Deduktion (kompleks analyse)

En rest i kompleks analyse er et objekt (et tal, en form eller en kohomologisk klasse af en form), der karakteriserer de lokale egenskaber for en given funktion eller form .

Teorien om rester af en kompleks variabel blev hovedsageligt udviklet af Cauchy i 1825-1829. Ud over ham blev vigtige resultater opnået af Eremit , Sokhotsky , Lindelöf . I 1887 generaliserede Poincaré Cauchys integralsætning og begrebet rest til tilfældet med to variable [1] , fra det øjeblik opstår den multidimensionelle teori om rester. Det viste sig dog, at dette begreb kan generaliseres på forskellige måder.

For at betegne resten af en analytisk funktion i et punkt bruges et udtryk (fra lat. residuum ). I russisksproget litteratur omtales det nogle gange som [2] . $f(z)$ $z_{0}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}\venstre[f(z),z_{0}\right]$ ${\text{calc}}\left[f(z),z_{0}\right]$

Endimensionel kompleks analyse

Funktionsfradrag

For en funktion med kompleks værdi i et domæne , der er regulær i et eller andet punkteret område af punktet , er dens rest ved punktet tallet: $f(z)$ $D\subseteq {\mathbb C}$ $a\i D$ $-en$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \ grænser _{{|za|=\rho }}\!f(z)\,dz

Da funktionen er holomorf i et lille punkteret kvarter af punktet , afhænger værdien af integralet ifølge Cauchy-sætningen ikke af tilstrækkeligt små værdier af denne parameter, såvel som af integrationsstiens form. Det eneste vigtige er, at stien er en lukket kurve i funktionens analytiske område, når den først omslutter det pågældende punkt og ingen andre punkter, der ikke tilhører holomorfiområdet . $f(z)$ $-en$ $\rho$ $f$

I nogle områder af punktet er funktionen repræsenteret af en konvergent Laurent-række i potenser af . Det er let at vise, at resten falder sammen med koefficienten for serien ved . Denne repræsentation tages ofte som definitionen af en funktions rest. $-en$ $f(z)$ $za$ $c_{{-1}}$ $(za)^{{-1}}$

Fradrag ved "uendelig"

For at muliggøre en mere fuldstændig undersøgelse af en funktions egenskaber introduceres begrebet en rest ved uendelighed, mens det betragtes som en funktion på Riemann-sfæren . Lad punktet ved uendelig være et isoleret entalspunkt , så er resten ved uendeligt et komplekst tal lig med: $f(z)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-\lim _({\rho \to \infty }}{1 \over {2\pi i}} \int \limits _{{|z|=\rho }}\!f(z)\,dz

Integrationscyklussen i denne definition er orienteret positivt, det vil sige mod uret.

I lighed med det foregående tilfælde har resten ved uendelighed også en repræsentation i form af koefficienten for Laurent-udvidelsen i nærheden af punktet ved uendelig:

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-c_{{-1}}

Resterende differentialform

Fra et synspunkt om analyse af manifolder er det unaturligt at indføre en særlig definition for et eller andet fornemt punkt i Riemann-sfæren (i dette tilfælde ved uendelighed). Desuden er en sådan tilgang vanskelig at generalisere til højere dimensioner . Derfor introduceres begrebet rest ikke for funktioner, men for differentielle -former på Riemann-sfæren: $(1,\;0)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,\omega =\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _ {{|za|=\rho }}\!\omega

Ved første øjekast er der ingen forskel på definitionerne, men nu er det et vilkårligt punkt , og fortegnsændringen ved beregning af resten ved uendelighed opnås ved at ændre variablerne i integralet. $-en$ $\overline {{\mathbb C}}$

Logaritmiske rester

Integralet kaldes den logaritmiske rest af funktionen i forhold til konturen . ${1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz$ $f(z)$ $L$

Begrebet logaritmisk rest bruges til at bevise Rouchés sætning og algebraens grundlæggende sætning .

