Malmnummer

Malmtallet er et naturligt tal, hvis harmoniske middelværdi af divisorer er et heltal . Introduceret af Oistin Ore i 1948 . De første par malmnumre:

1 , 6 , 28 , 140 , 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, … [1] .

For eksempel har malmtallet 6 divisorer 1, 2, 3 og 6. Deres harmoniske middelværdi er et heltal:

{\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}} }}=2.

Tallet 140 har divisorer 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 og 140. Deres harmoniske middelværdi er:

{\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\ frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.

5 er et heltal, hvilket betyder, at 140 er et malmtal.

Malmtal og perfekte tal

For ethvert heltal er produktet af det harmoniske middelværdi og det aritmetiske middelværdi af dets divisorer lig med selve tallet , som følger direkte af definitionerne. Således er et malmtal med den harmoniske middelværdi af divisorerne, hvis og kun hvis den aritmetiske middelværdi af divisorerne er kvotienten af . $M$ $M$ $M$ $k$ $M$ $k$

Malm viste, at ethvert perfekt tal er et Malmtal. Da summen af divisorerne af et perfekt tal er nøjagtigt , er gennemsnittet af divisorerne , hvor er antallet af divisorer af tallet . For ethvert tal er tallet ulige, hvis og kun hvis det er et perfekt kvadrat , ellers kan hver divisor af tallet associeres med en anden divisor - . Men intet perfekt tal kan være et perfekt kvadrat, dette følger af de velkendte egenskaber ved lige perfekte tal, og ulige perfekte tal (hvis de findes) skal have en faktor på formen , hvor . For et perfekt tal er antallet af divisorer således lige, og gennemsnittet af divisorerne er produktet af . Således er et malmnummer. $M$ $2M$ $M(2/\tau (M))$ $\tau (M)$ $M$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $d$ $M$ $m/d$ $q^{\alpha }$ $\alpha \equiv 1{\pmod 4}$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $2/\tau (M)$ $M$

Ore formodede, at der ikke er nogen ulige Malm-tal ud over 1. Hvis formodningen er korrekt, er der ingen ulige perfekte tal .

Grænser og computersøgning

Det er vist, at ethvert ulige malmtal større end 1 skal have en primfaktor større end 10 7 , og at ethvert sådant tal skal have mindst tre distinkte primfaktorer. Derudover er det fastslået, at der ikke er ulige Malmtal mindre end 10 24 .

Der blev gjort forsøg på at få en liste over alle små malmtal ved hjælp af en computer, som følge heraf blev alle malmtal op til 2 × 10 9 og alle tal, for hvilke den harmoniske middelværdi ikke overstiger 300, fundet.

Noter

↑ OEIS -sekvens A001599 _

Litteratur

Bogomolny, Alexander. En identitet vedrørende gennemsnit af divisorer af et givet heltal . Hentet: 10. september 2006. (ubestemt)

Cohen, Graeme L. Tal, hvis positive divisorer har lille integral harmonisk middelværdi // Mathematics of Computation . - 1997. - T. 66 . — S. 883–891 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .

Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Ulige harmoniske tal overstiger 10 24 // Mathematics of Computing. - 2010. - T. 79 , no. 272 . - S. 2451 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . Udgivet elektronisk 9. april 2010.

Afsted, Takeshi. (malms) harmoniske numre . Hentet: 10. september 2006. (ubestemt)

Richard K Guy. Uløste problemer i talteori. — 3. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .

Joseph B. Muskat. Om divisorer af ulige perfekte tal // Mathematics of Computation. - American Mathematical Society, 1966. - V. 20 , no. 93 . — S. 141–144 . - doi : 10.2307/2004277 . — .

Øystein Ore. På gennemsnittet af divisorerne for et tal // American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America, 1948. - V. 55 . — S. 615–619 . - doi : 10.2307/2305616 . — .

Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdeler Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer