionstegn, hvilket resulterer i en kvotient. Udbyttet kaldes brøkens tæller , og divisoren kaldes nævneren . ${\frac {m}{n))$ $m/n,$ $n\neq 0.$

Almindelig brøknotation

Der er flere typer af at skrive almindelige brøker i trykt form:

½,
1/2 eller ( skråstreget kaldes "solidus" [3] ), $^{1}\!/_{2}$
off formel :, ${\frac {1}{2))$
formel med små bogstaver :. ${\tfrac {1}{2))$

Egne og uægte brøker

En brøk kaldes korrekt, hvis tællermodulet er mindre end nævnermodulet. En brøk, hvis tællermodul er større end eller lig med nævnermodulet, kaldes en uegen brøk og er et rationelt tal , modulo større end eller lig med en.

For eksempel er brøker , og korrekte, mens , , og er forkerte. Ethvert heltal, der ikke er nul, kan repræsenteres som en uægte brøk med nævner . ${\frac {3}{5))$ ${\frac {7}{8))$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {8}{3))$ ${\frac {9}{5}}$ ${\frac {2}{1))$ ${\frac {1}{1))$ $en$

Blandede brøker

En brøk skrevet som et ikke-negativt heltal og en egen brøk kaldes en blandet brøk og forstås som summen af dette tal og brøken. Ethvert rationelt tal kan skrives som en blandet brøk (med et minustegn foran for negative tal). I modsætning til en blandet brøk kaldes en brøk, der kun indeholder tæller og nævner, en simpel brøk .

For eksempel . $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Sammensatte fraktioner

En brøk med flere etager, eller sammensat, er et udtryk, der indeholder flere vandrette (eller mindre almindeligt, skrå) linjer:

{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}

eller eller .

{\frac {1/2}{1/3}}

{\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}

Generelt bruges brøktegnet i en sådan generaliseret betydning ikke kun til brøker, men også til kompakt notation af division, og ikke kun heltal, men også reelle og komplekse tal, funktioner, polynomier og lignende operander af forskellige divisionsoperationer .

Decimaler

En decimalbrøk er en positionsoptegnelse af en brøk, hvor nævneren ikke er givet eksplicit, men forstås som et heltal, en potens af ti (f.eks. 100, 1000 osv.). Det ser sådan ud (tegnet uden for aritmetiske udtryk er normalt udeladt): $+$

\pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots

Den del af posten, der kommer før decimaltegnet , i tilfælde af en ikke-negativ brøk, er den heltallige del af tallet (brøk), og den efter decimaltegnet er brøkdelen . Enhver almindelig brøk kan konverteres til en decimal , som i dette tilfælde enten har et begrænset antal decimaler eller er en periodisk brøk .

Eksempel: En decimal i brøkformat er . $3{,}1415926$ ${\frac {31415926}{10000000}}$

Decimaler med et uendeligt antal cifre til højre for decimaltegnet repræsenterer en uendelig række. For eksempel er 1/3 = 0,333… en uendelig række af 3/10 + 3/100 + 3/1000 +…

Decimaltal kan også udtrykkes i eksponentiel notation med negative eksponenter, såsom 6,023 × 10 −7 , hvilket betyder 0,0000006023 (multiplikation med eller tilsvarende, dividering med flytter decimaltegnet 7 pladser til venstre). $10^{{-7}}$ $10^{7},$

En anden slags brøk er procentdelen ( Latin Pro Centum - "et hundrede"), repræsenteret ved symbolet % , hvor den underforståede nævner altid er 100. Således betyder 51% 51/100. Procentandele større end 100 eller mindre end nul behandles på samme måde, f.eks. er 311 % lig med 311/100 og -27 % er lig med -27/100.

Et lignende begreb ppm eller promille indebærer en nævner på 1000 . En almindelig betegnelse for parts per million er ( engelsk parts per million - ppm), For eksempel betyder 75 ppm, at andelen er 75 / 1000000.

