I matematik rundes heltalsdelen af et reelt tal ned til nærmeste heltal . Heltalsdelen af et tal kaldes også antier ( fransk entier ), eller floor ( engelsk floor ). Sammen med gulvet er der en parfunktion - loftet ( engelsk loft ) - der runder op til nærmeste heltal.
For første gang brugte Gauss i 1808 firkantede parenteser ( ) til at angive den heltallige del af et tal i hans bevis på loven om kvadratisk gensidighed [1] . Denne notation blev betragtet som standard [2] indtil Kenneth Iverson i sin bog A Programming Language udgivet i 1962 foreslog [3] [4] [5] at afrunde et tal til det nærmeste hele tal op og ned for at kalde "gulv" og " loft" og betegne og hhv.
Moderne matematik bruger både notationer [6] , og , men mere og mere overvejende bruges Iversons terminologi og notation: en af grundene er, at for negative tal er begrebet "heltalsdel af et tal" allerede tvetydigt [5] . For eksempel er heltalsdelen af tallet 2,7 lig med 2, men to synspunkter er allerede mulige for, hvordan man bestemmer heltalsdelen af tallet −2,7: per definition angivet i denne artikel , men i nogle regnemaskiner, funktion af den heltallige del af INT for negative tal er defineret som INT(– x ) = –INT( x ), så INT(–2,7) = −2. Iversons terminologi er blottet for disse mangler:
Funktionen "køn" er defineret som det største heltal mindre end eller lig med:
Loftfunktionen er det mindste heltal større end eller lig med :
Disse definitioner svarer til følgende uligheder (hvor n er et heltal): [7]
I formlerne skrevet nedenfor betegner bogstaverne og reelle tal , og bogstaverne og betegner heltal .
Gulv- og loftfunktionerne kortlægger et sæt reelle tal til et sæt heltal:
Gulv og loft er stykkevis konstante funktioner .
Gulv- og loftfunktionerne er diskontinuerlige : ved alle heltalspunkter lider de af diskontinuiteter af den første slags med et spring svarende til et.
I dette tilfælde er gulvfunktionen:
Loftets funktion er:
For et vilkårligt tal er følgende ulighed sand [8]
For hele gulvet og loftet er det samme:
Hvis ikke er et heltal, så er værdien af loftfunktionen én mere end værdien af etagefunktionen:
Gulv- og loftfunktionerne er reflektioner af hinanden fra begge akser:
Enhver ulighed mellem reelle og heltal er ækvivalent med en gulv- og loftulighed mellem heltal [7] :
De to øverste uligheder er direkte konsekvenser af definitionerne af gulv og loft , og de to nederste er vendingen af de øverste .
Gulv-/loftfunktionerne er monotont stigende funktioner:
Heltalsleddet kan introduceres/indstilles i parentes gulv/loft [9] :
De tidligere ligheder holder generelt ikke, hvis begge led er reelle tal. Imidlertid gælder følgende uligheder i dette tilfælde:
Følgende forslag gælder: [10]
Lad være en kontinuerlig monotont stigende funktion, defineret på et eller andet interval , med egenskaben:
Derefter
når som helst defineret .
I særdeleshed,
hvis og er heltal, og .
Hvis er heltal, , så [11]
Generelt, hvis er et vilkårligt reelt tal og er et positivt heltal, så
Der er en mere generel sammenhæng [12] :
Da højre side af denne lighed er symmetrisk med hensyn til og , så er følgende lov om gensidighed gyldig :
På en triviel måde udvides antier-funktionen til en serie ved hjælp af Heaviside-funktionen :
hvor hvert led i serien skaber karakteristiske " trin " for funktionen. Denne serie konvergerer absolut , men en fejlagtig transformation af dens termer kan føre til en "forenklet" serie
som divergerer .
Heltals gulv/loft-funktioner finder bred anvendelse i diskret matematik og talteori . Nedenfor er nogle eksempler på, hvordan disse funktioner kan bruges.
Antallet af cifre i notationen af et positivt heltal i positionstalsystemet med basis b er [13]
Det nærmeste heltal på et heltal kan bestemmes af formlen
Modulo-restoperationen, betegnet , kan defineres ved hjælp af gulvfunktionen som følger. Hvis er vilkårlige reelle tal, og , Så den ufuldstændige kvotient af division med er
,og resten
Brøkdelen af et reelt tal er per definition lig med
Det er nødvendigt at finde antallet af heltalspunkter i et lukket interval med ender og det vil sige antallet af heltal , der opfylder uligheden
På grund af gulvets/loftets egenskaber svarer denne ulighed til
.Dette er antallet af punkter i et lukket interval med ender og lig med .
På samme måde kan du tælle antallet af heltalspunkter i andre typer mellemrum . Et resumé af resultaterne er givet nedenfor [14] .
( Sættets kardinalitet er angivet med ) .
De første tre resultater gælder for alle , og det fjerde er kun gyldigt for .
Lad og vær positive irrationelle tal relateret af relationen [15]
Derefter i rækken af tal
hver naturlig forekommer nøjagtigt én gang. Med andre ord sekvenserne
og ,kaldet Beatty-sekvenser , danner en opdeling af den naturlige serie. [16]
Mange programmeringssprog har indbyggede gulv/loft-funktioner floor(), ceil() .
TeX (og LaTeX ) har specielle kommandoer til gulv/loft-symbolerne , , , \lfloor , \rfloor , \ lceil , \ rceil . Da wikien bruger LaTeX til at skrive matematiske formler, bruges disse kommandoer også i denne artikel.