Moralsk forventning

Moralsk forventning er et skøn over partiet, først introduceret af den schweiziske matematiker Daniel Bernoulli . I modsætning til matematisk forventning ( forventet afkast ) afhænger moralsk forventning af spillerens tilstand og tager implicit hensyn til risikofaktoren. Selve begrebet "moralsk forventning" tilhører den franske matematiker Pierre Simon Laplace .

Definition

Lad i nogle spil udbetalingen tage værdier med sandsynligheder , hvor C er spillerens tilstand før spillets start. Så er den moralske forventning defineret af ligheden: $x_i$ $p_{i}$ $i=1,2,...,n$

Mr(x,C)={\bar {\bar x}}=\prod _{{i=1}}^{n}(x_{i}+C)^{{p_{i}}}-C .

Vi vil udpege moralsk forventning, eller når vi ønsker at understrege dens afhængighed af staten. ${\bar {\bar x))$ $Mr(x,C)$

Egenskaber

Den moralske forventning stiger strengt monotont med væksten i værdien af staten C. $Mr(x,C)$
Med tilstand C, der tenderer mod det uendelige, er grænsen for moralsk forventning lig med den matematiske forventning:

\lim _{{C\to +\infty }}Mr(x,C)=M(x).

Den moralske forventning er strengt taget mindre end den matematiske :. $Mr(x,C)<M(x)$
$Mr(x+a,C)=Mr(x,C+a)+a$ , hvor a er en vilkårlig reel konstant.
$Mr(a*x,C)=a*Mr(x,{\frac Ca})$ , hvor a er en vilkårlig positiv reel konstant.
$\lim _{{k\to +\infty }}k*Mr({\frac xk},C)=M(x)$ , hvor k er et naturligt tal.

Her er den matematiske forventning til den stokastiske variabel . $M(x)=\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*x_{i}$ $x$

Grundlæggende information

Spilleren vurderer ikke altid partiet i henhold til den matematiske forventning, det vil sige, han vurderer det ikke altid som en gennemsnitlig gevinst. Ellers ville forsikringsselskaberne have stået uden arbejde i længere tid. I problemerne med risikoforsikring overstiger størrelsen af forsikringspræmien den forventede skade. Lad os overveje et eksempel:
Lad dig få en masse, som med lige stor sandsynlighed kan bringe 40 tusind euro i indkomst eller ingenting. Ifølge den matematiske forventning er dette parti værd 20 tusind. Mange vil dog gå med til at sælge den for 18 tusind. Sidstnævnte betyder, at disse mennesker anslår partiet mindre end 18 tusind. Men der er dem, der ønsker at købe dette parti for mere end 18 tusind. Køberne vurderer derfor grunden til mere end 18.000. Det kan også antages, at køberne af loddet er rigere end sælgerne.

Bernoulli foreslog, at en elementær stigning af tilstanden C giver en stigning i nytten af tilstanden Z med en mængde, der er proportional med denne stigning og omvendt proportional med værdien af tilstanden:

$dZ=k*{\frac {dC}C}$ , hvor . Dette giver direkte penges logaritmiske nyttefunktion . Så vil den matematiske forventning om nytte tage formen: , hvorfra den lighed, der bestemmer den moralske forventning, opnås. Bernoulli offentliggjorde resultaterne i 1738 i artiklen "An Experience of a New Theory of Lot Measurement". Således byggede Bernoulli en nyttefunktion for så godt som penge, længe før Jeremy Bentham introducerede nyttebegrebet i økonomisk teori . Evaluering af partiet ved moralsk forventning gør det ofte muligt at bygge matematiske modeller, der er tilstrækkelige til virkelige økonomiske enheders adfærd. $k>0$ $Z=ln(C)$ $\ln {({\bar {\bar x}}+C)}=\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*\ln {(x_{i}+C)}$

Eksempel

Nicholas Bernoulli anses for at være forfatteren til problemet .

Købmanden Caius købte varer i Amsterdam, som han kunne sælge i Sankt Petersborg for 10.000 rubler. Varerne vil blive sendt til St. Petersborg ad søvejen. Det er kendt, at på denne tid af året er 5 ud af 100 skibe forlist. Købmanden kunne ikke finde nogen, der ville acceptere at forsikre lasten for mindre end 800 rubler. Ved at acceptere at forsikre lasten på de foreslåede vilkår ændrer købmanden sit parti for garanteret 9.200 rubler. Det foreslås, baseret på moralsk forventning, at besvare følgende spørgsmål:

Hvilken betingelse skal en købmand (lodssælger) have for at acceptere at forsikre sine varer på de foreslåede betingelser?
Hvilken tilstand skal den person, der forpligtede sig til at forsikre lasten (køberen af partier) have?

Den matematiske forventning om indkomst i dette problem er 9500 rubler. Og hvad vil ændre sig, hvis købmanden fordeler lasten ligeligt på to skibe. Den matematiske forventning til partiet vil stadig være 9500. Men intuitivt føler vi, at så meget koster mere. Og det viser sig faktisk, at vurderingen af partiet i henhold til moralsk forventning stiger betydeligt.

Generalisering af begrebet moralsk forventning

Naturligvis opstår der en generalisering i det tilfælde, hvor en elementær stigning af tilstanden giver en stigning i statens nytteværdi med en værdi omvendt proportional med en vis grad af tilstanden. Så kommer vi til en klasse af penges nyttefunktioner af formen , hvor . I dette tilfælde svarer sagen til den klassiske nyttefunktion, det vil sige stigende og konveks opad, og sagen svarer til dele af Friedmann -funktionens nedadgående konveksitet . Så kan den generaliserede moralske forventning defineres som følger. Den moralske forventning til rækkefølgen s af en stokastisk variabel x i tilstanden C kaldes mængden Bemærk, at den moralske forventning også kan generaliseres til det tilfælde, hvor den stokastiske variabel har en kontinuerlig fordeling. $f(C)=C^{s}$ $s\in {(0;+\infty ]}$ $s\in {(0;1)}$ $s\in {(1;+\infty ]}$ $Mr^{{(s)}}(x,C)={\bar {\bar x}}=(\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*(x_{i} +C)^{s})^{{{\frac 1s}}}-C.$ $\lim _{{s\to 0}}Hr^{{(s)}}(x,C)=\prod _{{i=1}}^{n}(x_{i}+C)^{ {p_{i}}}-C.$

Litteratur

Bernoulli D. Erfaring med en ny teori om partimåling//Teori om forbrugeradfærd og efterspørgsel. - Sankt Petersborg. : Handelshøjskolen, 1993. - 380 s. — 25.000 eksemplarer. - ISBN 5-900428-02-8 .
Bely E.K., Belaya M.E. Teori om penges nytte. Diversificering af en portefølje af værdipapirer og andre opgaver med en vurdering af indkomst ved moralsk forventning. - Saarbrücken, Tyskland: LAB LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 84 s. - ISBN 978-3-8484-2665-2 .
Bely E. K. Moralsk forventning og opgaven med at diversificere en portefølje af værdipapirer / / Uchen. app. staten Petrozavodsk. universitet Ser. Samfunds- og humanvidenskab. nr. 1 (106). - Petrozavodsk: PetrGU, 2010. - 500 eksemplarer.