Internationalt system af enheder

International betegnelse	Russisk	SI system
ppm	ppm ; _ 1:10 6	mikro (mk)
ppb	milliard −1 ; 1:10 9	nano (n)
ppt	trillion −1 ; 1:10 12	pico (p)
ppquad	kvadrillion −1 ; 1:10 15	femto (f)

Generelt kan du til positionsnotation af et tal bruge ikke kun decimaltalsystemet, men også andre (inklusive specifikke, såsom fibonacci ).

Værdien af en brøk og den grundlæggende egenskab for en brøk

En brøk er blot en repræsentation af et tal. Det samme tal kan svare til forskellige brøker, både almindelige og decimale.

Hvis du multiplicerer tælleren og nævneren af en brøk med det samme beløb:

{\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}

så vil værdien af brøken forblive den samme, selvom brøkerne er forskellige. For eksempel:

{\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}

Omvendt, hvis tælleren og nævneren af en given brøk har en fælles divisor , så kan begge dele divideres med den; denne operation kaldes brøkreduktion . Eksempel:

{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}

- her er brøkens tæller og nævner reduceret med en fælles divisor .

fire

En irreducerbar brøk er en brøk, hvis tæller og nævner er coprime , det vil sige, de har ingen fælles divisorer, undtagen $\pm 1.$

For en decimalbrøk er notationen næsten altid entydig, undtagen når notationen slutter med en uendelig sekvens af enten kun nuller (som kan udelades) eller kun ni. For eksempel:

0,\!999...=1

- to forskellige indtastninger af en brøk svarer til et tal ;

2,\!13999...=2,\!14

Operationer med brøker

Dette afsnit omhandler operationer på almindelige brøker. For operationer på decimaler, se Decimal .

Reduktion til en fællesnævner

Til sammenligning, addition og subtraktion af brøker skal de konverteres ( reduceret ) til formen med samme nævner. Lad to brøker gives: og . Procedure: ${\frac {a}{b))$ ${\frac {c}{d))$

Find det mindste fælles multiplum af nævnerne :. $M=[b,d]$
Gang tælleren og nævneren af den første brøk med . $m/b$
Gang tælleren og nævneren af den anden brøk med . $m/d$

Derefter er nævnerne for begge brøker ens (lige ). I stedet for det mindste fælles multiplum kan man i simple tilfælde tage som ethvert andet fælles multiplum, for eksempel produktet af nævnere. Se sammenligningsafsnittet nedenfor for et eksempel . $M$ $M$

Sammenligning

For at sammenligne to almindelige brøker skal du reducere dem til en fællesnævner og sammenligne tællerne for de resulterende brøker. En brøk med en større tæller vil være større.

Eksempel. Sammenlign og . . Vi bringer brøkerne til nævneren . ${\frac {3}{4))$ ${\frac {4}{5))$ $\mathrm {HOK} (4,5)=20$ $tyve$

{\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}

Følgelig, ${\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}$

Addition og subtraktion

For at tilføje to fælles brøker skal du bringe dem til en fællesnævner. Tilføj derefter tællere og lad nævneren være uændret:

Eksempel 1 : + = + =

\quad {\frac {1}{2))

{\frac {1}{3))

{\frac {3}{6))

{\frac {2}{6))

{\frac {5}{6))

LCM for nævnerne (her og ) er lig med . Vi bringer brøken til nævneren , hertil skal tæller og nævner ganges med . Det viste sig . Vi bringer brøken til samme nævner, hertil skal tæller og nævner ganges med . Det viste sig . For at få brøkforskellen skal de også reduceres til en fællesnævner og derefter trække tællerne fra, mens nævneren forbliver uændret: $2$ $3$ $6$ ${\frac {1}{2))$ $6$ $3$
${\frac {3}{6))$ ${\frac {1}{3))$ $2$ ${\frac {2}{6))$

{\frac {1}{2))

— = — =

{\frac {1}{4))

{\frac {2}{4))

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

LCM for nævnerne (her og ) er lig med . Vi bringer brøken til nævneren , for dette skal vi gange tælleren og nævneren med . Vi får . $2$ $fire$ $fire$ ${\frac {1}{2))$ $fire$ $2$ ${\frac {2}{4))$

Eksempel 2 :

\quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\ cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}

Multiplikation og division

For at gange to almindelige brøker skal du gange deres tællere og nævnere:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

Især for at gange en brøk med et naturligt tal, skal du gange tælleren med tallet og lade nævneren være den samme:

{\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2

Generelt er tælleren og nævneren for den resulterende brøk muligvis ikke coprime, og brøken skal muligvis reduceres, for eksempel:

{\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.

