Keplers love

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. juni 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Keplers love er tre empiriske forhold etableret af Johannes Kepler på baggrund af langsigtede astronomiske observationer af Tycho Brahe [1] . Forklaret af Kepler i artikler udgivet mellem 1609 [2] og 1619 [3] år. Beskriv planetens idealiserede heliocentriske kredsløb .

Keplers forhold tillod Newton at postulere loven om universel gravitation , som blev fundamental i klassisk mekanik. Inden for dens rammer er Keplers love en løsning på tolegemeproblemet i tilfælde af en ubetydelig lille masse af planeten, det vil sige i grænseovergangen , hvor , er henholdsvis planetens og stjernens masser. $m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$ $m_{p}$ $Frk}$

Formuleringer

Keplers første lov (ellipseloven)

Hver planet i solsystemet bevæger sig i en ellipse med solen i en af dens brændpunkter .

Ellipsens form og graden af dens lighed med en cirkel er karakteriseret ved forholdet , hvor er afstanden fra centrum af ellipsen til dens fokus (brændvidde), er den semi -hovedakse . Mængden kaldes ellipsens excentricitet . Når , og derfor ellipsen bliver til en cirkel. $e=\frac{c}{a}$ $c$ ${en}$ $e$ $c=0$ $e=0,$

Keplers anden lov (områdernes lov)

Hver planet bevæger sig i et plan, der passerer gennem Solens centrum, og i lige store tidsrum beskriver radiusvektoren, der forbinder Solen og planeten, lige store områder.

I forhold til vores solsystem er to begreber forbundet med denne lov: perihelion - det punkt i kredsløbet, der er tættest på Solen, og aphelion - det fjerneste punkt i kredsløbet. Af Keplers anden lov følger det således, at planeten bevæger sig ujævnt rundt om Solen og har en større lineær hastighed ved perihelium end ved aphelium.

Hvert år i begyndelsen af januar bevæger Jorden sig hurtigere, når den passerer gennem perihelium, så Solens tilsyneladende østlige bevægelse langs ekliptika er også hurtigere end det årlige gennemsnit. I begyndelsen af juli bevæger Jorden, der passerer aphelion, sig langsommere, derfor bremses solens bevægelse langs ekliptikken. Områdeloven indikerer også, at den kraft, der styrer planeternes kredsløbsbevægelse, er rettet mod Solen.

Keplers tredje lov (harmonisk lov)

Kvadraterne i omdrejningsperioderne for planeterne omkring Solen er beslægtede som kuberne af de semi-hovedakser af planeternes baner .

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$

hvor og er omdrejningsperioderne for de to planeter omkring Solen, og og er længderne af deres kredsløbs semi-hovedakser. Udsagnet gælder også for satellitter. $T_{1}$ $T_{2}$ $a_{1}$ $a_{2}$

Newton fandt ud af, at tyngdekraften af en planet med en vis masse kun afhænger af dens afstand og ikke af andre egenskaber såsom sammensætning eller temperatur. Han viste også, at Keplers tredje lov ikke er helt nøjagtig - faktisk inkluderer den også planetens masse:

\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

hvor er Solens masse og og er planeternes masser. $M$ $m_1$ $m_2$

Da bevægelse og masse hænger sammen, bruges denne kombination af Keplers harmoniske lov og Newtons tyngdelov til at bestemme masserne af planeter og satellitter, hvis deres kredsløb og omløbsperioder er kendt.

Afledning af Keplers love fra den klassiske mekaniks love

Afledning af Keplers første lov

Overvej bevægelsen i polære koordinater , hvis centrum falder sammen med systemets massecenter (ca., falder sammen med Solen). $(r,\theta )$

Lad være radiusvektoren til planeten, lad os betegne enhedsvektoren, der angiver dens retning. Tilsvarende introducerer vi — en enhedsvektor, vinkelret på , rettet i retning af stigende polar vinkel . Vi skriver de tidsafledte, og betegner dem med prikker: $\mathbf {r}$ ${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta ))))$ $\mathbf {r}$ $\theta$

{\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol { \theta }}}

{\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+ (r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}

Newtons lov om universel gravitation siger, at "hver genstand i universet tiltrækker alle andre objekter langs en linje, der forbinder objekternes massecentre, proportional med massen af hvert objekt og omvendt proportional med kvadratet af afstanden mellem objekter." Så accelerationen ser sådan ud:

\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

Eller i koordinatform:

{\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{ \dot {r}}{\dot {\theta }}=0;\end{cases}}

I den anden ligning skriver vi og : ${\ddot {\theta ))$ $\dot-r$

r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

Når vi slipper af med tiden og adskiller variablerne, får vi:

\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.

