Brugsfunktion

En hjælpefunktion er en funktion , der kan bruges til at repræsentere forbrugernes præferencer på et sæt gyldige alternativer [1] . Funktionens numeriske værdier hjælper med at bestille alternativerne i henhold til graden af præference for forbrugeren. En større værdi svarer til en højere præference. I moderne ordinal nytteteori er tallene i sig selv ligegyldige - kun relationerne større end, mindre end og lig med er vigtige.

Ikke enhver præferencerelation kan repræsenteres af en hjælpefunktion. Men for de præferencer, der bruges i økonomiske modeller, eksisterer en sådan funktion. Eksistensen af en funktion gør det muligt at bruge matematisk analyse til at løse optimeringsproblemer i økonomi. For eksempel ved løsning af forbrugerens problem [2] . Uden at bruge hjælpefunktionen bliver løsningen af et sådant problem vanskelig.

Formel definition

Lad et sæt tilladte alternativer angives , hvor præferencerelationen er defineret . Så kaldes en funktion med reel værdi en nyttefunktion, hvis betingelsen [3] er opfyldt : $x$ ${\displaystyle \{\succeq \))$ $u:X\to \mathbb {R}$

$x\succsim y\iff u(x)\geq u(y),\quad x,y\in X$

En større værdi af en nyttefunktion betyder en større ønskværdighed af alternativet i forhold til den præference, som denne funktion repræsenterer. Fra et matematisk synspunkt er en hjælpefunktion en måde til skalær rangering .

Kardinalisme og ordinalisme

Moderne mikroøkonomi er afhængig af en ordinalistisk tilgang til modellering af forbrugeradfærd og valg. I overensstemmelse med det spiller de numeriske værdier af hjælpefunktionen ikke en rolle, kun rækkefølgen "større-mindre" er vigtig. Hvis værdien af nyttefunktionen for et af alternativerne er højere, er dette alternativ mere at foretrække for forbrugeren. I dette tilfælde indeholder forskellen mellem værdier eller kvotienten fra deres division ingen information [4] . Det modsatte er den kardinale tilgang , når man bruger hvilke numeriske værdier, der tværtimod bærer information om nytte. Kardinaltilgangen forudsætter implicit eksistensen af en standard for nytte, det vil sige en universel enhed, som sammenligninger kan foretages med. Det er denne forståelse af nytte, der blev brugt af skaberen af utilitarismens filosofi, Jeremy Bentham [5] .

Moderne økonomer går ud fra, at begrebet nytte er subjektivt, så deres direkte sammenligning er umulig. Derfor bruges begrebet Pareto-effektivitet til at vurdere forbrugernes fælles velfærd . En undtagelse er kvasi-lineære præferencer . De antager eksistensen af en tællelig vare ( engelsk numeraire ), som er en analog af penge. Så bliver summering og andre hjælpeoperationer mulige.

Betingelser for eksistensen af en hjælpefunktion

For at præferencer kan repræsenteres som en nyttefunktion, er det nødvendigt, at præferencen i sig selv er rationel , det vil sige, at den skal opfylde aksiomer om fuldstændighed og transitivitet.

Tilstrækkelige betingelser afhænger af selve sættet af tilladte alternativer og af præferencernes egenskaber. Hvis mængden er finit eller tællig , og præferencerelationen er rationel, så er der en hjælpefunktion, der repræsenterer disse præferencer. $x$ $x$

Hvis sættet er utalligt , så skal vi desuden kræve kontinuiteten af præferencer . I dette tilfælde garanterer Debres teorem eksistensen af en nyttefunktion. I dette tilfælde er hjælpefunktionen kontinuerlig. Kontinuitet er en nødvendig betingelse for eksistensen af en nyttefunktion, der repræsenterer en rationel præference, men den er ikke tilstrækkelig. Så for eksempel repræsenterer en hjælpefunktion (heltalsdelen af et tal) præferencer, der ikke er kontinuerte. Selve funktionen er også diskontinuerlig. $x$ $u(x)=\lbrack x\rbrack ,\,x\in \mathbb {R}$

Ofte stilles der yderligere betingelser til præferencer for at opnå funktioner med bestemte egenskaber. Således kan man kræve monotoni , lokal umættethed og konveksitet . Disse præferenceegenskaber afspejles i egenskaberne for hjælpefunktionen. For eksempel fører monotoniteten af præferencer til monotoniteten af en funktion, mens konveksiteten af præferencer gør funktionen kvasikonkav .