Lad os definere en brøks gensidighed som en brøk (her ). Så, ifølge definitionen af multiplikation, er produktet af en brøk og dens gensidige 1: ${\frac {a}{b))$ ${\frac {b}{a}}$ $a,b\neq 0$

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1

For at dividere en fælles brøk med en anden, skal du gange den første brøk med den gensidige brøk af den anden:

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\ frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.

For eksempel:

{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3 }{2}}.

Eksponentiering og rodudvinding

For at hæve en brøk til en potens, skal du hæve dens tæller og nævner til samme potens:

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.

Eksempel:

\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{ 27}}

For at udtrække en rod fra en brøk, skal du udtrække den tilsvarende rod fra tælleren og nævneren:

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}} },b\neq 0.

Eksempel:

{\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}} }={\frac {4}{5}}.

Konvertering mellem forskellige optagelsesformater

For at konvertere en brøk til en decimal skal du dividere tælleren med nævneren. Resultatet kan have et begrænset antal decimaler, men det kan også være en uendelig periodisk brøk . Eksempler:

{\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5

{\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)

- en uendeligt gentagen periode skrives normalt i parentes.

For at konvertere en decimal med et endeligt antal decimaler til en fælles brøk, skal du repræsentere dens brøkdel som et naturligt tal divideret med den passende potens af 10. Derefter tilføjes den fortegnede heltalsdel til resultatet, og danner en blandet brøk. Eksempel:

71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}

En uendelig decimalbrøk kan generelt set ikke repræsenteres nøjagtigt som en almindelig. Undtagelsen er periodiske decimalbrøker , for hvilke en sådan repræsentation altid er mulig [4] .

Et eksempel (se også Konvertering af en tilbagevendende decimal til en almindelig brøk ). Lad os konvertere en periodisk brøk til en almindelig brøk. Angiv , så hvorfra: eller: Som et resultat får vi: $1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).$ $x=0{,}(142857)$ $1000000\cdot x=142857+x,$ $999999x=142857,$ $x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7)).={ \frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.$

Begrebets historie og etymologi

Det russiske udtryk fraktion kommer, ligesom dets modstykker på andre sprog, fra lat. fractura , som igen er en oversættelse af det arabiske udtryk med samme betydning: bryde, knuse . Grundlaget for teorien om almindelige brøker blev lagt af græske og indiske matematikere. Gennem araberne gik udtrykket, oversat til latin, over til Europa, det er allerede nævnt af Fibonacci (1202). Ordene tæller og nævner blev introduceret af den græske matematiker Maxim Planud .

Brøker blev beregnet i det gamle Egypten . Matematiske kilder om egyptiske brøker har overlevet den dag i dag : Rinda Matematisk Papyrus (ca. 1650 f.Kr.) [5] , Egyptisk Matematisk Læderrulle (XVII århundrede f.Kr.) [6] , Moskva Matematisk Papyrus (ca. 1850 f.Kr.), trætavle fra Akhmim (ca. 1950 f.Kr.) [7] .

I Kina findes almindelige brøker i værket " Matematik i ni bøger " (X-II århundrede f.Kr.), redigeret i det II århundrede f.Kr. e. økonomisk embedsmand Zhang Cang. Decimalbrøker stødes først på i Kina fra omkring det 3. århundrede e.Kr. e. når man regner på tællebrættet ( suanpan ). I skriftlige kilder blev decimalbrøker afbildet i det traditionelle (ikke-positionelle) format i nogen tid, men efterhånden afløste positionssystemet det traditionelle [8] . Den persiske matematiker og astronom Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) i afhandlingen "The Key of Arithmetic" (1427) erklærede sig selv som opfinderen af decimalbrøker, selvom de blev fundet i Al-Uklidisis skrifter , der levede fem århundreder tidligere [9] .