Denne integration vil give:

\ln {\dot {\theta ))=-2\ln r+C,

Hvis vi antager og forenkler logaritmerne, har vi endelig $C=\ln \ell$

r^{2}{\dot {\theta }}=\ell

Betydningen af konstanten er det specifikke vinkelmoment ( ). Vi har vist, at inden for centrale kræfter er det bevaret. $\ell$ $\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$

For at arbejde med den første ligning er det praktisk at lave substitutionen:

r = \frac{1}{u},

Og omskriv de afledte, samtidig med at slippe af med tiden

{\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{ \frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}= -\ell {\frac {du}{d\theta )),

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u }{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{ d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.

Bevægelsesligningen i retningen vil så blive skrevet: $\hat{\mathbf{r}}$

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\venstre(\frac{1}{u}\right).

Newtons lov om universel gravitation relaterer kraft pr. masseenhed til afstand som

f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2

hvor er den universelle gravitationskonstant og er stjernens masse. $G$ $M$

Som resultat:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Denne differentialligning kan omskrives i samlede afledte:

{\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{ \frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)

At slippe af med det, vi får:

\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C

Og endelig:

{\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}uu^{2}}}

Ved at dividere variablerne og udføre elementær integration får vi den generelle løsning:

u = \frac{GM}{\ell^2} \venstre[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .

for integrationskonstanterne og afhængig af startbetingelserne. $e$ $\theta _{0}$

Ved at erstatte med 1/ og introducere , har vi endelig: $u$ $r$ $p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}$

p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))

Vi har fået ligningen for et keglesnit med en parameter og en excentricitet og oprindelsen af koordinatsystemet ved et af brændpunkterne. Keplers første lov følger således direkte af Newtons lov om universel gravitation og Newtons anden lov. $s$ $e$

Afledning af Keplers anden lov

Per definition skrives vinkelmomentet af et punktlegeme med masse og hastighed som: $\mathbf{L}$ $m$ $\mathbf{v}$

\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )

hvor er kroppens radiusvektor, og er dens momentum. Arealet, der er fejet af radiusvektoren i løbet af tiden ud fra geometriske betragtninger, er lig med $\mathbf {r}$ $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $dt$

dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\ frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt

hvor er vinklen mellem vektorerne og . $\phi$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{v}$

Ved udledningen af den første lov blev det vist, at . Det samme kan opnås ved simpel differentiering af vinkelmomentet: $\ell =const$

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac {d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0

Den sidste overgang forklares ved ligheden med nul af vektorproduktet af kollineære vektorer. Faktisk er kraften her altid rettet langs radiusvektoren, mens momentumet er rettet langs hastigheden per definition.

Vi ved, at det ikke afhænger af tid. Det betyder , at den er konstant, og derfor er hastigheden for at feje arealet, der er proportional med den , en konstant. $\mathbf L$ $|\mathbf{L}|$ $\frac{dS}{dt}$

Afledning af Keplers tredje lov

Keplers anden lov siger, at radiusvektoren for et cirkulerende legeme fejer lige store områder ud i lige store tidsintervaller. Hvis vi nu tager meget små perioder i det øjeblik, hvor planeten er i punkterne ( perihelion ) og ( aphelion ), så kan vi tilnærme arealet med trekanter med højder svarende til afstanden fra planeten til Solen, og en base lig med produktet af planetens hastighed og tid. $P$ $EN$

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt

(1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}

V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}

Ved at bruge loven om bevarelse af energi for planetens samlede energi på punkter og , skriver vi $EN$ $B$

\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a }

\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a }

{\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{( 1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )))\right)

\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right )

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac { 2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))\right)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2} }}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1- \varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+ \varepsilon)}}

V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.

Nu hvor vi har fundet , kan vi finde sektorhastigheden. Da den er konstant, kan vi vælge et hvilket som helst punkt på ellipsen: for eksempel får vi for punkt B $V_B$

\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1} {2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1- \varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot ( 1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

Det samlede areal af ellipsen er dog (hvilket er lig med fordi ). Tiden til en fuldstændig revolution er således $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ $\pi ab$ $b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$

T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2}})))a

T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )} }=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}

T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2 \pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

Bemærk, at hvis massen ikke er ubetydelig i forhold til , så vil planeten dreje rundt om Solen med samme hastighed og i samme kredsløb som et materialepunkt, der drejer rundt om massen (se reduceret masse ). I dette tilfælde skal massen i den sidste formel erstattes af : $m$ $M$ $M+m$ $M$ $M+m$

T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

Alternativ beregning Lad os betragte planeten som et massepunkt, der roterer i en elliptisk bane i to positioner:

m

perihelion med radius vektor , hastighed ; $r_{1}=ac$ $V_{1}$
aphelion med radius vektor , hastighed . $r_{2}=c+a$ $V_{2}$

Lad os skrive loven om bevarelse af vinkelmomentum

{\displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2))

og loven om energibevarelse

{\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2 ))-{\frac {GmM}{r_{2))))

hvor M er Solens masse.

