Monotonisk funktion

En monoton funktion er en funktion af én variabel, defineret på en bestemt delmængde af reelle tal, som enten ikke falder overalt (i dets definitionsdomæne) eller ikke stiger overalt. Mere præcist er det en funktion, hvis stigning ved ikke skifter fortegn, det vil sige, at den enten altid er ikke-negativ eller altid ikke-positiv [1] . Hvis stigningen derudover ikke er lig med nul, kaldes funktionen strengt monoton . $f$ $\Delta f=f(x')-f(x)$ $\Delta x=(x'-x)>0$ $\Delta f$

En funktion kaldes stigende , hvis den større værdi af argumentet svarer til ikke mindre (i anden terminologi, mere) værdi af funktionen. En funktion kaldes faldende , hvis den større værdi af argumentet svarer til ingen større (i anden terminologi, mindre) værdi af funktionen.

Definitioner

Lad derefter en funktion gives $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$

en funktion kaldes stigende med if $f$ $M$

\foral x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)\geq f(y)

en funktion kaldes strengt stigende på if $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)>f(y)

en funktion kaldes aftagende med if $f$ $M$

\foral x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)\leq f(y)

en funktion kaldes strengt faldende på if $f$ $M$

\foral x,y\in M,\;x>y\Højrepil f(x)<f(y)

En (strengt) stigende eller faldende funktion siges at være (strengt) monotonisk.

Anden terminologi

Nogle gange betyder udtrykkene stigende ( faldende ) funktion en strengt stigende (faldende) funktion. Så siges en ikke-strengt stigende (faldende) funktion at være ikke- faldende ( ikke- stigende ) [2] :

En funktion kaldes stigende på et eller andet interval, hvis for to punkter, og dette interval, sådan at , . Med andre ord svarer en større værdi af argumentet til en større værdi af funktionen. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})<f(x_{2})$
En funktion kaldes aftagende på et eller andet interval, hvis for alle to punkter og dette interval, sådan at , . Med andre ord svarer en større værdi af argumentet til en mindre værdi af funktionen. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})>f(x_{2})$
En funktion kaldes ikke -aftagende på et eller andet interval, hvis for alle to punkter og dette interval, sådan at , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\leq f(x_{2})$
En funktion kaldes ikke- stigende på et eller andet interval, hvis for to punkter, og dette interval, såsom , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\geq f(x_{2})$
Stigende og faldende funktioner kaldes strengt monotone , ikke-faldende og ikke-stigende funktioner - monotone .

Egenskaber for monotone funktioner

En monoton funktion defineret på intervallet er målbar med hensyn til Borel sigma-algebraer .
En monoton funktion defineret på et lukket interval er afgrænset . Især er den Lebesgue -integrerbar . $f:[a,b]\to \mathbb{R} ,$
En monoton funktion kan kun have diskontinuiteter af den første slags . Især er sættet af diskontinuitetspunkter højst tælleligt .
En monoton funktion er differentierbar næsten overalt med hensyn til Lebesgue-målet . $f:(a,b)\til \mathbb{R}$

Betingelser for monotoniteten af en funktion

(Et kriterium for monotoniteten af en funktion, der har en afledt på et interval) Lad funktionen være kontinuert på og have en afledet i hvert punkt . $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a,b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ $f$ falder ikke på hvis og kun hvis $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$ $f$ stiger ikke på hvis og kun hvis $(a,b)$ $\foral x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.$
(En tilstrækkelig betingelse for den strenge monotoni af en funktion, der har en afledt på et interval) Lad funktionen være kontinuert på og have en afledet i hvert punkt . $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a,b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ hvis så strengt stiger med $\foralt x\in (a,b)\;f'(x)>0,$ $f$ $(a,b);$ hvis da strengt falder med $\foral x\in (a,b)\;f'(x)<0,$ $f$ $(a,b).$

Det modsatte er generelt ikke sandt. Afledten af en strengt monoton funktion kan forsvinde . Men det sæt af punkter, hvor den afledede ikke er lig med nul, skal være tæt på intervallet . Mere præcist har vi $(a,b).$

(Et kriterium for den strenge monotoni af en funktion, der har en afledt på et interval) Lad og overalt på intervallet defineres afledte Derefter stiger den strengt på intervallet, hvis og kun hvis følgende to betingelser er opfyldt: $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ $f'(x).$ $f$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$
$\foralt (c,d)\delmængde (a,b)\;\eksisterer x\i (c,d)\;f'(x)>0.$

Tilsvarende falder strengt på et interval, hvis og kun hvis følgende to betingelser er opfyldt: $f$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;$
$\foralt (c,d)\delmængde (a,b)\;\eksisterer x\i (c,d)\;f'(x)<0.$

Eksempler

Funktionen er strengt stigende på hele tallinjen , på trods af at punktet er stationært , dvs. på dette tidspunkt . $f(x)=x^{3}$ $x=0$ $f'(x)=0$
Funktionen øges strengt ikke kun i et åbent interval , men også i et lukket interval . $f(x)=\sin x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $[-\pi /2;\pi /2]$
Eksponenten er strengt stigende på hele tallinjen . $f(x)=e^{x}$
En konstant hverken stiger eller falder samtidigt på hele tallinjen. $f(x)\equiv a,\;a\in {\mathbb {R}}$
Cantor-stigen er et eksempel på en kontinuerlig monoton funktion, der ikke er en konstant, men som har en afledet, der er nul på næsten alle punkter.
Minkowski-funktionen er et eksempel på en enestående strengt stigende funktion.

Variationer og generaliseringer

En kortlægning mellem topologiske rum siges at være monotonisk, hvis hvert punkt har et forbundet omvendt billede . [3] $f\kolon X\til Y$ $y\i Y$ $f^{{-1}}(y)$

Noter

↑ Monotonisk funktion / Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 4. Funktionskontinuitet // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 146. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Collins, PJ (1971). Konkordant afbildning og den konkordant-dissonante faktorisering af en vilkårlig kontinuerlig funktion. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.