Måder at beregne fradrag på

Per definition kan restproduktet beregnes som et konturintegral, men i det generelle tilfælde er dette ret besværligt. Derfor bruger de i praksis hovedsageligt definitionens konsekvenser.

Ved det aftagelige entalspunkt såvel som ved regelmæssighedspunktet er funktionens rest lig nul. Samtidig er dette udsagn ikke sandt for et uendeligt punkt. For eksempel har en funktion et førsteordens nul ved uendelig, dog . Grunden til dette er, at formen har en singularitet både ved nul og ved uendelig. $a\in {\mathbb C}$ $f(z)$ $f(z)={\frac {1}{z}}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{\infty }}\,{\frac 1{z}}=-1$ ${\frac {dz}{z))$

I multiplicitetspolen kan resten beregnes med formlen: $-en$ $n$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{{z\to a}}{{d^ {{(n-1)}} \over dz^{{(n-1)}}}[(za)^{n}f(z)]}

særlig situation $n=1$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{z\to a}}{(za)f(z)}

Hvis funktionen har en simpel pol i punktet , hvor og er funktioner holomorfe i nabolaget , , , så kan en enklere formel bruges: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)))$ $-en$ $g(z)$ $h(z)$ $-en$ $h(a)=0$ $h'(a)\neq 0$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a))))

Meget ofte, især i tilfælde af i det væsentlige enkeltstående punkter , er det praktisk at beregne restværdien ved hjælp af Laurent-seriens udvidelse af funktionen. For eksempel, da koefficienten for at er lig med 1. ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,e^{{1/z}}={\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,\left (1+{\frac 1{z}}+{\frac 1{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$ $z^{{-1}}$

Anvendelser af teorien om rester

I de fleste tilfælde anvendes restteori til at beregne forskellige former for integraludtryk ved hjælp af hovedrestsætningen . Ofte nyttigt i disse tilfælde er Jordans lemma .

Beregninger af bestemte integraler af trigonometriske funktioner

Lad funktionen være en rationel funktion af variablerne og . For at beregne integraler af formen er det praktisk at bruge Euler-formlerne . Hvis vi antager , at og foretager de passende transformationer, får vi: $R(u,\;v)$ $u$ $v$ $\int \limits _{0}^{{2\pi }}R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ $z=e^{{i\varphi }}$

\int \limits _{0}^{{2\pi }}\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum {\mathop {{\ mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}R(z)

Beregning af ukorrekte integraler

For at beregne ukorrekte integraler ved hjælp af teorien om rester bruges følgende to lemmaer:

1. Lad funktionen være holomorf i den øvre halvplan og på den reelle akse, bortset fra et endeligt antal poler , der ikke ligger på den reelle akse og . Derefter $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatørnavn {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{{k=1}}^{n}{\ mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)

2. Lad funktionen være holomorf i den øvre halvplan og på den reelle akse, bortset fra et endeligt antal poler , der ikke ligger på den reelle akse, og . Derefter $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatørnavn {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$ $\alfa >0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)e^{{i\alpha x}}\,dx=2\pi i\sum _{{k =1}}^{n}{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)e^{{i\alpha z}}

I dette tilfælde kræves det ikke, at integralerne på venstre side af lighederne eksisterer, og de forstås derfor kun i betydningen af hovedværdien (ifølge Cauchy) .

Multivariat kompleks analyse

Form-residue og klasse-residue

Lokalt fradrag

Restflow

Noter

↑ H. Poincare. Sur les résidues des integrales doubler // Acta Math. - 1887. - Nr. 9 . - S. 321-380 . - doi : 10.1007/BF02406742 .
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. - 3. udg., tilføje. — M.: Nauka, 1974. — 320 s.

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka, 1976.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1979.
Aizenberg L. A., Yuzhakov A. P. Integrale repræsentationer og rester i multidimensionel kompleks analyse. - Novosibirsk: Nauka, 1979.
Tsikh A.K. Multidimensionelle rester og deres anvendelser. - Novosibirsk: Nauka, 1988.