Debres sætning

For enhver rationel og kontinuerlig præference eksisterer der en kontinuerlig nyttefunktion, der repræsenterer dem [2] . $X\subset R^{L}$

Egenskaber for hjælpefunktionen

Lad en strengt stigende funktion gives og lad være en nyttefunktion. Så er featurekomposition også en hjælpefunktion, der repræsenterer den samme præferencerelation . Bemærk, at det ikke behøver at være kontinuerligt [6] . $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $u:X\to \mathbb {R}$ $g\circ u(x)$ $\sccsim$ $g$

Hvis sættet er konveks , vil hjælpefunktionen være kvasikonkav . $x$

Hvis præferencerne opfylder egenskaben monotonicitet (streng monotonisk), så vil funktionen være monotonisk (strengt monotonisk).

Egenskaben ved aftagende marginalnytte er en konsekvens af nyttefunktionens konkavitet. Hvis en funktion er dobbelt differentiabel, betyder egenskaben, at den anden partielle afledede af en sådan funktion er negativ.

$MU={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2))}<0$

En indifferenskurve er en linje (overflade, hyperflade) af nyttefunktionsniveauet.

$u(x)=const$

De vigtigste eksempler på hjælpefunktioner

Konstant substitutionselasticitet

En af de vigtigste hjælpefunktioner er CES-funktionen . Forkortelsen CES står for konstant elasticitet ved substitution af alternativer . Funktionen har følgende form for det todimensionelle tilfælde.

$u(x,y)={\big (}\alpha x^{\frac {1}{\rho }}+\beta y^{\frac {1}{\rho }}{\big) }^{\rho }$

Med forskellige værdier af parameteren kan du få specielle tilfælde af CES-funktionen. $\rho$

Hvis , så er funktionen lineær og beskriver perfekte erstatninger for . I dette tilfælde er den marginale substitutionsrate lig med forholdet mellem parametre . $\rho =1$ $MRS_{xy}={\frac {\alpha }{\beta }}$

$u(x,y)=\alpha x+\beta y$

Hvis , så opnås Leontief-funktionen, som beskriver perfekte komplementer . Den marginale substitutionsrate er i dette tilfælde uendelig. $\rho \to -\infty$

${\displaystyle u(x,y)=\min\{\alpha x,\,\beta y\))$

Når , Cobb-Douglas-funktionen opnås, hvis vi pålægger en yderligere betingelse . $\rho \to 0$ $\alfa+\beta = 1$

${\displaystyle u(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta ))$

Risikoholdning

Vigtige eksempler på nyttefunktioner er funktioner med en konstant absolut og relativ indikator for holdningen til risiko. En funktion med en konstant absolut risikoattitudeindikator ( CARA - konstant absolut risikoaversion ):

u(x)={\frac {1-e^{-\rho x}}{\rho }}

Det absolutte Arrow-Pratt- mål for en sådan funktion er: . $\rho$

Funktion med en konstant relativ risikoattitudeindikator ( CRRA - konstant relativ risikoaversion ):

u(x)={\frac {x^{1-\rho }-1}{1-\rho }}

Det relative Arrow-Pratt-mål for en sådan funktion er: . $1/\rho$

Stone-Geary hjælpefunktion

Stone-Giri-hjælpefunktionen er defineret som følger.

u(x_{1},x_{2},...x_{L})=\prod _{i=1}^{L}(x_{i}-\gamma _{i})^ {\beta _{i))

For , bliver Stone-Gery-hjælpefunktionen til en generel Cobb-Douglas-funktion. Stone-Giri-hjælpefunktionen er kernen i det lineære omkostningssystem . $\gamma _{i}=0$

Se også

Noter

↑ Busygin et al., 2008 , s. 39.
↑ 1 2 Jaley, Reni, 2011 , s. 27.
↑ Jaley, Reni, 2011 , s. 26.
↑ Varian, 1997 , s. 74-75.
↑ Jaley, Reni, 2011 , s. femten.
↑ Varian, 1997 , s. 74.

Litteratur

Busygin V.P., Zhelobodko E.V., Tsyplakov A.A. Mikroøkonomi: det tredje niveau: i 2 bind . - Novosibirsk: Publishing House of the Sibirian Branch of the Russian Academy of Sciences, 2008. - T. 1. - 525 s. - ISBN 978-5-7692-0976-5 . (Russisk)
Varian Hal R. Mikroøkonomi. Mellemniveau. Moderne tilgang. Lærebog for universiteter . - UNITI, 1997. - 768 s. — ISBN 5-85173-072-2 . (Russisk)
Jeffrey A. Jaley, Philip J. Renee. Mikroøkonomi: et avanceret niveau . — National Research University Higher School of Economics, 2011. — 384 s. - ISBN 978-5-7598-0362-1 . (Russisk)
Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Mikroøkonomisk teori (engelsk) . - Oxford University Press, 1995. - 1008 s. — ISBN 978-0195073409 .