I begyndelsen opererede europæiske matematikere kun med almindelige brøker og i astronomi med sexagesimal . Den moderne betegnelse for almindelige fraktioner kommer fra det antikke Indien - først blev det lånt af araberne og derefter, i XII - XVI århundreder , af europæerne. I begyndelsen brugte brøker ikke en brøklinje: tal blev skrevet på denne måde: Brugen af en brøklinje blev konstant for kun omkring 300 år siden. I Europa var den første videnskabsmand, der brugte og udbredte det indiske tællesystem (kendt som "arabiske tal"), inklusive metoden til at skrive brøker, en italiensk købmand, rejsende, søn af en byskriver - Fibonacci (Leonardo af Pisa) [ 10] . En fuldgyldig teori om almindelige fraktioner og handlinger med dem udviklede sig i det 16. århundrede ( Tartaglia , Clavius ). ${\tfrac {1}{4)),2{\tfrac {1}{5}}$ ${\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.$

I Europa blev de første decimalbrøker introduceret af Immanuel Bonfils omkring 1350, men de blev først udbredt efter Simon Stevins værk Den tiende (1585). Stevin skrev decimaler på komplekse måder: for eksempel blev tallet 42,53 skrevet som eller 42 ⓪ 5 ① 3 ② , hvor 0 i en cirkel eller over en linje betød en hel del, 1 betød tiendedele, 2 betød hundrededele, og så videre. Kommaet er blevet brugt til at adskille hele delen siden 1600-tallet [10] . ${\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3} }$

I Rusland blev fraktioner kaldt aktier . I de første russiske lærebøger i matematik - i det 17. århundrede - blev brøker kaldt brudte tal [10] . Udtrykket brøk , som en analog til det latinske fraktura , bruges i Magnitskys Aritmetik (1703) for både almindelige og decimale brøker.

Generaliseringer

Ring af private
En rationel funktion er en brøk, der består af polynomier .

Se også

Noter

↑ Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved højere uddannelsesinstitutioner . - udg. 13. — M. : Nauka, 1985. — S. 130. — 544 s.
↑ ParaType-håndbog .
↑ Tsypkin, 1983 .
↑ Rhindens matematiske papyrus .
↑ Clagett, 1999 .
↑ Simpson, 1961 .
↑ Martzloff, 1997 .
↑ Berggren, 2007 .
↑ 1 2 3 Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd, 1997 .

Litteratur

På russisk:

Aritmetisk brøk // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - Moscow: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2. - S. 389-390.
Matematik: Proc. for 5 celler. gns. skole /udg. N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 4. udg. - Cheboksary: Chuv. Bestil. forlag, 1997. - S. 202-203, 230.
Tsypkin A.G. Håndbog i matematik for gymnasier. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1983. - S. 51. - 480 s.

På engelsk:

Berggren, J. Lennart. Matematik i middelalderlig islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien og Islam: En kildebog . - Princeton University Press , 2007. - S. 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
Jean-Claude Martzloff. En historie om kinesisk matematik. Springer (engelsk) . - 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
William K. Simpson Et yderligere fragment fra "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. - 1961. - Januar ( bind 20 , nr. 1 ). - S. 25-30 .
Clagett, Marshall. Memoirs of the American Philosophical Society 232 // Ancient Egyptian Science: A Source Book. - Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. - V. 3. - S. 17-18, 25, 37-38, 255-257.

Links

Rhindens matematiske papyrus . britisk museum. Dato for adgang: 13. januar 2019.
Brøkstang (brøkstang, Solidus) . ParaType håndbog . (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX532372 BNF : 12063899h GND : 4008387-1 J9U : 987007548245905171 LCCN : sh85051148 NDL : 00561041 NKC : ph135439

Brøker af et tal (dele af en helhed)
variabel værdi	Procent ( % ) Ppm ( ‰ ) Ti tusindedel ( ‱ ) Parts per million ( ppm, ppm ) Milliarddel ( ppb, ppb ) Billion brøk ( ppt, trillion −1 )
fast værdi	1/4 (kvartal) 1/3 (tredje) 1/2 (halv) 1/1 (alle, hele)
se også	SI-præfikser hele delen Decimal Brøkdel Decimalskilletegn Brøk En del Del (musik) Del (enhed)