Ved at løse systemet er det nemt at få forholdet for planetens hastighed ved "perihelion"-punktet:

V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}

Vi udtrykker sektorhastigheden (som ifølge Keplers anden lov er en konstant værdi):

V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{ 2})}}}}

Lad os beregne arealet af ellipsen, langs hvilken planeten bevæger sig. En side:

S_{ellipse}=\pi ab

hvor er længden af den store halvakse, er længden af den lille halvakse af kredsløbet. $-en$ $b$

På den anden side, ved at udnytte det faktum, at for at beregne arealet af en sektor kan du gange sektorhastigheden med omsætningsperioden:

S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1)){2(r_{1}+r_{2)))) ) }

Følgelig,

T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})))}=\pi ab

Til yderligere transformationer bruger vi ellipsens geometriske egenskaber. Vi har relationer

{\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2))

r_{1}+r_{2}=2a

{\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2))

Erstat i formlen for arealet af en ellipse:

T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab

Hvorfra vi endelig får:

{\frac {T}{a^{3/2}}}=const

eller på traditionel vis

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=konst.

Noter

↑ Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. - 3. paperback. - Piscataway, NJ: Rutgers University Press, 2001. - S. 40-41. - ISBN 978-0-8135-2908-0 . Arkiveret 12. december 2021 på Wayback Machine
↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus GV Tychnonis. Prag 1609.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [Verdens harmoni] (Linz, (Østrig): Johann Planck, 1619), bog 5, kapitel 3, s. 189.

Se også

Litteratur

Keplers love // Encyclopedic Dictionary of a Young Astronomer / comp. N. P. Erpylev . - 2. udg. - M . : Pædagogik, 1986. - S. 121 -122. — 336 s.
Smorodinsky Ya. A. Planeter bevæger sig i ellipser // Kvant . - 1979. - Nr. 12 . - S. 13-19 .
Trefil, J. Keplers love : [ ark. 28. marts 2016 ] // Elementer. - Fra bogen. Trefil J. Videnskabens natur. 200 love i universet. (Geleos, 2007.) = Videnskabens natur. (2003) = James Trefil. Cassels naturlove: En A–Z af love og principper, der styrer vores univers. (2002).

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk stor kinesisk Fantastisk norsk Stor russer jorden rundt Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	BNF : 12445155q GND : 4365820-9 J9U : 987007537148305171 LCCN : sh94003544 SUDOC : 033600619

Himmelsk mekanik

Love og opgaver	Newtons love Tyngdeloven Keplers love To kropsproblem Tre kropsproblem Gravitationelt N-legeme problem Bertrands problem Keplers ligning
Himmelsfære	Himmelsk koordinatsystem galaktisk vandret ækvatorial ekliptik Internationalt himmelsk koordinatsystem Sfærisk koordinatsystem verdens akse Himmelsk ækvator højre opstigning deklination Ekliptik Equinox Solhverv grundplan
Baneparametre _	Kepleriske elementer i kredsløbet excentricitet semi-hovedakse betyder anomali stigende node længdegrad periapsis argument Apocenter og periapsis Orbital hastighed Orbit node Epoke
Bevægelse af himmellegemer	Solens og planeternes bevægelse i himmelsfæren Ephemeris Planet konfigurationer konfrontation sammensatte kvadratur forlængelse parade af planeter Formørkelse solformørkelse måneformørkelse saros Metonisk cyklus Belægning Går igennem klimaks siderisk periode synodisk periode Rotationsperiode orbital resonans Equinox præludium Tilnærmelse librering Tyngdekraftens omfang Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov effekt

Astrodynamik

Rumfart	rumhastighed første (cirkulær) anden (parabolsk) tredje fjerde Tsiolkovskys formel Tyngdekraftsmanøvre Hohmanns bane Metode til at oskulere elementer Tidevandsacceleration Orbital hældningsændring Interplanetarisk transportnetværk Docking Lagrange punkter Pioneer effekt
SC -kredsløb	geostationær bane Heliocentrisk bane geosynkron bane geocentrisk bane geotransfer kredsløb Lav kredsløb om jorden polar bane Orbit "Tundra" Solsynkron bane Orbit "Lyn" Oskulerende kredsløb

Astronomis historie
oldtidsperiode	Babylon Det gamle Egypten Det gamle Kina Indien Inkaerne Maya Aztekerne australske aboriginere Det gamle Grækenland
Middelalderen	Indien Islamisk Øst Middelalderlige Europa Kosmologi i jødedommen
Dannelsen af teoretisk astronomi	Heliocentriske system af verden Keplers love
1600-tallet	Tyngdeloven
1700-tallet	Edmund Halley William Herschel
19. århundrede	Opdagelsen af Neptun
20. århundrede	Hubble teleskop

Johannes Kepler
Videnskabelige resultater	Keplers hypotese Keplers love Kepleriske elementer i kredsløbet Kepler trekant Keplers ligning Kepler-Poinsot krop Supernova Kepler
Publikationer	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617-21) Harmonices Mundi (1619) Rudolfinborde (1627) somnium (1634)
En familie	Katharina Kepler (mor) Jacob Barch (svigersøn)