Semi-kontinuerlig funktion

Semi -kontinuitet i calculus er en svagere egenskab ved en funktion end kontinuitet. En funktion er lavere semikontinuerlig i et punkt, hvis værdien af funktionen på nærliggende punkter ikke er meget mindre end værdien af funktionen i den. En funktion er øvre semikontinuerlig på et punkt, hvis værdierne af funktionen ved tætte punkter ikke overstiger værdierne for funktionen i den.

Definitioner

Lad et komplet metrisk rum angives. En funktion med reel værdi kaldes lavere (øverst) semikontinuerlig i et punkt, hvis $(X,\varrho).$ $f:X \to \mathbb{R}$ $x_{0}\i X$

\varliminf _{{x\to x_{0}}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{{x\to x_{0}}}f(x) \leq f(x_{0})\right).

En funktion siges at være lavere (øvre) semikontinuerlig på, hvis den er lavere (øvre) semikontinuerlig for alle . $f$ $M\delsæt X$ $x_{0}\in M$

Egenskaber

En funktion er lavere semikontinuerlig, hvis og kun hvis sættet er åbent i standardtopologien af den reelle linje for evt. $f:X\til \mathbb{R}$ $\{x\in X\midt f(x)>a\}$ $a\in \mathbb{R} .$
Lade være to nederste (øverste) semikontinuerlige funktioner. Så er deres sum også lavere (øverste) semikontinuerlig. $f,g:X\til \mathbb{R}$ $f+g$
Grænsen for en monotont stigende (faldende) sekvens af nedre (øvre) semikontinuerlige funktioner i et punkt er en nedre (øvre) semikontinuerlig funktion i . Mere præcist, lad der gives en sekvens af nedre (øvre) semi-kontinuerlige funktioner, sådan at hvis grænsen eksisterer, så er den nedre (øvre) semi-kontinuerlige. $x_{0}$ $x_{0}$ $f_{n}:X\til {\mathbb {R)],\;n\i {\mathbb {N))$ $f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\i X,$ $f$
Hvis og der er semi-kontinuerlige funktioner, henholdsvis nedefra og ovenfra, og hele rummet er opfyldt, så er der en kontinuert funktion , sådan at $u:X\til {\mathbb {R}}$ $v:X\til {\mathbb {R}}$
$-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$
$f:X \to \mathbb{R}$
$v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\i X.$
( Weierstrass' sætning ) Lad en kompakt delmængde gives Så når den nederste (øverste) semikontinuerlige funktion sit minimum (maksimum) på . $K\undersæt X.$ $f:K\to \mathbb{R}$ $K$

Eksempler

Heltalsdelen er en øvre semikontinuerlig funktion; $x\mapsto[x]$
Brøkdelen er lavere halvkontinuerlig. $x\mapsto\{x\}$
Indikatoren for et vilkårligt åbent sæt i topologien genereret af metrikken er en lavere semikontinuerlig funktion. ${\mathbf {1}}_{U}$ $\varrho$ $U\undersæt X$
Indikatoren for et vilkårligt lukket sæt er en øvre semikontinuerlig funktion. ${\mathbf {1}}_{V}$ $V\undersæt X$

Litteratur

Natanson I.P., Theory of functions of a real variabel , 3. udgave, M., 1974;
Sachs S, Integral Theory , trans. fra engelsk, M., 1949.