Delvis afledt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 3 redigeringer .

I matematisk analyse er en partiel afledt (første afledet) en af generaliseringerne af begrebet en afledt til tilfældet med en funktion af flere variable. Den partielle afledte er grænsen for forholdet mellem stigningen af en funktion i forhold til den valgte variabel og stigningen af denne variabel, da denne stigning har en tendens til nul.

Den partielle afledte af en funktion med hensyn til en variabel er normalt betegnet med , eller . Hvis variablerne er nummererede, for eksempel , bruges symbolerne og også . $f$ $x$ ${\tfrac {\partial f}{\partial x))$ $f_{x}$ $D_{x}f$ $x_1,\prikker,x_n$ $f_{i}$ $D_{i}f$

I eksplicit form er den partielle afledte af en funktion i et punkt defineret som følger: $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$

{\frac {\partial f}{\partial x_{k))}(a_{1},\cdots,a_{n})=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {f (a_{1},\ldots,a_{k}+\Delta x,\ldots,a_{n})-f(a_{1},\ldots,a_{k},\ldots,a_{n}) }{\Delta x}}.

Operatør \ Funktion	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Differential	en: $\operatørnavn {d} \!f=f'_{x}\operatørnavn {d} \!x$	2: $\operatørnavn {d} _{x}\!f=f'_{x}\operatørnavn {d} \!x$ 3: $\operatørnavn {d} \!f=f'_{x}\operatørnavn {d} \!x+f'_{y}\operatørnavn {d} \!y+f'_{u}\operatørnavn {d} \!u+f'_{v}\operatørnavn {d} \!v$
Delvis afledt (første afledt)	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatørnavn {d} \!f}{\operatørnavn {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatørnavn {d} _{x}\!f}{\ operatornavn {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Samlet afledt (anden afledt)	${\frac {\operatørnavn {d} \!f}{\operatørnavn {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f '_{x}$	${\frac {\operatørnavn {d} \!f}{\operatørnavn {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f '_{x}+f'_{u}{\frac {\operatørnavn {d} \!u}{\operatørnavn {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatørnavn { d} \!v}{\operatørnavn {d} \!x));(f'_{y}{\frac {\operatørnavn {d} \!y}{\operatørnavn {d} \!x}}= 0)$

Betegnelse

Det skal bemærkes, at notationen skal forstås som et integralsymbol i modsætning til den sædvanlige afledte af en funktion af en variabel , som kan repræsenteres som forholdet mellem funktionens og argumentets differentialer . Den partielle afledte kan dog også repræsenteres som et forhold mellem differentialer, men i dette tilfælde er det nødvendigt at angive, med hvilken variabel funktionen inkrementeres: , hvor er funktionens partielle differential i forhold til variablen . Ofte er misforståelser af karakterens integritet årsagen til fejl og misforståelser, såsom reduktion i udtrykket [1] . $\frac{\partial f}{\partial x}$ ${\frac {df}{dx))$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}$ $d_{x}f$ $f$ $x$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ $\delvis x$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}$

Geometrisk fortolkning

Geometrisk giver en partiel afledt en afledet i retning af en af koordinatakserne. Den partielle afledte af en funktion i et punkt med hensyn til koordinaten er lig med den afledede med hensyn til retningen , hvor enheden er på -th pladsen. $f$ ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ $x_k$ ${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e))))$ ${\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ $k$

Eksempler

Keglens volumen V afhænger af højden h og radius r , ifølge formlen

V={\frac {\pi r^{2}h}{3)),

Delvis afledning af volumen V med hensyn til radius r

{\frac {\partial V}{\partial r))={\frac {2\pi rh}{3)),

som viser den hastighed , hvormed volumenet af en kegle ændres, hvis dens radius ændres, og dens højde forbliver uændret. For eksempel, hvis vi betragter volumenenheder og længdemålinger , så vil ovenstående afledte have dimensionen af volumenmålehastighed , dvs. en ændring i radiusværdien med 1 vil svare til en ændring i keglens volumen med . $m^{3}$ $m$ $m^{3}/m$ $m$ ${\frac {2\pi rh}{3}}$ $m^{3}$

Partiel afledt med hensyn til h

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},

som viser den hastighed, hvormed volumenet af en kegle ændres, hvis dens højde ændres og dens radius forbliver uændret.

Total afledt af V med hensyn til r og h

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dr}}=\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial r}}}+ \overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial h}}}{\frac {\operatørnavn dh}{\operatørnavn dr} }

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dh}}=\overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial h} ))+\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3))}^({\frac {\partial V}{\partial r))}{\frac {\operatørnavn dr}{\operatørnavn dh} }

Forskellen mellem totale og partielle derivater er elimineringen af indirekte afhængigheder mellem variabler i sidstnævnte.

Hvis (af en eller anden grund) proportionerne af keglen forbliver de samme, så er højden og radius i et fast forhold k ,

k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatørnavn dh}{\operatørnavn dr}}.

Dette giver den samlede afledte med hensyn til r :

{\frac {\operatørnavn dV}{\operatørnavn dr))={\frac {2\pi rh}{3))+k{\frac {\pi r^{2)){3))

Ligninger, der involverer partielle derivater, kaldes partielle differentialligninger og er almindeligt kendte i fysik , ingeniørvidenskab og andre videnskaber og anvendte discipliner.

Se også

Blandet partielt derivat

Noter

↑ Fikhtengolts, "Forløb af differential- og integralregning"

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)