Stykkevis defineret funktion

En stykkevis funktion er en funktion af én variabel, defineret på sættet af reelle tal , som er specificeret af en separat formel (eller en anden måde at specificere funktionen på) på hvert af de intervaller , der udgør domænet for dens definition.

En stykkevis affin funktion er en numerisk funktion af en variabel, således at hele dens definitionsdomæne kan "inddeles" i intervaller, således at funktionen er affin på det indre af hvert af intervallerne.

Formel definition og opgave

Lad givet være funktionstildelingens ændringspunkter. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Stykkevis specificerede funktioner er normalt specificeret på hvert af intervallerne separat. Formelt skrives dette som: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty)$

$f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2} \\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$ .

På nogle af intervallerne eller på nogle punkter, i det generelle tilfælde, er en stykkevis given funktion muligvis ikke defineret.

Typer af stykvise funktioner

Hvis alle funktioner er konstante, så er en stykkevis konstant funktion. $f(x)$
Hvis alle funktioner er lineære funktioner , så er en stykkevis lineær funktion . $rette op)$ $f(x)$
Hvis alle funktioner er kontinuerte funktioner , så er der tale om en stykkevis kontinuerlig funktion . Det kan dog ikke i sig selv være kontinuerligt. $rette op)$ $f(x)$
Hvis alle funktioner er differentierbare funktioner , så er en stykkevis jævn funktion . I dette tilfælde kan ændringspunkterne for funktioner være knækpunkter eller ej. $rette op)$ $f(x)$
Hvis alle funktioner er monotone funktioner , så er en stykkevis monoton funktion . Samtidig kan tegnet for den første afledede i tilstødende intervaller være anderledes, det vil sige stigende eller faldende funktioner. $rette op)$ $f(x)$

Eksempler på almindeligt anvendte stykkevise funktioner

Absolut værdi (modulus) . $y=|x|$
tegn funktion . $y=\operatørnavn {sgn}(x)$
Heaviside funktion $\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
Stykkevis lineær funktion .
Spline .
B-spline .