Beatty sekvens

I matematik er en homogen Beatty -sekvens en sekvens af heltal fundet ved at tage heltalsdelen ("gulvet") af positive multipla af positive irrationelle tal . Beattys sekvenser er opkaldt efter Samuel Beatty , som skrev om dem i 1926 . Beatty-sekvenser kan også bruges til at generere Sturmian-ord .

Definition af Beatty-sekvensen

Beatty-sekvensen, hvis base er et positivt irrationelt tal , kan defineres som følger:

{\mathcal {B}}_{r}=\lgulv r\rgulv ,\lgulv 2r\rgulv ,\lgulv 3r\rgulv ,\ldots

Hvis så er også et positivt irrationelt tal. I dette tilfælde genererer disse to tal følgende afhængighed: . $r>1\,,$ $s=r/(r-1)$ ${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1$

De to Beatty-sekvenser de definerer, nemlig,

{\mathcal {B}}_{r}=(\lfloor nr\rfloor )_{n\geq 1}

{\mathcal {B}}_{s}=(\lfloor ns\rfloor )_{n\geq 1}

danner et par komplementære Beatty-sekvenser . Her betyder ordet "komplementær", at hvert positivt heltal hører til præcis én af disse to sekvenser.

Eksempler på Beatty-sekvenser

I det tilfælde hvor , hvor er det gyldne snit , har vi . I dette tilfælde bliver sekvensen den nedre Wiethoff-sekvens : $r=\varphi$ $\varphi$ $s=r+1$ ${\mathcal {B}}_{r}={\mathcal {\check {W}}}$

1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... sekvens A000201 i OEIS .

Den komplementære sekvens er sekvensen - den øvre Wythoff sekvens : ${\mathcal {B}}_{s}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {W))))$

2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... sekvens A001950 i OEIS .

På den anden side har vi for . I dette tilfælde degenererer følgende sekvenser: $r={\sqrt {2}}$ $s=2+{\sqrt {2}}$

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... OEIS -sekvens A001951 og
3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... sekvens A001952 i OEIS .

For og sekvenserne $r=\pi$ $s={\cfrac {\pi }{\pi -1))$

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... OEIS -sekvens A022844 og
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... sekvens A054386 i OEIS .

Ethvert tal fra den første sekvens mangler i den anden, og omvendt.

Historie

Beatty-sekvensen tager sit navn fra et problem, der blev stillet i American Mathematical Monthly af Samuel Beatty i 1926 [1] [2] . Dette er sandsynligvis et af de hyppigst citerede emner, der nogensinde er stillet i dette tidsskrift. Men endnu tidligere, i 1894, blev sådanne sekvenser kort nævnt af John W. Strutt (3. Baron Rayleigh) i anden udgave af hans bog The Theory of Sound . [3]

Rayleighs Beatty-sekvenssætning (Beattys sætning)

Rayleighs sætning , opkaldt efter Lord Rayleigh , siger, at komplementet af en Beatty-sekvens bestående af positive heltal, der ikke er i sekvensen, i sig selv er en Beatty-sekvens genereret af et andet irrationelt tal. [3]

Der eksisterer altid , sådan at sekvenserne deler mængden i sæt af naturlige tal , sådan at hvert element i dette sæt hører til præcis en af de to sekvenser. $s>1$ ${\mathcal {B}}_{r},\ {\mathcal {B}}_{s}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+))$ ${\mathcal {N}}_{1}...{\mathcal {N}}_{i}$

Første bevis

Forudsat at lad . Lad os bevise, at , hvor operand "|" er operanden " eller ". Vi vil gøre dette ved at overveje ordinære positioner optaget af alle brøker og , listet sammen i ikke-faldende rækkefølge for $r>1\,,$ $s=r/(r-1)$ $\forall x\in \mathbb {Z} ^{+}:x\ {\overset {!}{\in }}\ {\mathcal {B}}_{r|s}$ ${\frac {j}{r))$ ${\frac {k}{s))$ ${\displaystyle j,k\in \mathbb {Z} ^{+))$

For at se, at ingen to tal kan indtage den samme position (som ét tal), antag, at tværtimod, , så brøker , men på samme tid, , og denne brøk hører ikke til sættet af heltal. Derfor er der ikke to tal, der indtager samme position. $\exists j,k\in \mathbb {Z} ^{+}:{\frac {j}{r}}={\frac {k}{s}}$ ${\frac {r}{s}}={\frac {j}{k}}\in \mathbb {Z}$ ${\frac {r}{s}}=r(1-{\frac {1}{r}})=r-1$

For enhver brøk er der præcis tal og nøjagtige tal , så positionen af brøken i den oprindelige matrix vil være . Ligningen bliver følgende: ${\frac {j}{r))$ $j$ ${\frac {i}{r}}\leq {\frac {j}{r}}$ $\lfloor js/r\rfloor$ ${\frac {k}{s}}\leq {\frac {j}{r}}$ ${\frac {j}{r))$ $j+\lfloor js/r\rfloor$ ${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1$

j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor .

Ligeledes vil positionen af fraktionen i arrayet være . $k/s$ $\lfloor kr\rfloor$

Konklusion: hvert positivt heltal (det vil sige hver position på listen) har formen eller , men ikke begge på samme tid. Det omvendte er også sandt: hvis , så hvert positivt heltal forekommer nøjagtigt én gang på listen ovenfor, så . $\lfloor nr\rfloor$ $\lfloor ns\rfloor$ $p,q\in \mathbb {R}$ $p,q\in \mathbb {I} ;\ {\frac {1}{p))+{\frac {1}{q))=1$

Generaliseringer

Hvis vi ændrer det lidt, så kan Rayleighs sætning generaliseres til positive reelle tal (ikke nødvendigvis irrationelle), såvel som til negative heltal: hvis positive reelle tal opfylder og tilfredsstiller , danner sekvenserne og en del af heltal. For eksempel er de hvide og sorte tangenter på et klaverkeyboard fordelt som sådanne sekvenser for og . $r$ $s$ $1/r+1/s=1$ ${\displaystyle (\lfloor mr\rfloor )_{m\in \mathbb {Z} ))$ ${\displaystyle (\lceil ns\rceil -1)_{n\in \mathbb {Z} ))$ $r=12/7$ $s=12/5$

Lambek-Moser-sætningen generaliserer Rayleighs sætning og demonstrerer, at mere generelle sekvenspar defineret ud fra en heltalsfunktion og dens omvendte funktion har den samme egenskab at opdele heltal.

Ouspenskys sætning siger, at hvis positive reelle tal som f.eks. indeholder alle positive heltal nøjagtigt én gang, så er der ingen ækvivalent til Rayleighs sætning for tre eller flere Beatty-sekvenser. [4] [5] ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n))$ ${\displaystyle (\lfloor k\alpha _{i}\rfloor )_{k,i\geq 1))$ $n\leq 2.$

Referencer

↑ Beatty, Samuel;. Opgave 3173 // American Mathematical Monthly : tidsskrift . - 1926. - Bd. 33 , nr. 3 . — S. 159 . - doi : 10.2307/2300153 .
↑ S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; AC Aitken. Løsninger til opgave 3173 // American Mathematical Monthly : journal . - 1927. - Bd. 34 , nr. 3 . - S. 159-160 . - doi : 10.2307/2298716 . — .
↑ 1 2 John William Strutt, 3. Baron Rayleigh . Theory of Sound . - Sekund. - Macmillan, 1894. - T. 1. - S. 123.
↑ JV Uspensky, Om et problem, der opstår ud fra teorien om et bestemt spil, Amer. Matematik. Månedsskrift 34 (1927), s. 516-521.
↑ R.L. Graham, On a theorem of Uspensky , Amer. Matematik. Månedlig 70 (1963), s. 407-409.

Yderligere læsning

Holshouser, Arthur; Reiter, Harold. En generalisering af Beattys sætning // Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2001. - T. 2 . - S. 24-29 . Arkiveret fra originalen den 19. april 2014.
Stolarsky, Kenneth. Beatty-sekvenser, fortsatte brøker og visse skiftoperatorer // Canadian Mathematical Bulletin : journal. - 1976. - Bd. 19 , nr. 4 . - S. 473-482 . - doi : 10.4153/CMB-1976-071-6 .